MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprddisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprddisj2 18261
Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c (𝜑𝐶𝐼)
dprdcntz2.d (𝜑𝐷𝐼)
dprdcntz2.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprddisj2.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprddisj2 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })

Proof of Theorem dprddisj2
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3795 . . . . . 6 ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))
2 dprdcntz2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 dprdcntz2.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4 dprdcntz2.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐼)
52, 3, 4dprdres 18250 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
65simprd 478 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
71, 6syl5ss 3579 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
87sseld 3567 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
9 dprddisj2.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
10 eqid 2610 . . . . . . . 8 {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
119, 10eldprd 18226 . . . . . . 7 (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
123, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
132ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
143ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → dom 𝑆 = 𝐼)
15 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 })
16 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1710, 13, 14, 15, 16dprdff 18234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
1817feqmptd 6159 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓𝑥)))
19 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
2019difeq2d 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐶𝐷)) = (𝐼 ∖ ∅))
21 difindi 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∖ (𝐶𝐷)) = ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷))
22 dif0 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∖ ∅) = 𝐼
2320, 21, 223eqtr3g 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)) = 𝐼)
24 eqimss2 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)) = 𝐼𝐼 ⊆ ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐼 ⊆ ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)))
2625ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝐼 ⊆ ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)))
2726sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)))
28 elun 3715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼𝐷)))
2927, 28sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥 ∈ (𝐼𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼𝐷)))
304ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝐶𝐼)
31 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
329, 10, 13, 14, 30, 15, 31dmdprdsplitlem 18259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐶)) → (𝑓𝑥) = 0 )
33 dprdcntz2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷𝐼)
3433ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝐷𝐼)
35 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
369, 10, 13, 14, 34, 15, 35dmdprdsplitlem 18259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐷)) → (𝑓𝑥) = 0 )
3732, 36jaodan 822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼𝐷))) → (𝑓𝑥) = 0 )
3829, 37syldan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = 0 )
3938mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑓𝑥)) = (𝑥𝐼0 ))
4018, 39eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥𝐼0 ))
4140oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥𝐼0 )))
42 dprdgrp 18227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
43 grpmnd 17252 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
442, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
452, 3dprddomcld 18223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ V)
469gsumz 17197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥𝐼0 )) = 0 )
4744, 45, 46syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐼0 )) = 0 )
4847ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝐺 Σg (𝑥𝐼0 )) = 0 )
4941, 48eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )
5049ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) → (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
51 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
52 elin 3758 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5351, 52syl6bb 275 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
54 velsn 4141 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
55 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
5654, 55syl5bb 271 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ { 0 } ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
5753, 56imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → ((𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )))
5850, 57syl5ibrcom 236 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
5958rexlimdva 3013 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
6059adantld 482 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
6112, 60sylbid 229 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
6261com23 84 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ { 0 })))
638, 62mpdd 42 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }))
6463ssrdv 3574 . 2 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ { 0 })
655simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
66 dprdsubg 18246 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
679subg0cl 17425 . . . . 5 ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
6865, 66, 673syl 18 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
692, 3, 33dprdres 18250 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
7069simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
71 dprdsubg 18246 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
729subg0cl 17425 . . . . 5 ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
7370, 71, 723syl 18 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
7468, 73elind 3760 . . 3 (𝜑0 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
7574snssd 4281 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
7664, 75eqssd 3585 1 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  cdif 3537  cun 3538  cin 3539  wss 3540  c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  Xcixp 7794   finSupp cfsupp 8158  Basecbs 15695  0gc0g 15923   Σg cgsu 15924  Mndcmnd 17117  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411   DProd cdprd 18215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-cmn 18018  df-dprd 18217
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  18269  ablfac1eulem  18294  ablfac1eu  18295
  Copyright terms: Public domain W3C validator