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Theorem eqgcpbl 16127
Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
eqger.r  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
eqgcpbl.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 16105 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G
) )
3 subgrcl 16078 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  G  e.  Grp )
5 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  .~  C )
6 eqger.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
76subgss 16074 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
82, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  C_  X )
9 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
11 eqger.r . . . . . . . 8  |-  .~  =  ( G ~QG  Y )
126, 9, 10, 11eqgval 16122 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
134, 8, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .~  C  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) ) )
145, 13mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
) )
1514simp1d 1008 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  A  e.  X )
16 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  .~  D )
176, 9, 10, 11eqgval 16122 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
184, 8, 17syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  .~  D  <->  ( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) ) )
1916, 18mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( B  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
) )
2019simp1d 1008 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  B  e.  X )
216, 10grpcl 15935 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  .+  B
)  e.  X )
224, 15, 20, 21syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  e.  X )
2314simp2d 1009 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  C  e.  X )
2419simp2d 1009 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  D  e.  X )
256, 10grpcl 15935 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  ( C  .+  D
)  e.  X )
264, 23, 24, 25syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( C  .+  D
)  e.  X )
276, 10, 9grpinvadd 15988 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( invg `  G ) `  A
) ) )
284, 15, 20, 27syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  ( A  .+  B ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( invg `  G ) `  A
) ) )
2928oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 A ) ) 
.+  ( C  .+  D ) ) )
306, 9grpinvcl 15967 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X )
314, 20, 30syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X )
326, 9grpinvcl 15967 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  A
)  e.  X )
334, 15, 32syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  A
)  e.  X )
346, 10grpass 15936 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 B )  e.  X  /\  ( ( invg `  G
) `  A )  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( invg `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( invg `  G ) `  A
) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
3629, 35eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .+  ( (
( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) ) )
376, 10grpass 15936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  e.  X  /\  C  e.  X  /\  D  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  C )  .+  D
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )
3938oveq1d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( invg `  G
) `  B )
) )
406, 10grpcl 15935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  A
)  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
414, 33, 23, 40syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  X
)
426, 10grpass 15936 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  C )  e.  X  /\  D  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  B
)  e.  X ) )  ->  ( (
( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  D
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  ( D  .+  (
( invg `  G ) `  B
) ) ) )
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  C )  .+  D )  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) ) ) )
4439, 43eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  =  ( ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) ) ) )
4514simp3d 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  C )  e.  Y
)
4619simp3d 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y
)
47 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  ->  Y  e.  (NrmSGrp `  G
) )
486, 10nsgbi 16104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( ( invg `  G ) `
 B )  e.  X  /\  D  e.  X )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( invg `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
4947, 31, 24, 48syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  B )  .+  D )  e.  Y  <->  ( D  .+  ( ( invg `  G
) `  B )
)  e.  Y ) )
5046, 49mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( D  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
5110subgcl 16083 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( ( invg `  G ) `  A
)  .+  C )  e.  Y  /\  ( D  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) )  e.  Y )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
522, 45, 50, 51syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  C )  .+  ( D  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) ) )  e.  Y )
5344, 52eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  e.  Y
)
546, 10grpcl 15935 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  A
)  e.  X  /\  ( C  .+  D )  e.  X )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
554, 33, 26, 54syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X )
566, 10nsgbi 16104 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( (
( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  e.  X  /\  ( ( invg `  G
) `  B )  e.  X )  ->  (
( ( ( ( invg `  G
) `  A )  .+  ( C  .+  D
) )  .+  (
( invg `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .+  ( (
( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5747, 55, 31, 56syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( ( ( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  B
) )  e.  Y  <->  ( ( ( invg `  G ) `  B
)  .+  ( (
( invg `  G ) `  A
)  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y ) )
5853, 57mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 B )  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 A )  .+  ( C  .+  D ) ) )  e.  Y
)
5936, 58eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( ( invg `  G ) `
 ( A  .+  B ) )  .+  ( C  .+  D ) )  e.  Y )
606, 9, 10, 11eqgval 16122 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
614, 8, 60syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D )  <->  ( ( A  .+  B )  e.  X  /\  ( C 
.+  D )  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  ( A  .+  B ) ) 
.+  ( C  .+  D ) )  e.  Y ) ) )
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1179 . 2  |-  ( ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  ( A  .~  C  /\  B  .~  D ) )  -> 
( A  .+  B
)  .~  ( C  .+  D ) )
6362ex 434 1  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  ( ( A  .~  C  /\  B  .~  D )  ->  ( A  .+  B )  .~  ( C  .+  D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926  SubGrpcsubg 16067  NrmSGrpcnsg 16068   ~QG cqg 16069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-nsg 16071  df-eqg 16072
This theorem is referenced by:  qusgrp  16128  qusadd  16130  qus1  17753
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