MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdcntz2 Structured version   Unicode version

Theorem dprdcntz2 17406
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz2.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdcntz2.c  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
dprdcntz2.d  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
dprdcntz2.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
dprdcntz2.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
Assertion
Ref Expression
dprdcntz2  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )

Proof of Theorem dprdcntz2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdcntz2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
2 dprdcntz2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
3 dprdcntz2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
41, 2, 3dprdres 17395 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  /\  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
54simpld 457 . 2  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
6 dmres 5114 . . 3  |-  dom  ( S  |`  C )  =  ( C  i^i  dom  S )
73, 2sseqtr4d 3479 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  C_  dom  S )
8 df-ss 3428 . . . 4  |-  ( C 
C_  dom  S  <->  ( C  i^i  dom  S )  =  C )
97, 8sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  dom  S )  =  C )
106, 9syl5eq 2455 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  C )  =  C )
11 dprdgrp 17358 . . . 4  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
121, 11syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
13 eqid 2402 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1413dprdssv 17376 . . 3  |-  ( G DProd 
( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )
15 dprdcntz2.z . . . 4  |-  Z  =  (Cntz `  G )
1613, 15cntzsubg 16698 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( Base `  G )
)  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
1712, 14, 16sylancl 660 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
18 fvres 5863 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  (
( S  |`  C ) `
 x )  =  ( S `  x
) )
1918adantl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 x )  =  ( S `  x
) )
20 dprdcntz2.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
211, 2, 20dprdres 17395 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
2221simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
2322adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
24 dprdsubg 17391 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
2523, 24syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
263sselda 3442 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  I )
271, 2dprdf2 17360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S : I --> (SubGrp `  G ) )
2827ffvelrnda 6009 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G )
)
2926, 28syldan 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G )
)
30 dmres 5114 . . . . . . 7  |-  dom  ( S  |`  D )  =  ( D  i^i  dom  S )
3120, 2sseqtr4d 3479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  C_  dom  S )
32 df-ss 3428 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  dom  S  <->  ( D  i^i  dom  S )  =  D )
3331, 32sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  i^i  dom  S )  =  D )
3430, 33syl5eq 2455 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
3534adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  dom  ( S  |`  D )  =  D )
3612adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  G  e.  Grp )
3713subgss 16526 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  x )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  x )  C_  ( Base `  G ) )
3829, 37syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  x )  C_  ( Base `  G
) )
3913, 15cntzsubg 16698 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( S `  x ) 
C_  ( Base `  G
) )  ->  ( Z `  ( S `  x ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
4036, 38, 39syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( Z `  ( S `  x ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
41 fvres 5863 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  D  ->  (
( S  |`  D ) `
 y )  =  ( S `  y
) )
4241adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( S  |`  D ) `
 y )  =  ( S `  y
) )
431ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  G dom DProd  S )
442ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  dom  S  =  I )
4520adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  D  C_  I )
4645sselda 3442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  I )
4726adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  x  e.  I )
48 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
49 noel 3742 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  x  e.  (/)
50 elin 3626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( C  i^i  D )  <->  ( x  e.  C  /\  x  e.  D ) )
51 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
5251eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( C  i^i  D )  <-> 
x  e.  (/) ) )
5350, 52syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  C  /\  x  e.  D )  <->  x  e.  (/) ) )
5449, 53mtbiri 301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  -.  ( x  e.  C  /\  x  e.  D ) )
55 imnan 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  C  ->  -.  x  e.  D
)  <->  -.  ( x  e.  C  /\  x  e.  D ) )
5654, 55sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  C  ->  -.  x  e.  D
) )
5756imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  -.  x  e.  D )
5857adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  -.  x  e.  D )
59 nelne2 2733 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  D  /\  -.  x  e.  D
)  ->  y  =/=  x )
6048, 58, 59syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  =/=  x )
6143, 44, 46, 47, 60, 15dprdcntz 17361 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( S `  y )  C_  ( Z `  ( S `  x )
) )
6242, 61eqsstrd 3476 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( S  |`  D ) `
 y )  C_  ( Z `  ( S `
 x ) ) )
6323, 35, 40, 62dprdlub 17393 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( Z `  ( S `  x
) ) )
6415, 25, 29, 63cntzrecd 17020 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  x )  C_  ( Z `  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
6519, 64eqsstrd 3476 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( S  |`  C ) `
 x )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
665, 10, 17, 65dprdlub 17393 1  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( Z `  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   class class class wbr 4395   dom cdm 4823    |` cres 4825   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   Grpcgrp 16377  SubGrpcsubg 16519  Cntzccntz 16677   DProd cdprd 17344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-gim 16631  df-cntz 16679  df-oppg 16705  df-cmn 17124  df-dprd 17346
This theorem is referenced by:  dprd2da  17411  dmdprdsplit  17416  ablfac1eulem  17443  ablfac1eu  17444
  Copyright terms: Public domain W3C validator