Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsfun0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsfun0 15726
 Description: A structure with replacement without the empty set is a function if the original structure without the empty set is a function. This varaint of setsfun 15725 is useful for proofs based on isstruct 15705 which requires Fun (𝐹 ∖ {∅}) for 𝐹 to be an extensible structure. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsfun0 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Proof of Theorem setsfun0
StepHypRef Expression
1 funres 5843 . . . . . 6 (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
21adantl 481 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
32adantr 480 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
4 funsng 5851 . . . . 5 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
54adantl 481 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
6 dmres 5339 . . . . . . 7 dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
76ineq1i 3772 . . . . . 6 (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
8 in32 3787 . . . . . . 7 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
9 incom 3767 . . . . . . . . 9 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
10 disjdif 3992 . . . . . . . . 9 (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ∅
119, 10eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1211ineq1i 3772 . . . . . . 7 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
13 0in 3921 . . . . . . 7 (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
148, 12, 133eqtri 2636 . . . . . 6 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
157, 14eqtri 2632 . . . . 5 (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1615a1i 11 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
17 funun 5846 . . . 4 (((Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
183, 5, 16, 17syl21anc 1317 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
19 difundir 3839 . . . . 5 (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}))
20 resdifcom 5335 . . . . . . 7 ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
2120a1i 11 . . . . . 6 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
22 elex 3185 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑈𝐼 ∈ V)
23 elex 3185 . . . . . . . . . 10 (𝐸𝑊𝐸 ∈ V)
2422, 23anim12i 588 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
25 opnz 4868 . . . . . . . . 9 (⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
2624, 25sylibr 223 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
2726adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
28 disjsn2 4193 . . . . . . 7 (⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅)
29 disjdif2 3999 . . . . . . 7 (({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
3027, 28, 293syl 18 . . . . . 6 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
3121, 30uneq12d 3730 . . . . 5 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅})) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
3219, 31syl5eq 2656 . . . 4 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
3332funeqd 5825 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3418, 33mpbird 246 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
35 opex 4859 . . . . . . 7 𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
3635a1i 11 . . . . . 6 (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
37 setsvalg 15719 . . . . . 6 ((𝐺𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
3836, 37sylan2 490 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
3938difeq1d 3689 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
4039funeqd 5825 . . 3 ((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅})))
4140adantr 480 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅})))
4234, 41mpbird 246 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798  (class class class)co 6549   sSet csts 15693 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-res 5050  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-sets 15701 This theorem is referenced by:  setsstruct  15727  uhgrstrrepelem  25744
 Copyright terms: Public domain W3C validator