Theorem dmres 5339

Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
dmres	⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Proof of Theorem dmres

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3176	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	eldm2 5244	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵))
3		19.41v 1901	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
4		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
5	4	opelres 5322	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
6	5	exbii 1764	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ ∃𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
7	1	eldm2 5244	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ↔ ∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴)
8	7	anbi1i 727	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
9	3, 6, 8	3bitr4i 291	. . . 4 ⊢ (∃𝑦⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐴 ↾ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
10	2, 9	bitr2i 264	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐴 ↾ 𝐵))
11	10	ineqri 3768	. 2 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = dom (𝐴 ↾ 𝐵)
12		incom 3767	. 2 ⊢ (dom 𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)
13	11, 12	eqtr3i 2634	1 ⊢ dom (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  ⟨cop 4131  dom cdm 5038   ↾ cres 5040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-dm 5048  df-res 5050

This theorem is referenced by:  ssdmres  5340  dmresexg  5341  dmressnsn  5358  eldmeldmressn  5360  imadisj  5403  imainrect  5494  dmresv  5511  resdmres  5543  coeq0  5561  funimacnv  5884  fnresdisj  5915  fnres  5921  fresaunres2  5989  nfvres  6134  ssimaex  6173  fnreseql  6235  respreima  6252  fveqressseq  6263  ffvresb  6301  fsnunfv  6358  funfvima  6396  funiunfv  6410  offres  7054  fnwelem  7179  ressuppss  7201  ressuppssdif  7203  smores  7336  smores3  7337  smores2  7338  tz7.44-2  7390  tz7.44-3  7391  frfnom  7417  sbthlem5  7959  sbthlem7  7961  domss2  8004  imafi  8142  ordtypelem4  8309  wdomima2g  8374  r0weon  8718  imadomg  9237  dmaddpi  9591  dmmulpi  9592  ltweuz  12622  dmhashres  12991  limsupgle  14056  fvsetsid  15722  setsdm  15724  setsfun  15725  setsfun0  15726  setsres  15729  lubdm  16802  glbdm  16815  gsumzaddlem  18144  dprdcntz2  18260  lmres  20914  imacmp  21010  qtoptop2  21312  kqdisj  21345  metreslem  21977  setsmstopn  22093  ismbl  23101  mbfres  23217  dvres3a  23484  cpnres  23506  dvlipcn  23561  dvlip2  23562  c1lip3  23566  dvcnvrelem1  23584  dvcvx  23587  dvlog  24197  cusgrasizeindslem1  26002  eupares  26502  hlimcaui  27477  dfrdg2  30945  sltres  31061  nodense  31088  nofulllem5  31105  caures  32726  ssbnd  32757  mapfzcons1  36298  diophrw  36340  eldioph2lem1  36341  eldioph2lem2  36342  rp-imass  37085  fourierdlem93  39092  fouriersw  39124  sssmf  39625  eldmressn  39852  fnresfnco  39855  afvres  39901  uhgrspansubgrlem  40514  1wlkres  40879  trlsegvdeglem4  41391  setrec2lem1  42239