MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmass 17906
Description: Subgroup sum is associative. (Contributed by NM, 2-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmass ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑅 𝑇) 𝑈) = (𝑅 (𝑇 𝑈)))

Proof of Theorem lsmass
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 lsmub1.p . . . . . . . 8 = (LSSum‘𝐺)
41, 2, 3lsmval 17886 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 𝑇) = ran (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))
543adant3 1074 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 𝑇) = ran (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)))
65rexeqdv 3122 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ (𝑅 𝑇)∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑦 ∈ ran (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐)))
7 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ V
87rgen2w 2909 . . . . . 6 𝑎𝑅𝑏𝑇 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ V
9 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏)) = (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))
10 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑎(+g𝐺)𝑏) → (𝑦(+g𝐺)𝑐) = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐))
1110eqeq2d 2620 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑎(+g𝐺)𝑏) → (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
1211rexbidv 3034 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑎(+g𝐺)𝑏) → (∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
139, 12rexrnmpt2 6674 . . . . . 6 (∀𝑎𝑅𝑏𝑇 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ V → (∃𝑦 ∈ ran (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎𝑅𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
148, 13ax-mp 5 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ran (𝑎𝑅, 𝑏𝑇 ↦ (𝑎(+g𝐺)𝑏))∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎𝑅𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐))
156, 14syl6bb 275 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ (𝑅 𝑇)∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎𝑅𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
161, 2, 3lsmval 17886 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) = ran (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐)))
17163adant1 1072 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) = ran (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐)))
1817rexeqdv 3122 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ ran (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐))𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧)))
19 ovex 6577 . . . . . . . . . 10 (𝑏(+g𝐺)𝑐) ∈ V
2019rgen2w 2909 . . . . . . . . 9 𝑏𝑇𝑐𝑈 (𝑏(+g𝐺)𝑐) ∈ V
21 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐)) = (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐))
22 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑏(+g𝐺)𝑐) → (𝑎(+g𝐺)𝑧) = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐)))
2322eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑏(+g𝐺)𝑐) → (𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
2421, 23rexrnmpt2 6674 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝑇𝑐𝑈 (𝑏(+g𝐺)𝑐) ∈ V → (∃𝑧 ∈ ran (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐))𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
2520, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ran (𝑏𝑇, 𝑐𝑈 ↦ (𝑏(+g𝐺)𝑐))𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐)))
2618, 25syl6bb 275 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
2726adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
28 subgrcl 17422 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
29283ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
3029ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
311subgss 17418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺))
32313ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺))
3332ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺))
34 simplr 788 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑎𝑅)
3533, 34sseldd 3569 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺))
361subgss 17418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
37363ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
3837ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
39 simprl 790 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑏𝑇)
4038, 39sseldd 3569 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐺))
411subgss 17418 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
42413ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
4342ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
44 simprr 792 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑐𝑈)
4543, 44sseldd 3569 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → 𝑐 ∈ (Base‘𝐺))
461, 2grpass 17254 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐺))) → ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐) = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐)))
4730, 35, 40, 45, 46syl13anc 1320 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐) = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐)))
4847eqeq2d 2620 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) ∧ (𝑏𝑇𝑐𝑈)) → (𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐) ↔ 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
49482rexbidva 3038 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) → (∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = (𝑎(+g𝐺)(𝑏(+g𝐺)𝑐))))
5027, 49bitr4d 270 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑎𝑅) → (∃𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
5150rexbidva 3031 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑎𝑅𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧) ↔ ∃𝑎𝑅𝑏𝑇𝑐𝑈 𝑥 = ((𝑎(+g𝐺)𝑏)(+g𝐺)𝑐)))
5215, 51bitr4d 270 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (∃𝑦 ∈ (𝑅 𝑇)∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐) ↔ ∃𝑎𝑅𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧)))
53 grpmnd 17252 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
5429, 53syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Mnd)
551, 3lsmssv 17881 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑅 𝑇) ⊆ (Base‘𝐺))
5654, 32, 37, 55syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 𝑇) ⊆ (Base‘𝐺))
571, 2, 3lsmelvalx 17878 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑅 𝑇) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑅 𝑇) 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑅 𝑇)∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐)))
5829, 56, 42, 57syl3anc 1318 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑅 𝑇) 𝑈) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝑅 𝑇)∃𝑐𝑈 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑐)))
591, 3lsmssv 17881 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
6054, 37, 42, 59syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺))
611, 2, 3lsmelvalx 17878 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑅 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝑇 𝑈) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑅 (𝑇 𝑈)) ↔ ∃𝑎𝑅𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧)))
6229, 32, 60, 61syl3anc 1318 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑅 (𝑇 𝑈)) ↔ ∃𝑎𝑅𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)𝑥 = (𝑎(+g𝐺)𝑧)))
6352, 58, 623bitr4d 299 . 2 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ ((𝑅 𝑇) 𝑈) ↔ 𝑥 ∈ (𝑅 (𝑇 𝑈))))
6463eqrdv 2608 1 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑅 𝑇) 𝑈) = (𝑅 (𝑇 𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173  wss 3540  ran crn 5039  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-subg 17414  df-lsm 17874
This theorem is referenced by:  lsm4  18086  pgpfac1lem3  18299  lsatcvat3  33357
  Copyright terms: Public domain W3C validator