MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgss Structured version   Unicode version

Theorem subgss 16016
Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgss  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)

Proof of Theorem subgss
StepHypRef Expression
1 issubg.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
21issubg 16015 . 2  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  S  C_  B  /\  ( Gs  S )  e.  Grp ) )
32simp2bi 1012 1  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   ↾s cress 14494   Grpcgrp 15730  SubGrpcsubg 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-ov 6288  df-subg 16012
This theorem is referenced by:  subgbas  16019  subg0  16021  subginv  16022  subgsubcl  16026  subgsub  16027  subgmulgcl  16028  subgmulg  16029  issubg2  16030  issubg4  16034  subsubg  16038  subgint  16039  nsgconj  16048  nsgacs  16051  ssnmz  16057  eqger  16065  eqgid  16067  eqgen  16068  eqgcpbl  16069  lagsubg2  16076  lagsubg  16077  resghm  16097  ghmnsgima  16104  conjsubg  16112  conjsubgen  16113  conjnmz  16114  conjnmzb  16115  gicsubgen  16140  subgga  16152  gasubg  16154  gastacos  16162  orbstafun  16163  cntrsubgnsg  16192  oddvds2  16403  subgpgp  16432  odcau  16439  pgpssslw  16449  sylow2blem1  16455  sylow2blem2  16456  sylow2blem3  16457  slwhash  16459  fislw  16460  sylow2  16461  sylow3lem1  16462  sylow3lem2  16463  sylow3lem3  16464  sylow3lem4  16465  sylow3lem5  16466  sylow3lem6  16467  lsmval  16483  lsmelval  16484  lsmelvali  16485  lsmelvalm  16486  lsmsubg  16489  lsmub1  16491  lsmub2  16492  lsmless1  16494  lsmless2  16495  lsmless12  16496  lsmass  16503  subglsm  16506  lsmmod  16508  cntzrecd  16511  lsmcntz  16512  lsmcntzr  16513  lsmdisj2  16515  subgdisj1  16524  pj1f  16530  pj1id  16532  pj1lid  16534  pj1rid  16535  pj1ghm  16536  subgabl  16659  ablcntzd  16678  lsmcom  16679  dprdff  16860  dprdffOLD  16866  dprdfadd  16874  dprdfaddOLD  16881  dprdres  16889  dprdss  16890  subgdmdprd  16895  dprdcntz2  16900  dmdprdsplit2lem  16908  ablfacrp  16931  ablfac1eu  16938  pgpfac1lem1  16939  pgpfac1lem2  16940  pgpfac1lem3a  16941  pgpfac1lem3  16942  pgpfac1lem4  16943  pgpfac1lem5  16944  pgpfaclem1  16946  pgpfaclem2  16947  pgpfaclem3  16948  ablfaclem3  16952  ablfac2  16954  issubrg2  17261  issubrg3  17269  islss4  17420  mpllsslem  17905  mpllsslemOLD  17907  subgtgp  20431  subgntr  20432  opnsubg  20433  clssubg  20434  clsnsg  20435  cldsubg  20436  qustgpopn  20445  qustgphaus  20448  tgptsmscls  20479  subgnm  20974  subgngp  20976  lssnlm  21036  efgh  22753  efabl  22762  efsubm  22763  idomsubgmo  30987
  Copyright terms: Public domain W3C validator