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Theorem ablfac1eu 16938
Description: The factorization of ablfac1b 16935 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to 
S. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac1.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac1.f  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
ablfac1c.d  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac1.2  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
ablfac1eu.1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
ablfac1eu.2  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
ablfac1eu.3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
ablfac1eu.4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu  |-  ( ph  ->  T  =  S )
Distinct variable groups:    q, p, w, x, B    D, p, q, x    ph, p, q, w, x    S, q    A, p, q, x    O, p, q, x    T, q, x    G, p, q, x
Allowed substitution hints:    A( w)    C( x, w, q, p)    D( w)    S( x, w, p)    T( w, p)    G( w)    O( w)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
21simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  T )
3 ablfac1eu.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
42, 3dprdf2 16855 . . 3  |-  ( ph  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
5 ffn 5731 . . 3  |-  ( T : A --> (SubGrp `  G )  ->  T  Fn  A )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  T  Fn  A )
7 ablfac1.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 ablfac1.o . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
9 ablfac1.s . . . . 5  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
10 ablfac1.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
11 ablfac1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
12 ablfac1.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
137, 8, 9, 10, 11, 12ablfac1b 16935 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
14 fvex 5876 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
157, 14eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
1615rabex 4598 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  _V
1716, 9dmmpti 5710 . . . . 5  |-  dom  S  =  A
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  A )
1913, 18dprdf2 16855 . . 3  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
20 ffn 5731 . . 3  |-  ( S : A --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  A )
2119, 20syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  Fn  A )
2211adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
2319ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
247subgss 16016 . . . . 5  |-  ( ( S `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  q )  C_  B
)
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  C_  B )
26 ssfi 7741 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( S `  q ) 
C_  B )  -> 
( S `  q
)  e.  Fin )
2722, 25, 26syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  e.  Fin )
284ffvelrnda 6022 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
297subgss 16016 . . . . . 6  |-  ( ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( T `  q )  C_  B
)
3028, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_  B )
3128adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
32 ssfi 7741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( T `  q ) 
C_  B )  -> 
( T `  q
)  e.  Fin )
3322, 30, 32syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  e.  Fin )
3433adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( T `  q )  e.  Fin )
35 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  x  e.  ( T `  q
) )
368odsubdvds 16406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T `  q )  e.  Fin  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( # `  ( T `  q )
) )
3731, 34, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( # `  ( T `  q )
) )
38 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
3912sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  Prime )
40 prmz 14083 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ZZ )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  ZZ )
42 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
4342nn0zd 10965 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  ZZ )
44 ablgrp 16618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
4510, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
467grpbn0 15893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
48 hashnncl 12405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
4911, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
5047, 49mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e.  NN )
5239, 51pccld 14236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
5352nn0zd 10965 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  ZZ )
547lagsubg 16077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( # `  B ) )
5528, 22, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( # `  B ) )
5638, 55eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( # `  B
) )
5751nnzd 10966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e.  ZZ )
58 pcdvdsb 14254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ  /\  C  e. 
NN0 )  ->  ( C  <_  ( q  pCnt  (
# `  B )
)  <->  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) ) )
5939, 57, 42, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( C  <_  ( q  pCnt  (
# `  B )
)  <->  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) ) )
6056, 59mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  <_  ( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )
61 eluz2 11089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( C  e.  ZZ  /\  ( q 
pCnt  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  C  <_  ( q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6243, 53, 60, 61syl3anbrc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
63 dvdsexp 13904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0  /\  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C ) )  ->  ( q ^ C )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6441, 42, 62, 63syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )
6538, 64eqbrtrd 4467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6665adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6730sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  x  e.  B )
687, 8odcl 16375 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
6967, 68syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
7069nn0zd 10965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
71 hashcl 12397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  q )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e. 
NN0 )
7233, 71syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e. 
NN0 )
7372nn0zd 10965 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e.  ZZ )
7473adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e.  ZZ )
75 prmnn 14082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  NN )
7639, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  NN )
7776, 52nnexpcld 12300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  NN )
7877nnzd 10966 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
7978adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
80 dvdstr 13881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  ( # `  ( T `
 q ) )  e.  ZZ  /\  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  x )  ||  ( # `
 ( T `  q ) )  /\  ( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8170, 74, 79, 80syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  (
( ( O `  x )  ||  ( # `
 ( T `  q ) )  /\  ( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8237, 66, 81mp2and 679 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
8330, 82ssrabdv 3579 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_ 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
84 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  p  =  q )
85 oveq1 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  (
p  pCnt  ( # `  B
) )  =  ( q  pCnt  ( # `  B
) ) )
8684, 85oveq12d 6303 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  q  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
8786breq2d 4459 . . . . . . 7  |-  ( p  =  q  ->  (
( O `  x
)  ||  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) )  <->  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8887rabbidv 3105 . . . . . 6  |-  ( p  =  q  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  =  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
8988, 9, 16fvmpt3i 5955 . . . . 5  |-  ( q  e.  A  ->  ( S `  q )  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
9089adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
9183, 90sseqtr4d 3541 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_  ( S `  q
) )
9277nnnn0d 10853 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e. 
NN0 )
93 pcdvds 14249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 B )  e.  NN )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
9439, 51, 93syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
952adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  T )
963adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  dom  T  =  A )
97 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  D  C_  A )
9995, 96, 98dprdres 16889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
10099simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
1014adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T : A --> (SubGrp `  G )
)
102 fssres 5751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T : A --> (SubGrp `  G )  /\  D  C_  A )  ->  ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )
)
103101, 98, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )
)
104 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
106 difssd 3632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( D  \  { q } )  C_  D )
107100, 105, 106dprdres 16889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ) )
108107simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )
109 dprdsubg 16885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
1117lagsubg 16077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )
112110, 22, 111syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )
113 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
114113subg0cl 16023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )
115110, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )
116 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0g `  G )  e.  ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  =/=  (/) )
117115, 116syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  =/=  (/) )
1187dprdssv 16870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  C_  B
119 ssfi 7741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  Fin )
12022, 118, 119sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e. 
Fin )
121 hashnncl 12405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e. 
Fin  ->  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  NN  <->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  =/=  (/) ) )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  NN  <->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  =/=  (/) ) )
123117, 122mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  NN )
124123nnzd 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  ZZ )
125 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  D  |->  { y  e.  B  |  ( O `  y ) 
||  ( p ^
( p  pCnt  ( # `
 B ) ) ) } )  =  ( p  e.  D  |->  { y  e.  B  |  ( O `  y )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
12610adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
12711adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  B  e.  Fin )
128 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
129 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  Prime
130128, 129eqsstri 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  C_  Prime
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  C_  Prime )
132 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  C_  D
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  C_  D
)
1342, 3, 97dprdres 16889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
135134simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
136 dprdsubg 16885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
138 difssd 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( A  \  D
)  C_  A )
1392, 3, 138dprdres 16889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
140139simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )
141 dprdsubg 16885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
143 difss 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
\  D )  C_  A
144 fssres 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T : A --> (SubGrp `  G )  /\  ( A  \  D )  C_  A )  ->  ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D
) --> (SubGrp `  G )
)
1454, 143, 144sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D ) --> (SubGrp `  G ) )
146 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D
) --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  ( A  \  D ) )  =  ( A 
\  D ) )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( T  |`  ( A  \  D ) )  =  ( A 
\  D ) )
148 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  e.  ( A  \  D )  ->  (
( T  |`  ( A  \  D ) ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
149148adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) `  q )  =  ( T `  q ) )
150 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  e.  ( A  \  D )  <->  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )
15133adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( T `  q
)  e.  Fin )
152113subg0cl 16023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T `  q ) )
15328, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T `  q
) )
154153snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( T `  q ) )
155154adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( T `  q ) )
15638adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
15739adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  e.  Prime )
158 iddvdsexp 13871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( q ^ C ) )
15941, 158sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( q ^ C
) )
16056adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( # `  B
) )
16138, 73eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C )  e.  ZZ )
162 dvdstr 13881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( q ^ C
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( q  ||  ( q ^ C
)  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
16341, 161, 57, 162syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  ||  (
q ^ C )  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  (
( q  ||  (
q ^ C )  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
165159, 160, 164mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( # `  B
) )
166 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( w  =  q  ->  (
w  ||  ( # `  B
)  <->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
167166, 128elrab2 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( q  e.  D  <->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  ( # `  B ) ) )
168157, 165, 167sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  e.  D )
169168ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( C  e.  NN  ->  q  e.  D ) )
170169con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  e.  D  ->  -.  C  e.  NN ) )
171170impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  -.  C  e.  NN )
17242adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  C  e.  NN0 )
173 elnn0 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( C  e.  NN0  <->  ( C  e.  NN  \/  C  =  0 ) )
174172, 173sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( C  e.  NN  \/  C  =  0
) )
175174ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( -.  C  e.  NN  ->  C  = 
0 ) )
176171, 175mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  C  =  0 )
177176oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( q ^ C
)  =  ( q ^ 0 ) )
17876adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
q  e.  NN )
179178nncnd 10553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
q  e.  CC )
180179exp0d 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( q ^ 0 )  =  1 )
181156, 177, 1803eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  1 )
182 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
183 hashsng 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 0g
`  G ) } )  =  1 )
184182, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  1
185181, 184syl6reqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
186 snfi 7597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  { ( 0g `  G ) }  e.  Fin
187 hashen 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { ( 0g `  G ) }  e.  Fin  /\  ( T `  q )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  ( # `  ( T `  q )
)  <->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) ) )
188186, 151, 187sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( # `  {
( 0g `  G
) } )  =  ( # `  ( T `  q )
)  <->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) ) )
189185, 188mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) )
190 fisseneq 7732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  Fin  /\  { ( 0g `  G
) }  C_  ( T `  q )  /\  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  =  ( T `  q ) )
191151, 155, 189, 190syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  =  ( T `  q ) )
192113subg0cl 16023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
193137, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
194193adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
195194snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
196191, 195eqsstr3d 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( T `  q
)  C_  ( G DProd  ( T  |`  D )
) )
197150, 196sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( T `  q )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
198149, 197eqsstrd 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) `  q )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
199140, 147, 137, 198dprdlub 16887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
200 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
201200lsmss2 16501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )  ->  ( ( G DProd 
( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
202137, 142, 199, 201syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
203 disjdif 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  i^i  ( A  \  D ) )  =  (/)
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( D  i^i  ( A  \  D ) )  =  (/) )
205 undif2 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  u.  ( A  \  D ) )  =  ( D  u.  A
)
206 ssequn1 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( D 
C_  A  <->  ( D  u.  A )  =  A )
20797, 206sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( D  u.  A
)  =  A )
208205, 207syl5req 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  =  ( D  u.  ( A  \  D ) ) )
2094, 204, 208, 200, 2dprdsplit 16911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  T )  =  ( ( G DProd 
( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) ) ) )
2101simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  T )  =  B )
211209, 210eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) ) )  =  B )
212202, 211eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B )
213135, 212jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B ) )
214213adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B ) )
2154, 97, 102syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G ) )
216215, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
217216adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
21897sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  q  e.  A )
219218, 42syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  C  e.  NN0 )
220219adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  Prime )  /\  q  e.  D )  ->  C  e.  NN0 )
221 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  D  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
222221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
223222fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
224218, 38syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
225223, 224eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  ( q ^ C ) )
226225adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  Prime )  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  ( q ^ C ) )
227 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  x  e.  Prime )
228 fzfid 12052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin )
229 prmnn 14082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  Prime  ->  w  e.  NN )
2302293ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  e.  NN )
231 prmz 14083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  Prime  ->  w  e.  ZZ )
232 dvdsle 13893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN )  -> 
( w  ||  ( # `
 B )  ->  w  <_  ( # `  B
) ) )
233231, 50, 232syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime )  ->  ( w  ||  ( # `  B
)  ->  w  <_  (
# `  B )
) )
2342333impia 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  <_  ( # `
 B ) )
23550nnzd 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
2362353ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
237 fznn 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( w  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( w  e.  NN  /\  w  <_  ( # `  B
) ) ) )
238236, 237syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( w  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( w  e.  NN  /\  w  <_  ( # `  B
) ) ) )
239230, 234, 238mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  e.  ( 1 ... ( # `  B ) ) )
240239rabssdv 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
241128, 240syl5eqss 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
242 ssfi 7741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin  /\  D  C_  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  D  e.  Fin )
243228, 241, 242syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
244243adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  e.  Fin )
2457, 8, 125, 126, 127, 131, 128, 133, 214, 217, 220, 226, 227, 244ablfac1eulem 16937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) ) )
246245ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) ) )
247246adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) ) )
248 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  q  ->  x  =  q )
249 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  q  ->  { x }  =  { q } )
250249difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  q  ->  ( D  \  { x }
)  =  ( D 
\  { q } ) )
251250reseq2d 5273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  q  ->  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )
252251oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  q  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) )  =  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )
253252fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  q  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )
254248, 253breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  q  ->  (
x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) )  <-> 
q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
255254notbid 294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  q  ->  ( -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) )  <->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
256255rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) )  ->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
25739, 247, 256sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )
258 coprm 14103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  <-> 
( q  gcd  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
25939, 124, 258syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  <->  ( q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
260257, 259mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )
261 rpexp1i 14124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )  ->  ( ( q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1  -> 
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
26241, 124, 52, 261syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  gcd  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1  ->  ( (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
263260, 262mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )
264 coprmdvds2 14106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ )  /\  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )  ->  ( ( ( q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B )  /\  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) 
||  ( # `  B
) )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) ) )
26578, 124, 57, 263, 264syl31anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  ||  ( # `  B )  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  x.  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) ) )
26694, 112, 265mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) )
267 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
268 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  i^i  { q } )  C_  D
269268a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( D  i^i  { q } )  C_  D )
270100, 105, 269dprdres 16889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ) )
271270simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )
272 dprdsubg 16885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
273271, 272syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
274 inass 3708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  i^i  { q } )  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  ( D  i^i  ( { q }  i^i  ( D  \  { q } ) ) )
275 disjdif 3899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { q }  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  (/)
276275ineq2i 3697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  i^i  ( { q }  i^i  ( D 
\  { q } ) ) )  =  ( D  i^i  (/) )
277 in0 3811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  i^i  (/) )  =  (/)
278274, 276, 2773eqtri 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  i^i  { q } )  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  (/)
279278a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( D  i^i  {
q } )  i^i  ( D  \  {
q } ) )  =  (/) )
280100, 105, 269, 106, 279, 113dprddisj2 16901 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  i^i  ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =  {
( 0g `  G
) } )
281100, 105, 269, 106, 279, 267dprdcntz2 16900 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )
2827dprdssv 16870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  B
283 ssfi 7741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  Fin )
28422, 282, 283sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e. 
Fin )
285200, 113, 267, 273, 110, 280, 281, 284, 120lsmhash 16538 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( (
# `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) ) )  x.  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) ) )
286 inundif 3905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D  \  { q } ) )  =  D
287286eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D  \  {
q } ) )
288287a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  D  =  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D 
\  { q } ) ) )
289103, 279, 288, 200, 100dprdsplit 16911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )
290212adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B )
291289, 290eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  =  B )
292291fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( # `  B ) )
293 snssi 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  D  ->  { q }  C_  D )
294293adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  { q }  C_  D )
295 dfss1 3703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { q }  C_  D  <->  ( D  i^i  { q } )  =  {
q } )
296294, 295sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( D  i^i  { q } )  =  { q } )
297296reseq2d 5273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  { q } ) )
298297oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |` 
{ q } ) ) )
299100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
300216ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
301 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  q  e.  D )
302299, 300, 301dpjlem 16914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  { q } ) )  =  ( ( T  |`  D ) `  q
) )
303221adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
304298, 302, 3033eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q
) )
305 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  -.  q  e.  D
)
306 disjsn 4088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  i^i  { q } )  =  (/)  <->  -.  q  e.  D )
307305, 306sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( D  i^i  {
q } )  =  (/) )
308307reseq2d 5273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  (/) ) )
309 res0 5278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  |`  D )  |`  (/) )  =  (/)
310308, 309syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  =  (/) )
311310oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
312113dprd0 16892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } ) )
31345, 312syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd 
(/) )  =  {
( 0g `  G
) } ) )
314313simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
315314adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
316311, 315, 1913eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q ) )
317316anassrs 648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  -.  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) )  =  ( T `
 q ) )
318304, 317pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q
) )
319318fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) ) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
320319oveq1d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( (
# `  ( T `  q ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
321285, 292, 3203eqtr3d 2516 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  =  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) ) )
322266, 321breqtrd 4471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( (
# `  ( T `  q ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
323123nnne0d 10581 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =/=  0
)
324 dvdsmulcr 13877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( T `  q
) )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =/=  0
) )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  <->  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )
32578, 73, 124, 323, 324syl112anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  <->  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )
326322, 325mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  ( T `
 q ) ) )
327 dvdseq 13895 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( # `  ( T `  q )
)  e.  NN0  /\  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  e. 
NN0 )  /\  (
( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  /\  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )  ->  ( # `  ( T `  q )
)  =  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) ) )
32872, 92, 65, 326, 327syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
3297, 8, 9, 10, 11, 12ablfac1a 16934 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( S `  q ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
330328, 329eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( # `  ( S `  q )
) )
331 hashen 12389 . . . . 5  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  Fin  /\  ( S `  q )  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( T `  q )
)  =  ( # `  ( S `  q
) )  <->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q )
) )
33233, 27, 331syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( # `  ( S `  q )
)  <->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q )
) )
333330, 332mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q
) )
334 fisseneq 7732 . . 3  |-  ( ( ( S `  q
)  e.  Fin  /\  ( T `  q ) 
C_  ( S `  q )  /\  ( T `  q )  ~~  ( S `  q
) )  ->  ( T `  q )  =  ( S `  q ) )
33527, 91, 333, 334syl3anc 1228 . 2  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  =  ( S `  q ) )
3366, 21, 335eqfnfvd 5979 1  |-  ( ph  ->  T  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    |` cres 5001    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    ~~ cen 7514   Fincfn 7517   0cc0 9493   1c1 9494    x. cmul 9498    <_ cle 9630   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   ...cfz 11673   ^cexp 12135   #chash 12374    || cdivides 13850    gcd cgcd 14006   Primecprime 14079    pCnt cpc 14222   Basecbs 14493   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730  SubGrpcsubg 16009  Cntzccntz 16167   odcod 16364   LSSumclsm 16469   Abelcabl 16614   DProd cdprd 16839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-dvds 13851  df-gcd 14007  df-prm 14080  df-pc 14223  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-eqg 16014  df-ghm 16079  df-gim 16121  df-ga 16142  df-cntz 16169  df-oppg 16195  df-od 16368  df-lsm 16471  df-pj1 16472  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-dprd 16841
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