Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressmulgnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmulgnn0 29015
 Description: Values for the group multiple function in a restricted structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulgnn.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressmulgnn.2 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
ressmulgnn.3 = (.g𝐺)
ressmulgnn.4 𝐼 = (invg𝐺)
ressmulgnn0.4 (0g𝐺) = (0g𝐻)
Assertion
Ref Expression
ressmulgnn0 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))

Proof of Theorem ressmulgnn0
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simplr 788 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋𝐴)
3 ressmulgnn.1 . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
4 ressmulgnn.2 . . . 4 𝐴 ⊆ (Base‘𝐺)
5 ressmulgnn.3 . . . 4 = (.g𝐺)
6 ressmulgnn.4 . . . 4 𝐼 = (invg𝐺)
73, 4, 5, 6ressmulgnn 29014 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
81, 2, 7syl2anc 691 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
9 simplr 788 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋𝐴)
10 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
113, 10ressbas2 15758 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ (Base‘𝐺) → 𝐴 = (Base‘𝐻))
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐴 = (Base‘𝐻)
13 ressmulgnn0.4 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐻)
14 eqid 2610 . . . . . 6 (.g𝐻) = (.g𝐻)
1512, 13, 14mulg0 17369 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (0(.g𝐻)𝑋) = (0g𝐺))
169, 15syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0(.g𝐻)𝑋) = (0g𝐺))
17 simpr 476 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
1817oveq1d 6564 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (0(.g𝐻)𝑋))
194, 9sseldi 3566 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
20 eqid 2610 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
2110, 20, 5mulg0 17369 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
2219, 21syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
2316, 18, 223eqtr4d 2654 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (0 𝑋))
2417oveq1d 6564 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (0 𝑋))
2523, 24eqtr4d 2647 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
26 elnn0 11171 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2726biimpi 205 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2827adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
298, 25, 28mpjaodan 823 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐴) → (𝑁(.g𝐻)𝑋) = (𝑁 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  0gc0g 15923  invgcminusg 17246  .gcmg 17363 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-seq 12664  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulg 17364 This theorem is referenced by:  xrge0mulgnn0  29020
 Copyright terms: Public domain W3C validator