MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablcntzd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablcntzd 18083
Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablcntzd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
ablcntzd.a (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablcntzd.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablcntzd.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
ablcntzd (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))

Proof of Theorem ablcntzd
StepHypRef Expression
1 ablcntzd.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
32subgss 17418 . . 3 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
5 ablcntzd.a . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
6 ablcmn 18022 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
8 ablcntzd.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
92subgss 17418 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
11 ablcntzd.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
122, 11cntzcmn 18068 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍𝑈) = (Base‘𝐺))
137, 10, 12syl2anc 691 . 2 (𝜑 → (𝑍𝑈) = (Base‘𝐺))
144, 13sseqtr4d 3605 1 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  cfv 5804  Basecbs 15695  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571  CMndccmn 18016  Abelcabl 18017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019
This theorem is referenced by:  lsmsubg2  18085  ablfacrp2  18289  ablfac1b  18292  pgpfaclem1  18303  pgpfaclem2  18304  pj1lmhm  18921  pj1lmhm2  18922  lvecindp  18959  lvecindp2  18960  pjdm2  19874  pjf2  19877  pjfo  19878  lshpsmreu  33414  lshpkrlem5  33419
  Copyright terms: Public domain W3C validator