Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqgcpbl Structured version   Unicode version

Theorem eqgcpbl 16822
 Description: The subgroup coset equivalence relation is compatible with addition when the subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqger.x
eqger.r ~QG
eqgcpbl.p
Assertion
Ref Expression
eqgcpbl NrmSGrp

Proof of Theorem eqgcpbl
StepHypRef Expression
1 nsgsubg 16800 . . . . . 6 NrmSGrp SubGrp
21adantr 466 . . . . 5 NrmSGrp SubGrp
3 subgrcl 16773 . . . . 5 SubGrp
42, 3syl 17 . . . 4 NrmSGrp
5 simprl 762 . . . . . 6 NrmSGrp
6 eqger.x . . . . . . . . 9
76subgss 16769 . . . . . . . 8 SubGrp
82, 7syl 17 . . . . . . 7 NrmSGrp
9 eqid 2429 . . . . . . . 8
10 eqgcpbl.p . . . . . . . 8
11 eqger.r . . . . . . . 8 ~QG
126, 9, 10, 11eqgval 16817 . . . . . . 7
134, 8, 12syl2anc 665 . . . . . 6 NrmSGrp
145, 13mpbid 213 . . . . 5 NrmSGrp
1514simp1d 1017 . . . 4 NrmSGrp
16 simprr 764 . . . . . 6 NrmSGrp
176, 9, 10, 11eqgval 16817 . . . . . . 7
184, 8, 17syl2anc 665 . . . . . 6 NrmSGrp
1916, 18mpbid 213 . . . . 5 NrmSGrp
2019simp1d 1017 . . . 4 NrmSGrp
216, 10grpcl 16630 . . . 4
224, 15, 20, 21syl3anc 1264 . . 3 NrmSGrp
2314simp2d 1018 . . . 4 NrmSGrp
2419simp2d 1018 . . . 4 NrmSGrp
256, 10grpcl 16630 . . . 4
264, 23, 24, 25syl3anc 1264 . . 3 NrmSGrp
276, 10, 9grpinvadd 16683 . . . . . . 7
284, 15, 20, 27syl3anc 1264 . . . . . 6 NrmSGrp
2928oveq1d 6320 . . . . 5 NrmSGrp
306, 9grpinvcl 16662 . . . . . . 7
314, 20, 30syl2anc 665 . . . . . 6 NrmSGrp
326, 9grpinvcl 16662 . . . . . . 7
334, 15, 32syl2anc 665 . . . . . 6 NrmSGrp
346, 10grpass 16631 . . . . . 6
354, 31, 33, 26, 34syl13anc 1266 . . . . 5 NrmSGrp
3629, 35eqtrd 2470 . . . 4 NrmSGrp
376, 10grpass 16631 . . . . . . . . 9
384, 33, 23, 24, 37syl13anc 1266 . . . . . . . 8 NrmSGrp
3938oveq1d 6320 . . . . . . 7 NrmSGrp
406, 10grpcl 16630 . . . . . . . . 9
414, 33, 23, 40syl3anc 1264 . . . . . . . 8 NrmSGrp
426, 10grpass 16631 . . . . . . . 8
434, 41, 24, 31, 42syl13anc 1266 . . . . . . 7 NrmSGrp
4439, 43eqtr3d 2472 . . . . . 6 NrmSGrp
4514simp3d 1019 . . . . . . 7 NrmSGrp
4619simp3d 1019 . . . . . . . 8 NrmSGrp
47 simpl 458 . . . . . . . . 9 NrmSGrp NrmSGrp
486, 10nsgbi 16799 . . . . . . . . 9 NrmSGrp
4947, 31, 24, 48syl3anc 1264 . . . . . . . 8 NrmSGrp
5046, 49mpbid 213 . . . . . . 7 NrmSGrp
5110subgcl 16778 . . . . . . 7 SubGrp
522, 45, 50, 51syl3anc 1264 . . . . . 6 NrmSGrp
5344, 52eqeltrd 2517 . . . . 5 NrmSGrp
546, 10grpcl 16630 . . . . . . 7
554, 33, 26, 54syl3anc 1264 . . . . . 6 NrmSGrp
566, 10nsgbi 16799 . . . . . 6 NrmSGrp
5747, 55, 31, 56syl3anc 1264 . . . . 5 NrmSGrp
5853, 57mpbid 213 . . . 4 NrmSGrp
5936, 58eqeltrd 2517 . . 3 NrmSGrp
606, 9, 10, 11eqgval 16817 . . . 4
614, 8, 60syl2anc 665 . . 3 NrmSGrp
6222, 26, 59, 61mpbir3and 1188 . 2 NrmSGrp
6362ex 435 1 NrmSGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wss 3442   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15084   cplusg 15152  cgrp 16620  cminusg 16621  SubGrpcsubg 16762  NrmSGrpcnsg 16763   ~QG cqg 16764 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-nsg 16766  df-eqg 16767 This theorem is referenced by:  qusgrp  16823  qusadd  16825  qus1  18394
 Copyright terms: Public domain W3C validator