Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressuppss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressuppss 7201
 Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
ressuppss ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem ressuppss
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3758 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑏𝐵𝑏 ∈ dom 𝐹))
21simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
3 dmres 5339 . . . . . . . 8 dom (𝐹𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐹)
42, 3eleq2s 2706 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
54ad2antrl 760 . . . . . 6 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
6 snssi 4280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → {𝑏} ⊆ 𝐵)
7 resima2 5352 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑏} ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐵 → ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
98neeq1d 2841 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} ↔ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
109biimpd 218 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1110adantld 482 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵 → ((𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1211adantld 482 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
13 pm2.24 120 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑏 ∈ dom 𝐹) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
151, 14sylbi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1615, 3eleq2s 2706 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1716ad2antrl 760 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1817com12 32 . . . . . . 7 𝑏𝐵 → (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1912, 18pm2.61i 175 . . . . . 6 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})
205, 19jca 553 . . . . 5 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
2120ex 449 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})))
2221ss2abdv 3638 . . 3 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})} ⊆ {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})})
23 df-rab 2905 . . 3 {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
24 df-rab 2905 . . 3 {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
2522, 23, 243sstr4g 3609 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} ⊆ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
26 resexg 5362 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐵) ∈ V)
27 suppval 7184 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
2826, 27sylan 487 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
29 suppval 7184 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
3025, 28, 293sstr4d 3611 1 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  (class class class)co 6549   supp csupp 7182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-supp 7183 This theorem is referenced by:  fsuppres  8183  gsumzres  18133  gsumzadd  18145  gsum2dlem2  18193  tsmsres  21757
 Copyright terms: Public domain W3C validator