MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmres Unicode version

Theorem dmres 4883
Description: The domain of a restriction. Exercise 14 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
dmres  |-  dom  (  A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )

Proof of Theorem dmres
StepHypRef Expression
1 vex 2730 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
21eldm2 4784 . . . 4  |-  ( x  e.  dom  (  A  |`  B )  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  ( A  |`  B ) )
3 19.41v 2034 . . . . 5  |-  ( E. y ( <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
4 vex 2730 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
54opelres 4867 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  |`  B )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
65exbii 1580 . . . . 5  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  E. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
71eldm2 4784 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  A  <->  E. y <. x ,  y >.  e.  A )
87anbi1i 679 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  ( E. y <. x ,  y >.  e.  A  /\  x  e.  B ) )
93, 6, 83bitr4i 270 . . . 4  |-  ( E. y <. x ,  y
>.  e.  ( A  |`  B )  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B ) )
102, 9bitr2i 243 . . 3  |-  ( ( x  e.  dom  A  /\  x  e.  B
)  <->  x  e.  dom  (  A  |`  B ) )
1110ineqri 3270 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  dom  (  A  |`  B )
12 incom 3269 . 2  |-  ( dom 
A  i^i  B )  =  ( B  i^i  dom 
A )
1311, 12eqtr3i 2275 1  |-  dom  (  A  |`  B )  =  ( B  i^i  dom  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    i^i cin 3077   <.cop 3547   dom cdm 4580    |` cres 4582
This theorem is referenced by:  ssdmres  4884  dmresexg  4885  imadisj  4939  ndmima  4957  imainrect  5026  dmresv  5038  resdmres  5070  funimacnv  5181  fnresdisj  5211  fnres  5217  fresaunres2  5270  nfvres  5409  ssimaex  5436  fnreseql  5487  respreima  5506  ffvresb  5542  fsnunfv  5572  funfvima  5605  funiunfv  5626  offres  5944  fnwelem  6082  smores  6255  smores3  6256  smores2  6257  tz7.44-2  6306  tz7.44-3  6307  frfnom  6333  sbthlem5  6860  sbthlem7  6862  domss2  6905  imafi  7032  ordtypelem4  7120  wdomima2g  7184  r0weon  7524  imadomg  8043  dmaddpi  8394  dmmulpi  8395  ltweuz  10902  limsupgle  11828  setsres  13048  gsumzaddlem  15038  dprdcntz2  15108  lmres  16860  imacmp  16956  qtoptop2  17222  kqdisj  17255  metreslem  17758  setsmstopn  17856  ismbl  18717  mbfres  18831  dvres3a  19096  cpnres  19118  dvlipcn  19173  dvlip2  19174  c1lip3  19178  dvcnvrelem1  19196  dvcvx  19199  dvlog  19830  hlimcaui  21646  eupares  23070  dfrdg2  23320  sltres  23485  axdense  23511  axfelem18  23531  caures  25642  ssbnd  25678  mapfzcons1  25960  coeq0  25997  diophrw  26004  eldioph2lem1  26005  eldioph2lem2  26006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-dm 4598  df-res 4600
  Copyright terms: Public domain W3C validator