Theorem dprdff 18234

Description: A finitely supported function in 𝑆 is a function into the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdff.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
dprdff.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdff.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐼   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐵(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(ℎ,𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdff.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
2		dprdff.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
3		dprdff.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4		dprdff.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5	2, 3, 4	dprdw 18232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
6	1, 5	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
7	6	simp1d 1066	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
8	6	simp2d 1067	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
9	3, 4	dprdf2 18229	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
10	9	ffvelrnda 6267	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		dprdff.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
12	11	subgss 17418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑥) ⊆ 𝐵)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ⊆ 𝐵)
14	13	sseld 3567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
15	14	ralimdva 2945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
16	8, 15	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
17		ffnfv 6295	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼⟶𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
18	7, 16, 17	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Xcixp 7794   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  SubGrpcsubg 17411   DProd cdprd 18215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-ixp 7795  df-subg 17414  df-dprd 18217

This theorem is referenced by:  dprdfcntz  18237  dprdssv  18238  dprdfid  18239  dprdfinv  18241  dprdfadd  18242  dprdfsub  18243  dprdfeq0  18244  dprdf11  18245  dprdlub  18248  dmdprdsplitlem  18259  dprddisj2  18261  dpjidcl  18280