Theorem caures 32726

Description: The restriction of a Cauchy sequence to an upper set of integers is Cauchy. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caures.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
caures.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
caures.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
caures.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))

Assertion

Ref	Expression
caures	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Proof of Theorem caures

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caures.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	uztrn2 11581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
3	2	adantll 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
4	3	biantrurd 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹)))
5		dmres 5339	. . . . . . . . 9 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝑍) = (𝑍 ∩ dom 𝐹)
6	5	elin2 3763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ↔ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
7	4, 6	syl6bbr 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍)))
8	7	3anbi1d 1395	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
9	8	ralbidva 2968	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
10	9	rexbidva 3031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
11	10	ralbidv 2969	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
12		caures.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
13	12	biantrurd 528	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
14		caures.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
15		elfvdm 6130	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom Met)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom Met)
17		cnex 9896	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
18		ssid 3587	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
19		uzssz 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
20		zsscn 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
21	19, 20	sstri 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
22	1, 21	eqsstri 3598	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
23		pmss12g 7770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ) ∧ (𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
24	18, 22, 23	mpanl12 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ dom Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
25	16, 17, 24	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↑pm 𝑍) ⊆ (𝑋 ↑pm ℂ))
26		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
27	1, 26	eqeltri 2684	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
28		pmresg 7771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
29	27, 12, 28	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm 𝑍))
30	25, 29	sseldd 3569	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
31	30	biantrurd 528	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
32	11, 13, 31	3bitr3d 297	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
33		metxmet 21949	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
34	14, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
35		caures.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
36		eqidd 2611	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
37		eqidd 2611	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
38	1, 34, 35, 36, 37	iscau4 22885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
39		fvres 6117	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
40	39	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
41		fvres 6117	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
42	41	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ↾ 𝑍)‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
43	1, 34, 35, 40, 42	iscau4 22885	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ((𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
44	32, 38, 43	3bitr4d 299	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾ 𝑍) ∈ (Cau‘𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_pm cpm 7745  ℂcc 9813   < clt 9953  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  Caucca 22859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-cau 22862

This theorem is referenced by: (None)