Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcntzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcntzr 17916
 Description: The "subgroups commute" predicate applied to a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmcntzr (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑈))))

Proof of Theorem lsmcntzr
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . . 3 = (LSSum‘𝐺)
2 lsmcntz.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 lsmcntz.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 lsmcntz.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 lsmcntz.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5lsmcntz 17915 . 2 (𝜑 → ((𝑇 𝑈) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ (𝑇 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍𝑆))))
7 subgrcl 17422 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
8 grpmnd 17252 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
94, 7, 83syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
10 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1110subgss 17418 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
122, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
1310subgss 17418 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
143, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
1510, 1lsmssv 17881 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
169, 12, 14, 15syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
1710subgss 17418 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
184, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
1910, 5cntzrec 17589 . . 3 (((𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝑇 𝑈) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 𝑈))))
2016, 18, 19syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝑇 𝑈) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 𝑈))))
2110, 5cntzrec 17589 . . . 4 ((𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇)))
2212, 18, 21syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇)))
2310, 5cntzrec 17589 . . . 4 ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑈)))
2414, 18, 23syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑈)))
2522, 24anbi12d 743 . 2 (𝜑 → ((𝑇 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑍𝑆)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑈))))
266, 20, 253bitr3d 297 1 (𝜑 → (𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝑇 𝑈)) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑈))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  LSSumclsm 17872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator