Theorem ghmabl 18061

Description: The image of an abelian group 𝐺 under a group homomorphism 𝐹 is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmabl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ghmabl.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
ghmabl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ghmabl.q	⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
ghmabl.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
ghmabl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
ghmabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Assertion

Ref	Expression
ghmabl	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem ghmabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmabl.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
2		ghmabl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		ghmabl.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐻)
4		ghmabl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5		ghmabl.q	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐻)
6		ghmabl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝑌)
7		ghmabl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
8		ablgrp 18021	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	ghmgrp 17362	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
11		ablcmn 18022	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
12	7, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
13	2, 3, 4, 5, 1, 6, 12	ghmcmn 18060	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ CMnd)
14		isabl 18020	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Abel ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ CMnd))
15	10, 13, 14	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  CMndccmn 18016  Abelcabl 18017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cmn 18018  df-abl 18019

This theorem is referenced by:  efabl  24100