MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprddisj2 Structured version   Unicode version

Theorem dprddisj2 16889
Description: The function  S is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
dprdcntz2.2  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
dprdcntz2.c  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
dprdcntz2.d  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
dprdcntz2.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
dprddisj2.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
dprddisj2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )

Proof of Theorem dprddisj2
Dummy variables  f  h  i  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3718 . . . . . 6  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) 
C_  ( G DProd  ( S  |`  C ) )
2 dprdcntz2.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
3 dprdcntz2.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  dom  S  =  I )
4 dprdcntz2.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  C_  I )
52, 3, 4dprdres 16877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  /\  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
65simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  C_  ( G DProd  S ) )
71, 6syl5ss 3515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  ( G DProd  S ) )
87sseld 3503 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  ( G DProd  S ) ) )
9 dprddisj2.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  }  =  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  }
119, 10eldprd 16838 . . . . . . 7  |-  ( dom 
S  =  I  -> 
( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
123, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  <->  ( G dom DProd  S  /\  E. f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } x  =  ( G  gsumg  f ) ) ) )
132ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  G dom DProd  S )
143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  dom  S  =  I )
15 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )
16 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1710, 13, 14, 15, 16dprdff 16848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f :
I --> ( Base `  G
) )
1817feqmptd 5920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  I  |->  ( f `  x
) ) )
19 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
2019difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( I  \  ( C  i^i  D ) )  =  ( I  \  (/) ) )
21 difindi 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I 
\  ( C  i^i  D ) )  =  ( ( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) )
22 dif0 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I 
\  (/) )  =  I
2320, 21, 223eqtr3g 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
)  =  I )
24 eqimss2 3557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) )  =  I  ->  I  C_  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  I  C_  ( (
I  \  C )  u.  ( I  \  D
) ) )
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  I  C_  (
( I  \  C
)  u.  ( I 
\  D ) ) )
2726sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  ( ( I  \  C )  u.  (
I  \  D )
) )
28 elun 3645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( I 
\  C )  u.  ( I  \  D
) )  <->  ( x  e.  ( I  \  C
)  \/  x  e.  ( I  \  D
) ) )
2927, 28sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
x  e.  ( I 
\  C )  \/  x  e.  ( I 
\  D ) ) )
304ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  C  C_  I
)
31 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
329, 10, 13, 14, 30, 15, 31dmdprdsplitlem 16886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  ( I  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
33 dprdcntz2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  C_  I )
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  D  C_  I
)
35 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
369, 10, 13, 14, 34, 15, 35dmdprdsplitlem 16886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  ( I  \  D
) )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
3732, 36jaodan 783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  ( x  e.  ( I  \  C )  \/  x  e.  ( I  \  D
) ) )  -> 
( f `  x
)  =  .0.  )
3829, 37syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I 
( S `  i
)  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  =  .0.  )
3938mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( x  e.  I  |->  ( f `
 x ) )  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
4018, 39eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
4140oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  ( G 
gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) ) )
42 dprdgrp 16841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G dom DProd  S  ->  G  e. 
Grp )
43 grpmnd 15872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
442, 42, 433syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
452, 3dprddomcld 16835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
469gsumz 15833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  I  e.  _V )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
4744, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
4941, 48eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  /\  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  )
5049ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  ->  (
( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  )
)
51 eleq1 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <->  ( G  gsumg  f )  e.  ( ( G DProd 
( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) ) ) )
52 elin 3687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  gsumg  f )  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <-> 
( ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
5351, 52syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  <->  ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) ) )
54 elsn 4041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  {  .0.  }  <->  x  =  .0.  )
55 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  =  .0.  <->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  ) )
5654, 55syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e. 
{  .0.  }  <->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  )
)
5753, 56imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( ( x  e.  ( ( G DProd 
( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } )  <-> 
( ( ( G 
gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  /\  ( G  gsumg  f )  e.  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( G  gsumg  f )  =  .0.  ) ) )
5850, 57syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  { h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } )  ->  (
x  =  ( G 
gsumg  f )  ->  (
x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
5958rexlimdva 2955 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } x  =  ( G  gsumg  f )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6059adantld 467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G dom DProd  S  /\  E. f  e. 
{ h  e.  X_ i  e.  I  ( S `  i )  |  h finSupp  .0.  } x  =  ( G  gsumg  f ) )  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6112, 60sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  -> 
( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
6261com23 78 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  ( x  e.  ( G DProd  S )  ->  x  e.  {  .0.  } ) ) )
638, 62mpdd 40 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  ->  x  e.  {  .0.  } ) )
6463ssrdv 3510 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  C_  {  .0.  } )
655simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  C ) )
66 dprdsubg 16873 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  C )  ->  ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
679subg0cl 16014 . . . . 5  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
6865, 66, 673syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  C ) ) )
692, 3, 33dprdres 16877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  /\  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  C_  ( G DProd  S ) ) )
7069simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( S  |`  D ) )
71 dprdsubg 16873 . . . . 5  |-  ( G dom DProd  ( S  |`  D )  ->  ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
729subg0cl 16014 . . . . 5  |-  ( ( G DProd  ( S  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
7370, 71, 723syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( G DProd 
( S  |`  D ) ) )
7468, 73elind 3688 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
7574snssd 4172 . 2  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) ) )
7664, 75eqssd 3521 1  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( S  |`  C ) )  i^i  ( G DProd  ( S  |`  D ) ) )  =  {  .0.  } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   X_cixp 7469   finSupp cfsupp 7829   Basecbs 14490   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   Mndcmnd 15726   Grpcgrp 15727  SubGrpcsubg 16000   DProd cdprd 16827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-ghm 16070  df-gim 16112  df-cntz 16160  df-oppg 16186  df-cmn 16606  df-dprd 16829
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  16898  ablfac1eulem  16925  ablfac1eu  16926
  Copyright terms: Public domain W3C validator