Theorem setsres 15729

Description: The structure replacement function does not affect the value of 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsres	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))

Proof of Theorem setsres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4859	. . . 4 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
2		setsvalg 15719	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
3	1, 2	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4	3	reseq1d 5316	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})))
5		resundir 5331	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})))
6		dmsnopss 5525	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴}
7		sscon 3706	. . . . . . 7 ⊢ (dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} ⊆ {𝐴} → (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
9		resabs1 5347	. . . . . 6 ⊢ ((V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
11		dmres 5339	. . . . . . 7 ⊢ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})
12		disj2 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅ ↔ (V ∖ {𝐴}) ⊆ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
13	8, 12	mpbir 220	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝐴}) ∩ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}) = ∅
14	11, 13	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅
15		relres 5346	. . . . . . 7 ⊢ Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))
16		reldm0 5264	. . . . . . 7 ⊢ (Rel ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) → (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅ ↔ dom ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅)
18	14, 17	mpbir 220	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴})) = ∅
19	10, 18	uneq12i 3727	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅)
20		un0 3919	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
21	19, 20	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} ↾ (V ∖ {𝐴}))) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
22	5, 21	eqtri 2632	. 2 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴}))
23	4, 22	syl6eq 2660	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Rel wrel 5043  (class class class)co 6549   sSet csts 15693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-res 5050  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-sets 15701

This theorem is referenced by:  setsabs  15730  setsnid  15743  mdetunilem9  20245