Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdgrp 18227
 Description: Reverse closure for the internal direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdgrp (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem dprdgrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmdprd 18219 . . . . . 6 Rel dom DProd
21brrelex2i 5083 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆 ∈ V)
3 dmexg 6989 . . . . 5 (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
5 eqid 2610 . . . 4 dom 𝑆 = dom 𝑆
6 eqid 2610 . . . . 5 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
7 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
8 eqid 2610 . . . . 5 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
96, 7, 8dmdprd 18220 . . . 4 ((dom 𝑆 ∈ V ∧ dom 𝑆 = dom 𝑆) → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)}))))
104, 5, 9sylancl 693 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)}))))
1110ibi 255 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑆(∀𝑦 ∈ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})(𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑦)) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (dom 𝑆 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)})))
1211simp1d 1066 1 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  0gc0g 15923  mrClscmrc 16066  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  Cntzccntz 17571   DProd cdprd 18215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-ixp 7795  df-dprd 18217 This theorem is referenced by:  dprdssv  18238  dprdfid  18239  dprdfinv  18241  dprdfadd  18242  dprdfsub  18243  dprdfeq0  18244  dprdf11  18245  dprdsubg  18246  dprdlub  18248  dprdspan  18249  dprdres  18250  dprdss  18251  dprdf1o  18254  dmdprdsplitlem  18259  dprdcntz2  18260  dprddisj2  18261  dprd2dlem1  18263  dprd2da  18264  dmdprdsplit2lem  18267  dmdprdsplit2  18268  dpjfval  18277  dpjidcl  18280
 Copyright terms: Public domain W3C validator