Theorem eqgcpbl 17471

Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqger.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
eqger.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
eqgcpbl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
eqgcpbl	⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem eqgcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 17449	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 17422	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simprl 790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐴 ∼ 𝐶)
6		eqger.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgss 17418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		eqgcpbl.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11		eqger.r	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑌)
12	6, 9, 10, 11	eqgval 17466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐴 ∼ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
13	4, 8, 12	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 ∼ 𝐶 ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)))
14	5, 13	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌))
15	14	simp1d 1066	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
16		simprr 792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐵 ∼ 𝐷)
17	6, 9, 10, 11	eqgval 17466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∼ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
18	4, 8, 17	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐵 ∼ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)))
19	16, 18	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌))
20	19	simp1d 1066	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
21	6, 10	grpcl 17253	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
22	4, 15, 20, 21	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
23	14	simp2d 1067	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
24	19	simp2d 1067	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑋)
25	6, 10	grpcl 17253	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
26	4, 23, 24, 25	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)
27	6, 10, 9	grpinvadd 17316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)))
28	4, 15, 20, 27	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)))
29	28	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)))
30	6, 9	grpinvcl 17290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
31	4, 20, 30	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
32	6, 9	grpinvcl 17290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
33	4, 15, 32	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋)
34	6, 10	grpass 17254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
35	4, 31, 33, 26, 34	syl13anc 1320	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + ((invg‘𝐺)‘𝐴)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
36	29, 35	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))))
37	6, 10	grpass 17254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
38	4, 33, 23, 24, 37	syl13anc 1320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) = (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)))
39	38	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)))
40	6, 10	grpcl 17253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
41	4, 33, 23, 40	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋)
42	6, 10	grpass 17254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
43	4, 41, 24, 31, 42	syl13anc 1320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + 𝐷) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
44	39, 43	eqtr3d 2646	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) = ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))))
45	14	simp3d 1068	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌)
46	19	simp3d 1068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌)
47		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → 𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
48	6, 10	nsgbi 17448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
49	47, 31, 24, 48	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵) + 𝐷) ∈ 𝑌 ↔ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌))
50	46, 49	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
51	10	subgcl 17427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) ∈ 𝑌 ∧ (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
52	2, 45, 50, 51	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + 𝐶) + (𝐷 + ((invg‘𝐺)‘𝐵))) ∈ 𝑌)
53	44, 52	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌)
54	6, 10	grpcl 17253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
55	4, 33, 26, 54	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋)
56	6, 10	nsgbi 17448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
57	47, 55, 31, 56	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷)) + ((invg‘𝐺)‘𝐵)) ∈ 𝑌 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌))
58	53, 57	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵) + (((invg‘𝐺)‘𝐴) + (𝐶 + 𝐷))) ∈ 𝑌)
59	36, 58	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)
60	6, 9, 10, 11	eqgval 17466	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
61	4, 8, 60	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → ((𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘(𝐴 + 𝐵)) + (𝐶 + 𝐷)) ∈ 𝑌)))
62	22, 26, 59, 61	mpbir3and 1238	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷)) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷))
63	62	ex 449	1 ⊢ (𝑌 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝐴 ∼ 𝐶 ∧ 𝐵 ∼ 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) ∼ (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  inv_gcminusg 17246  SubGrpcsubg 17411  NrmSGrpcnsg 17412   ~_QG cqg 17413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416

This theorem is referenced by:  qusgrp  17472  qusadd  17474  qus1  19056