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Theorem dprddisj2 16559
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz2.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdcntz2.c  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
dprdcntz2.d  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
dprdcntz2.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
dprddisj2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
dprddisj2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem dprddisj2
Dummy variables  f  h  i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3591 . . . . . 6  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )
2 dprdcntz2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dprdcntz2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
4 dprdcntz2.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
52, 3, 4dprdres 16547 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  /\  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
65simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( G DProd  S ) )
71, 6syl5ss 3388 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  ( G DProd  S ) )
87sseld 3376 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  ( G DProd  S ) ) )
9 dprddisj2.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  }
119, 10eldprd 16508 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  I  -> 
( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
123, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
132ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  G dom DProd  S )
143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  dom  S  =  I )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )
16 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1710, 13, 14, 15, 16dprdff 16518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f :
I --> ( Base `  G
) )
1817feqmptd 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  I  |->  ( f `  x
) ) )
19 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
2019difeq2d 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( I  \  ( C  i^i  D ) )  =  ( I  \  (/) ) )
21 difindi 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I 
\  ( C  i^i  D ) )  =  ( ( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) )
22 dif0 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I 
\  (/) )  =  I
2320, 21, 223eqtr3g 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
)  =  I )
24 eqimss2 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) )  =  I  ->  I  C_  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  I  C_  ( (
I  \  C )  u.  ( I  \  D
) ) )
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  I  C_  (
( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) ) )
2726sselda 3377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
) )
28 elun 3518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( I 
\  C )  u.  ( I  \  D
) )  <->  ( x  e.  ( I  \  C
)  \/  x  e.  ( I  \  D
) ) )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
x  e.  ( I 
\  C )  \/  x  e.  ( I 
\  D ) ) )
304ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  C  C_  I
)
31 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
329, 10, 13, 14, 30, 15, 31dmdprdsplitlem 16556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  ( I  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
33 dprdcntz2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  D  C_  I
)
35 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
369, 10, 13, 14, 34, 15, 35dmdprdsplitlem 16556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  ( I  \  D
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
3732, 36jaodan 783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  ( x  e.  ( I  \  C )  \/  x  e.  ( I  \  D
) ) )  -> 
( f `  x
)  =  .0.  )
3829, 37syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
3938mpteq2dva 4399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( f `
 x ) )  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
4018, 39eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
4140oveq2d 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) ) )
42 dprdgrp 16511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
43 grpmnd 15571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
442, 42, 433syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
452, 3dprddomcld 16505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
469gsumz 15532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  I  e.  _V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
4744, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
4941, 48eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  )
5049ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  ->  (
( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  )
)
51 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <->  ( G  gsumg  f )  e.  ( ( G DProd 
( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) ) )
52 elin 3560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <-> 
( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
5351, 52syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <->  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
54 elsn 3912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
55 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  =  .0.  <->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  ) )
5654, 55syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e. 
{  .0.  }  <->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  )
)
5753, 56imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( ( x  e.  ( ( G DProd 
( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } )  <-> 
( ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  ) ) )
5850, 57syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  ->  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  ->  (
x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
5958rexlimdva 2862 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6059adantld 467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G dom DProd  S  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } x  =  ( G  gsumg  f ) )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6112, 60sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  -> 
( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6261com23 78 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
638, 62mpdd 40 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
6463ssrdv 3383 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  {  .0.  } )
655simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
66 dprdsubg 16543 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
679subg0cl 15710 . . . . 5  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
6865, 66, 673syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
692, 3, 33dprdres 16547 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
7069simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
71 dprdsubg 16543 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
729subg0cl 15710 . . . . 5  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
7370, 71, 723syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
7468, 73elind 3561 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
7574snssd 4039 . 2  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
7664, 75eqssd 3394 1  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   {csn 3898   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   dom cdm 4861    |` cres 4863   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   X_cixp 7284   finSupp cfsupp 7641   Basecbs 14195   0gc0g 14399    gsumg cgsu 14400   Mndcmnd 15430   Grpcgrp 15431  SubGrpcsubg 15696   DProd cdprd 16497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-tpos 6766  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-mhm 15485  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-mulg 15569  df-subg 15699  df-ghm 15766  df-gim 15808  df-cntz 15856  df-oppg 15882  df-cmn 16300  df-dprd 16499
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  16568  ablfac1eulem  16595  ablfac1eu  16596
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