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Theorem ablfac1eu 16564
Description: The factorization of ablfac1b 16561 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to 
S. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac1.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac1.f  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
ablfac1c.d  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac1.2  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
ablfac1eu.1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
ablfac1eu.2  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
ablfac1eu.3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
ablfac1eu.4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu  |-  ( ph  ->  T  =  S )
Distinct variable groups:    q, p, w, x, B    D, p, q, x    ph, p, q, w, x    S, q    A, p, q, x    O, p, q, x    T, q, x    G, p, q, x
Allowed substitution hints:    A( w)    C( x, w, q, p)    D( w)    S( x, w, p)    T( w, p)    G( w)    O( w)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
21simpld 456 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  T )
3 ablfac1eu.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
42, 3dprdf2 16481 . . 3  |-  ( ph  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
5 ffn 5556 . . 3  |-  ( T : A --> (SubGrp `  G )  ->  T  Fn  A )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  T  Fn  A )
7 ablfac1.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 ablfac1.o . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
9 ablfac1.s . . . . 5  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
10 ablfac1.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
11 ablfac1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
12 ablfac1.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
137, 8, 9, 10, 11, 12ablfac1b 16561 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
14 fvex 5698 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
157, 14eqeltri 2511 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
1615rabex 4440 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  _V
1716, 9dmmpti 5537 . . . . 5  |-  dom  S  =  A
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  A )
1913, 18dprdf2 16481 . . 3  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
20 ffn 5556 . . 3  |-  ( S : A --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  A )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  Fn  A )
2211adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
2319ffvelrnda 5840 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
247subgss 15675 . . . . 5  |-  ( ( S `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  q )  C_  B
)
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  C_  B )
26 ssfi 7529 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( S `  q ) 
C_  B )  -> 
( S `  q
)  e.  Fin )
2722, 25, 26syl2anc 656 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  e.  Fin )
284ffvelrnda 5840 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
297subgss 15675 . . . . . 6  |-  ( ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( T `  q )  C_  B
)
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_  B )
3128adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
32 ssfi 7529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( T `  q ) 
C_  B )  -> 
( T `  q
)  e.  Fin )
3322, 30, 32syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  e.  Fin )
3433adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( T `  q )  e.  Fin )
35 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  x  e.  ( T `  q
) )
368odsubdvds 16063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T `  q )  e.  Fin  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( # `  ( T `  q )
) )
3731, 34, 35, 36syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( # `  ( T `  q )
) )
38 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
3912sselda 3353 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  Prime )
40 prmz 13763 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ZZ )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  ZZ )
42 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
4342nn0zd 10741 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  ZZ )
44 ablgrp 16275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
4510, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
467grpbn0 15560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
48 hashnncl 12130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
4911, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
5047, 49mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
5150adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e.  NN )
5239, 51pccld 13913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
5352nn0zd 10741 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  ZZ )
547lagsubg 15736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( # `  B ) )
5528, 22, 54syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( # `  B ) )
5638, 55eqbrtrrd 4311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( # `  B
) )
5751nnzd 10742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e.  ZZ )
58 pcdvdsb 13931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ  /\  C  e. 
NN0 )  ->  ( C  <_  ( q  pCnt  (
# `  B )
)  <->  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) ) )
5939, 57, 42, 58syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( C  <_  ( q  pCnt  (
# `  B )
)  <->  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) ) )
6056, 59mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  <_  ( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )
61 eluz2 10863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( C  e.  ZZ  /\  ( q 
pCnt  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  C  <_  ( q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6243, 53, 60, 61syl3anbrc 1167 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
63 dvdsexp 13585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0  /\  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C ) )  ->  ( q ^ C )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6441, 42, 62, 63syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )
6538, 64eqbrtrd 4309 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6665adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6730sselda 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  x  e.  B )
687, 8odcl 16032 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
6967, 68syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
7069nn0zd 10741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
71 hashcl 12122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  q )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e. 
NN0 )
7233, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e. 
NN0 )
7372nn0zd 10741 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e.  ZZ )
7473adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e.  ZZ )
75 prmnn 13762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  NN )
7639, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  NN )
7776, 52nnexpcld 12025 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  NN )
7877nnzd 10742 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
7978adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
80 dvdstr 13562 . . . . . . 7  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  ( # `  ( T `
 q ) )  e.  ZZ  /\  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  x )  ||  ( # `
 ( T `  q ) )  /\  ( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8170, 74, 79, 80syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  (
( ( O `  x )  ||  ( # `
 ( T `  q ) )  /\  ( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8237, 66, 81mp2and 674 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
8330, 82ssrabdv 3428 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_ 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
84 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  p  =  q )
85 oveq1 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  (
p  pCnt  ( # `  B
) )  =  ( q  pCnt  ( # `  B
) ) )
8684, 85oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  q  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
8786breq2d 4301 . . . . . . 7  |-  ( p  =  q  ->  (
( O `  x
)  ||  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) )  <->  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8887rabbidv 2962 . . . . . 6  |-  ( p  =  q  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  =  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
8988, 9, 16fvmpt3i 5775 . . . . 5  |-  ( q  e.  A  ->  ( S `  q )  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
9089adantl 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
9183, 90sseqtr4d 3390 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_  ( S `  q
) )
9277nnnn0d 10632 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e. 
NN0 )
93 pcdvds 13926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 B )  e.  NN )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
9439, 51, 93syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
952adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  T )
963adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  dom  T  =  A )
97 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
9897adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  D  C_  A )
9995, 96, 98dprdres 16515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
10099simpld 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
1014adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T : A --> (SubGrp `  G )
)
102 fssres 5575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T : A --> (SubGrp `  G )  /\  D  C_  A )  ->  ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )
)
103101, 98, 102syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )
)
104 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
106 difssd 3481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( D  \  { q } )  C_  D )
107100, 105, 106dprdres 16515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ) )
108107simpld 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )
109 dprdsubg 16511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
1117lagsubg 15736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )
112110, 22, 111syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )
113 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
114113subg0cl 15682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )
115110, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )
116 ne0i 3640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0g `  G )  e.  ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  =/=  (/) )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  =/=  (/) )
1187dprdssv 16496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  C_  B
119 ssfi 7529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  Fin )
12022, 118, 119sylancl 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e. 
Fin )
121 hashnncl 12130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e. 
Fin  ->  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  NN  <->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  =/=  (/) ) )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  NN  <->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  =/=  (/) ) )
123117, 122mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  NN )
124123nnzd 10742 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  ZZ )
125 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  D  |->  { y  e.  B  |  ( O `  y ) 
||  ( p ^
( p  pCnt  ( # `
 B ) ) ) } )  =  ( p  e.  D  |->  { y  e.  B  |  ( O `  y )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
12610adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
12711adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  B  e.  Fin )
128 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
129 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  Prime
130128, 129eqsstri 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  C_  Prime
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  C_  Prime )
132 ssid 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  C_  D
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  C_  D
)
1342, 3, 97dprdres 16515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
135134simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
136 dprdsubg 16511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
138 difssd 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( A  \  D
)  C_  A )
1392, 3, 138dprdres 16515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
140139simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )
141 dprdsubg 16511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
143 difss 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
\  D )  C_  A
144 fssres 5575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T : A --> (SubGrp `  G )  /\  ( A  \  D )  C_  A )  ->  ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D
) --> (SubGrp `  G )
)
1454, 143, 144sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D ) --> (SubGrp `  G ) )
146 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D
) --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  ( A  \  D ) )  =  ( A 
\  D ) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( T  |`  ( A  \  D ) )  =  ( A 
\  D ) )
148 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  e.  ( A  \  D )  ->  (
( T  |`  ( A  \  D ) ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
149148adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) `  q )  =  ( T `  q ) )
150 eldif 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  e.  ( A  \  D )  <->  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )
15133adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( T `  q
)  e.  Fin )
152113subg0cl 15682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T `  q ) )
15328, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T `  q
) )
154153snssd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( T `  q ) )
155154adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( T `  q ) )
15638adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
15739adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  e.  Prime )
158 iddvdsexp 13552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( q ^ C ) )
15941, 158sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( q ^ C
) )
16056adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( # `  B
) )
16138, 73eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C )  e.  ZZ )
162 dvdstr 13562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( q ^ C
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( q  ||  ( q ^ C
)  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
16341, 161, 57, 162syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  ||  (
q ^ C )  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
164163adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  (
( q  ||  (
q ^ C )  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
165159, 160, 164mp2and 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( # `  B
) )
166 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( w  =  q  ->  (
w  ||  ( # `  B
)  <->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
167166, 128elrab2 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( q  e.  D  <->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  ( # `  B ) ) )
168157, 165, 167sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  e.  D )
169168ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( C  e.  NN  ->  q  e.  D ) )
170169con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  e.  D  ->  -.  C  e.  NN ) )
171170impr 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  -.  C  e.  NN )
17242adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  C  e.  NN0 )
173 elnn0 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( C  e.  NN0  <->  ( C  e.  NN  \/  C  =  0 ) )
174172, 173sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( C  e.  NN  \/  C  =  0
) )
175174ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( -.  C  e.  NN  ->  C  = 
0 ) )
176171, 175mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  C  =  0 )
177176oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( q ^ C
)  =  ( q ^ 0 ) )
17876adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
q  e.  NN )
179178nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
q  e.  CC )
180179exp0d 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( q ^ 0 )  =  1 )
181156, 177, 1803eqtrd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  1 )
182 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
183 hashsng 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 0g
`  G ) } )  =  1 )
184182, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  1
185181, 184syl6reqr 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
186 snfi 7386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  { ( 0g `  G ) }  e.  Fin
187 hashen 12114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { ( 0g `  G ) }  e.  Fin  /\  ( T `  q )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  ( # `  ( T `  q )
)  <->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) ) )
188186, 151, 187sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( # `  {
( 0g `  G
) } )  =  ( # `  ( T `  q )
)  <->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) ) )
189185, 188mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) )
190 fisseneq 7520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  Fin  /\  { ( 0g `  G
) }  C_  ( T `  q )  /\  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  =  ( T `  q ) )
191151, 155, 189, 190syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  =  ( T `  q ) )
192113subg0cl 15682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
193137, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
194193adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
195194snssd 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
196191, 195eqsstr3d 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( T `  q
)  C_  ( G DProd  ( T  |`  D )
) )
197150, 196sylan2b 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( T `  q )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
198149, 197eqsstrd 3387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) `  q )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
199140, 147, 137, 198dprdlub 16513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
200 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
201200lsmss2 16158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )  ->  ( ( G DProd 
( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
202137, 142, 199, 201syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
203 disjdif 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  i^i  ( A  \  D ) )  =  (/)
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( D  i^i  ( A  \  D ) )  =  (/) )
205 undif2 3752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  u.  ( A  \  D ) )  =  ( D  u.  A
)
206 ssequn1 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( D 
C_  A  <->  ( D  u.  A )  =  A )
20797, 206sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( D  u.  A
)  =  A )
208205, 207syl5req 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  =  ( D  u.  ( A  \  D ) ) )
2094, 204, 208, 200, 2dprdsplit 16537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  T )  =  ( ( G DProd 
( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) ) ) )
2101simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  T )  =  B )
211209, 210eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) ) )  =  B )
212202, 211eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B )
213135, 212jca 529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B ) )
214213adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B ) )
2154, 97, 102syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G ) )
216215, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
217216adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
21897sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  q  e.  A )
219218, 42syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  C  e.  NN0 )
220219adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  Prime )  /\  q  e.  D )  ->  C  e.  NN0 )
221 fvres 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  D  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
222221adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
223222fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
224218, 38syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
225223, 224eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  ( q ^ C ) )
226225adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  Prime )  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  ( q ^ C ) )
227 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  x  e.  Prime )
228 fzfid 11791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin )
229 prmnn 13762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  Prime  ->  w  e.  NN )
2302293ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  e.  NN )
231 prmz 13763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  Prime  ->  w  e.  ZZ )
232 dvdsle 13574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN )  -> 
( w  ||  ( # `
 B )  ->  w  <_  ( # `  B
) ) )
233231, 50, 232syl2anr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime )  ->  ( w  ||  ( # `  B
)  ->  w  <_  (
# `  B )
) )
2342333impia 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  <_  ( # `
 B ) )
23550nnzd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
2362353ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
237 fznn 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( w  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( w  e.  NN  /\  w  <_  ( # `  B
) ) ) )
238236, 237syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( w  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( w  e.  NN  /\  w  <_  ( # `  B
) ) ) )
239230, 234, 238mpbir2and 908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  e.  ( 1 ... ( # `  B ) ) )
240239rabssdv 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
241128, 240syl5eqss 3397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
242 ssfi 7529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin  /\  D  C_  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  D  e.  Fin )
243228, 241, 242syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
244243adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  e.  Fin )
2457, 8, 125, 126, 127, 131, 128, 133, 214, 217, 220, 226, 227, 244ablfac1eulem 16563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) ) )
246245ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) ) )
247246adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) ) )
248 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  q  ->  x  =  q )
249 sneq 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  q  ->  { x }  =  { q } )
250249difeq2d 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  q  ->  ( D  \  { x }
)  =  ( D 
\  { q } ) )
251250reseq2d 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  q  ->  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )
252251oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  q  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) )  =  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )
253252fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  q  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )
254248, 253breq12d 4302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  q  ->  (
x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) )  <-> 
q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
255254notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  q  ->  ( -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) )  <->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
256255rspcv 3066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) )  ->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
25739, 247, 256sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )
258 coprm 13782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  <-> 
( q  gcd  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
25939, 124, 258syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  <->  ( q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
260257, 259mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )
261 rpexp1i 13803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )  ->  ( ( q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1  -> 
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
26241, 124, 52, 261syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  gcd  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1  ->  ( (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
263260, 262mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )
264 coprmdvds2 13785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ )  /\  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )  ->  ( ( ( q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B )  /\  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) 
||  ( # `  B
) )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) ) )
26578, 124, 57, 263, 264syl31anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  ||  ( # `  B )  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  x.  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) ) )
26694, 112, 265mp2and 674 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) )
267 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
268 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  i^i  { q } )  C_  D
269268a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( D  i^i  { q } )  C_  D )
270100, 105, 269dprdres 16515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ) )
271270simpld 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )
272 dprdsubg 16511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
273271, 272syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
274 inass 3557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  i^i  { q } )  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  ( D  i^i  ( { q }  i^i  ( D  \  { q } ) ) )
275 disjdif 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { q }  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  (/)
276275ineq2i 3546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  i^i  ( { q }  i^i  ( D 
\  { q } ) ) )  =  ( D  i^i  (/) )
277 in0 3660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  i^i  (/) )  =  (/)
278274, 276, 2773eqtri 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  i^i  { q } )  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  (/)
279278a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( D  i^i  {
q } )  i^i  ( D  \  {
q } ) )  =  (/) )
280100, 105, 269, 106, 279, 113dprddisj2 16527 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  i^i  ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =  {
( 0g `  G
) } )
281100, 105, 269, 106, 279, 267dprdcntz2 16526 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )
2827dprdssv 16496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  B
283 ssfi 7529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  Fin )
28422, 282, 283sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e. 
Fin )
285200, 113, 267, 273, 110, 280, 281, 284, 120lsmhash 16195 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( (
# `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) ) )  x.  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) ) )
286 inundif 3754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D  \  { q } ) )  =  D
287286eqcomi 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D  \  {
q } ) )
288287a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  D  =  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D 
\  { q } ) ) )
289103, 279, 288, 200, 100dprdsplit 16537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )
290212adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B )
291289, 290eqtr3d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  =  B )
292291fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( # `  B ) )
293 snssi 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  D  ->  { q }  C_  D )
294293adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  { q }  C_  D )
295 dfss1 3552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { q }  C_  D  <->  ( D  i^i  { q } )  =  {
q } )
296294, 295sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( D  i^i  { q } )  =  { q } )
297296reseq2d 5106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  { q } ) )
298297oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |` 
{ q } ) ) )
299100adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
300216ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
301 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  q  e.  D )
302299, 300, 301dpjlem 16540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  { q } ) )  =  ( ( T  |`  D ) `  q
) )
303221adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
304298, 302, 3033eqtrd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q
) )
305 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  -.  q  e.  D
)
306 disjsn 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  i^i  { q } )  =  (/)  <->  -.  q  e.  D )
307305, 306sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( D  i^i  {
q } )  =  (/) )
308307reseq2d 5106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  (/) ) )
309 res0 5111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  |`  D )  |`  (/) )  =  (/)
310308, 309syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  =  (/) )
311310oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
312113dprd0 16518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } ) )
31345, 312syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd 
(/) )  =  {
( 0g `  G
) } ) )
314313simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
315314adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
316311, 315, 1913eqtrd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q ) )
317316anassrs 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  -.  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) )  =  ( T `
 q ) )
318304, 317pm2.61dan 784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q
) )
319318fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) ) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
320319oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( (
# `  ( T `  q ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
321285, 292, 3203eqtr3d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  =  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) ) )
322266, 321breqtrd 4313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( (
# `  ( T `  q ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
323123nnne0d 10362 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =/=  0
)
324 dvdsmulcr 13558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( T `  q
) )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =/=  0
) )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  <->  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )
32578, 73, 124, 323, 324syl112anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  <->  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )
326322, 325mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  ( T `
 q ) ) )
327 dvdseq 13576 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( # `  ( T `  q )
)  e.  NN0  /\  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  e. 
NN0 )  /\  (
( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  /\  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )  ->  ( # `  ( T `  q )
)  =  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) ) )
32872, 92, 65, 326, 327syl22anc 1214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
3297, 8, 9, 10, 11, 12ablfac1a 16560 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( S `  q ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
330328, 329eqtr4d 2476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( # `  ( S `  q )
) )
331 hashen 12114 . . . . 5  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  Fin  /\  ( S `  q )  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( T `  q )
)  =  ( # `  ( S `  q
) )  <->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q )
) )
33233, 27, 331syl2anc 656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( # `  ( S `  q )
)  <->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q )
) )
333330, 332mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q
) )
334 fisseneq 7520 . . 3  |-  ( ( ( S `  q
)  e.  Fin  /\  ( T `  q ) 
C_  ( S `  q )  /\  ( T `  q )  ~~  ( S `  q
) )  ->  ( T `  q )  =  ( S `  q ) )
33527, 91, 333, 334syl3anc 1213 . 2  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  =  ( S `  q ) )
3366, 21, 335eqfnfvd 5797 1  |-  ( ph  ->  T  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836    |` cres 4838    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ~~ cen 7303   Fincfn 7306   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    <_ cle 9415   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   ^cexp 11861   #chash 12099    || cdivides 13531    gcd cgcd 13686   Primecprime 13759    pCnt cpc 13899   Basecbs 14170   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406  SubGrpcsubg 15668  Cntzccntz 15826   odcod 16021   LSSumclsm 16126   Abelcabel 16271   DProd cdprd 16465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-eqg 15673  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-ga 15801  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-od 16025  df-lsm 16128  df-pj1 16129  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-dprd 16467
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