MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfid 8068
Description: A subset of a finite set is finite, deduction version of ssfi 8065. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ssfid.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
ssfid.2 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
ssfid (𝜑𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssfid
StepHypRef Expression
1 ssfid.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 ssfid.2 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
3 ssfi 8065 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  wss 3540  Fincfn 7841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-om 6958  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845
This theorem is referenced by:  marypha1lem  8222  pwfseqlem4  9363  fsumcom2  14347  fprodcom2  14553  sylow2a  17857  ablfac1eu  18295  fprodcnlem  38666  sge0uzfsumgt  39337  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem3  39487  hoidmvlelem4  39488  hspmbllem1  39516  wspthnfi  41126  wspthnonfi  41129  clwwlksnfi  41220  qerclwwlksnfi  41257
  Copyright terms: Public domain W3C validator