MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdcntz2 Structured version   Unicode version

Theorem dprdcntz2 16659
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz2.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdcntz2.c  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
dprdcntz2.d  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
dprdcntz2.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
dprdcntz2.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
dprdcntz2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )

Proof of Theorem dprdcntz2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdcntz2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdcntz2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dprdcntz2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
41, 2, 3dprdres 16648 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  /\  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
54simpld 459 . 2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
6 dmres 5240 . . 3  |-  dom  ( S  |`  C )  =  ( C  i^i  dom  S )
73, 2sseqtr4d 3502 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  dom  S )
8 df-ss 3451 . . . 4  |-  ( C 
C_  dom  S  <->  ( C  i^i  dom  S )  =  C )
97, 8sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  dom  S )  =  C )
106, 9syl5eq 2507 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
11 dprdgrp 16612 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
121, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1413dprdssv 16629 . . 3  |-  ( G DProd 
( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )
15 dprdcntz2.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
1613, 15cntzsubg 15974 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )
)  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
1712, 14, 16sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
18 fvres 5814 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 x )  =  ( S `  x
) )
1918adantl 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 x )  =  ( S `  x
) )
20 dprdcntz2.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
211, 2, 20dprdres 16648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
2221simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
24 dprdsubg 16644 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
263sselda 3465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  I )
271, 2dprdf2 16614 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
2827ffvelrnda 5953 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G )
)
2926, 28syldan 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G )
)
30 dmres 5240 . . . . . . 7  |-  dom  ( S  |`  D )  =  ( D  i^i  dom  S )
3120, 2sseqtr4d 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  S )
32 df-ss 3451 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  dom  S  <->  ( D  i^i  dom  S )  =  D )
3331, 32sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  i^i  dom  S )  =  D )
3430, 33syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
3534adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
3612adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  G  e.  Grp )
3713subgss 15802 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  x )  C_  ( Base `  G ) )
3829, 37syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  x )  C_  ( Base `  G
) )
3913, 15cntzsubg 15974 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S `  x ) 
C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  ( S `  x ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
4036, 38, 39syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( Z `  ( S `  x ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
41 fvres 5814 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  D  ->  (
( S  |`  D ) `
 y )  =  ( S `  y
) )
4241adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( S  |`  D ) `
 y )  =  ( S `  y
) )
431ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  G dom DProd  S )
442ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  dom  S  =  I )
4520adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  D  C_  I )
4645sselda 3465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  I )
4726adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  x  e.  I )
48 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
49 noel 3750 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  x  e.  (/)
50 elin 3648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( C  i^i  D )  <->  ( x  e.  C  /\  x  e.  D ) )
51 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
5251eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( C  i^i  D )  <-> 
x  e.  (/) ) )
5350, 52syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  C  /\  x  e.  D )  <->  x  e.  (/) ) )
5449, 53mtbiri 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( x  e.  C  /\  x  e.  D ) )
55 imnan 422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  C  ->  -.  x  e.  D
)  <->  -.  ( x  e.  C  /\  x  e.  D ) )
5654, 55sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  ->  -.  x  e.  D
) )
5756imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  -.  x  e.  D )
5857adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  -.  x  e.  D )
59 nelne2 2782 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  D  /\  -.  x  e.  D
)  ->  y  =/=  x )
6048, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  =/=  x )
6143, 44, 46, 47, 60, 15dprdcntz 16615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( S `  y )  C_  ( Z `  ( S `  x )
) )
6242, 61eqsstrd 3499 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( S  |`  D ) `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 x ) ) )
6323, 35, 40, 62dprdlub 16646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( Z `  ( S `  x
) ) )
6415, 25, 29, 63cntzrecd 16297 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  x )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
6519, 64eqsstrd 3499 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 x )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
665, 10, 17, 65dprdlub 16646 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3746   class class class wbr 4401   dom cdm 4949    |` cres 4951   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   Grpcgrp 15530  SubGrpcsubg 15795  Cntzccntz 15953   DProd cdprd 16598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-tpos 6856  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-mhm 15584  df-submnd 15585  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-sbg 15667  df-mulg 15668  df-subg 15798  df-ghm 15865  df-gim 15907  df-cntz 15955  df-oppg 15981  df-cmn 16401  df-dprd 16600
This theorem is referenced by:  dprd2da  16664  dmdprdsplit  16669  ablfac1eulem  16696  ablfac1eu  16697
  Copyright terms: Public domain W3C validator