Theorem ablfac1eu 17251

Description: The factorization of ablfac1b 17248 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to S. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	|- B = ( Base ` G )
ablfac1.o	|- O = ( od ` G )
ablfac1.s	|- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
ablfac1.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfac1.f	|- ( ph -> B e. Fin )
ablfac1.1	|- ( ph -> A C_ Prime )
ablfac1c.d	|- D = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
ablfac1.2	|- ( ph -> D C_ A )
ablfac1eu.1	|- ( ph -> ( G dom DProd T /\ ( G DProd T ) = B ) )
ablfac1eu.2	|- ( ph -> dom T = A )
ablfac1eu.3	|- ( ( ph /\ q e. A ) -> C e. NN0 )
ablfac1eu.4	|- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )

Assertion

Ref	Expression
ablfac1eu	|- ( ph -> T = S )

Distinct variable groups:   q, p, w, x, B   D, p, q, x   ph, p, q, w, x   S, q   A, p, q, x   O, p, q, x   T, q, x   G, p, q, x

Allowed substitution hints:   A( w)   C( x, w, q, p)   D( w)   S( x, w, p)   T( w, p)   G( w)   O( w)

Proof of Theorem ablfac1eu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac1eu.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( G dom DProd T /\ ( G DProd T ) = B ) )
2	1	simpld 459	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd T )
3		ablfac1eu.2	. . . 4 |- ( ph -> dom T = A )
4	2, 3	dprdf2 17167	. . 3 |- ( ph -> T : A --> (SubGrp ` G ) )
5		ffn 5737	. . 3 |- ( T : A --> (SubGrp ` G ) -> T Fn A )
6	4, 5	syl 16	. 2 |- ( ph -> T Fn A )
7		ablfac1.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
8		ablfac1.o	. . . . 5 |- O = ( od ` G )
9		ablfac1.s	. . . . 5 |- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
10		ablfac1.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Abel )
11		ablfac1.f	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
12		ablfac1.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Prime )
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	ablfac1b 17248	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd S )
14		fvex 5882	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) e. _V
15	7, 14	eqeltri 2541	. . . . . . 7 |- B e. _V
16	15	rabex 4607	. . . . . 6 |- { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } e. _V
17	16, 9	dmmpti 5716	. . . . 5 |- dom S = A
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> dom S = A )
19	13, 18	dprdf2 17167	. . 3 |- ( ph -> S : A --> (SubGrp ` G ) )
20		ffn 5737	. . 3 |- ( S : A --> (SubGrp ` G ) -> S Fn A )
21	19, 20	syl 16	. 2 |- ( ph -> S Fn A )
22	11	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> B e. Fin )
23	19	ffvelrnda 6032	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
24	7	subgss 16329	. . . . 5 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` q ) C_ B )
25	23, 24	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) C_ B )
26		ssfi 7759	. . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ ( S ` q ) C_ B ) -> ( S ` q ) e. Fin )
27	22, 25, 26	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) e. Fin )
28	4	ffvelrnda 6032	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
29	7	subgss 16329	. . . . . 6 |- ( ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( T ` q ) C_ B )
30	28, 29	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) C_ B )
31	28	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
32		ssfi 7759	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. Fin /\ ( T ` q ) C_ B ) -> ( T ` q ) e. Fin )
33	22, 30, 32	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) e. Fin )
34	33	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( T ` q ) e. Fin )
35		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> x e. ( T ` q ) )
36	8	odsubdvds 16718	. . . . . . 7 |- ( ( ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( T ` q ) e. Fin /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( O ` x ) || ( # ` ( T ` q ) ) )
37	31, 34, 35, 36	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( O ` x ) || ( # ` ( T ` q ) ) )
38		ablfac1eu.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )
39	12	sselda 3499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> q e. Prime )
40		prmz 14233	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> q e. ZZ )
42		ablfac1eu.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> C e. NN0 )
43	42	nn0zd 10988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> C e. ZZ )
44		ablgrp 16930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
45	10, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G e. Grp )
46	7	grpbn0 16206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. Grp -> B =/= (/) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B =/= (/) )
48		hashnncl 12439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. Fin -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
49	11, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
50	47, 49	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN )
51	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` B ) e. NN )
52	39, 51	pccld 14386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 )
53	52	nn0zd 10988	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ZZ )
54	7	lagsubg 16390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( T ` q ) ) || ( # ` B ) )
55	28, 22, 54	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) || ( # ` B ) )
56	38, 55	eqbrtrrd 4478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ C ) || ( # ` B ) )
57	51	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
58		pcdvdsb 14404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. Prime /\ ( # ` B ) e. ZZ /\ C e. NN0 ) -> ( C <_ ( q pCnt ( # ` B ) ) <-> ( q ^ C ) || ( # ` B ) ) )
59	39, 57, 42, 58	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( C <_ ( q pCnt ( # ` B ) ) <-> ( q ^ C ) || ( # ` B ) ) )
60	56, 59	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> C <_ ( q pCnt ( # ` B ) ) )
61		eluz2 11112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( C e. ZZ /\ ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ZZ /\ C <_ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
62	43, 53, 60, 61	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ( ZZ>= ` C ) )
63		dvdsexp 14054	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. ZZ /\ C e. NN0 /\ ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( q ^ C ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
64	41, 42, 62, 63	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ C ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
65	38, 64	eqbrtrd 4476	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
66	65	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
67	30	sselda 3499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> x e. B )
68	7, 8	odcl 16687	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> ( O ` x ) e. NN0 )
69	67, 68	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( O ` x ) e. NN0 )
70	69	nn0zd 10988	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( O ` x ) e. ZZ )
71		hashcl 12431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` q ) e. Fin -> ( # ` ( T ` q ) ) e. NN0 )
72	33, 71	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) e. NN0 )
73	72	nn0zd 10988	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) e. ZZ )
74	73	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) e. ZZ )
75		prmnn 14232	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
76	39, 75	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> q e. NN )
77	76, 52	nnexpcld 12334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN )
78	77	nnzd 10989	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ )
79	78	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ )
80		dvdstr 14030	. . . . . . 7 |- ( ( ( O ` x ) e. ZZ /\ ( # ` ( T ` q ) ) e. ZZ /\ ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( O ` x ) || ( # ` ( T ` q ) ) /\ ( # ` ( T ` q ) ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) -> ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
81	70, 74, 79, 80	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( ( ( O ` x ) || ( # ` ( T ` q ) ) /\ ( # ` ( T ` q ) ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) -> ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
82	37, 66, 81	mp2and 679	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
83	30, 82	ssrabdv 3575	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) } )
84		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( p = q -> p = q )
85		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( p = q -> ( p pCnt ( # ` B ) ) = ( q pCnt ( # ` B ) ) )
86	84, 85	oveq12d 6314	. . . . . . . 8 |- ( p = q -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
87	86	breq2d 4468	. . . . . . 7 |- ( p = q -> ( ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) <-> ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
88	87	rabbidv 3101	. . . . . 6 |- ( p = q -> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } = { x e. B | ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) } )
89	88, 9, 16	fvmpt3i 5960	. . . . 5 |- ( q e. A -> ( S ` q ) = { x e. B | ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) } )
90	89	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) = { x e. B | ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) } )
91	83, 90	sseqtr4d 3536	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) C_ ( S ` q ) )
92	77	nnnn0d 10873	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN0 )
93		pcdvds 14399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. Prime /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) )
94	39, 51, 93	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) )
95	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> G dom DProd T )
96	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> dom T = A )
97		ablfac1.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D C_ A )
98	97	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> D C_ A )
99	95, 96, 98	dprdres 17202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G dom DProd ( T |` D ) /\ ( G DProd ( T |` D ) ) C_ ( G DProd T ) ) )
100	99	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> G dom DProd ( T |` D ) )
101	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> T : A --> (SubGrp ` G ) )
102	101, 98	fssresd 5758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
103		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) -> dom ( T |` D ) = D )
104	102, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> dom ( T |` D ) = D )
105		difssd 3628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( D \ { q } ) C_ D )
106	100, 104, 105	dprdres 17202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) /\ ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) ) )
107	106	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) )
108		dprdsubg 17198	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
109	107, 108	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
110	7	lagsubg 16390	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) || ( # ` B ) )
111	109, 22, 110	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) || ( # ` B ) )
112		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
113	112	subg0cl 16336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) )
114	109, 113	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) )
115		ne0i 3799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) =/= (/) )
116	114, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) =/= (/) )
117	7	dprdssv 17183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) C_ B
118		ssfi 7759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. Fin /\ ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) C_ B ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. Fin )
119	22, 117, 118	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. Fin )
120		hashnncl 12439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. Fin -> ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. NN <-> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) =/= (/) ) )
121	119, 120	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. NN <-> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) =/= (/) ) )
122	116, 121	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. NN )
123	122	nnzd 10989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. ZZ )
124		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. D |-> { y e. B | ( O ` y ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) = ( p e. D |-> { y e. B | ( O ` y ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
125	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> G e. Abel )
126	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> B e. Fin )
127		ablfac1c.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- D = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
128		ssrab2 3581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { w e. Prime | w || ( # ` B ) } C_ Prime
129	127, 128	eqsstri 3529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- D C_ Prime
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> D C_ Prime )
131		ssid 3518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- D C_ D
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> D C_ D )
133	2, 3, 97	dprdres 17202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( G dom DProd ( T |` D ) /\ ( G DProd ( T |` D ) ) C_ ( G DProd T ) ) )
134	133	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> G dom DProd ( T |` D ) )
135		dprdsubg 17198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( G dom DProd ( T |` D ) -> ( G DProd ( T |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
136	134, 135	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G DProd ( T |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
137		difssd 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( A \ D ) C_ A )
138	2, 3, 137	dprdres 17202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( G dom DProd ( T |` ( A \ D ) ) /\ ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) C_ ( G DProd T ) ) )
139	138	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> G dom DProd ( T |` ( A \ D ) ) )
140		dprdsubg 17198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( G dom DProd ( T |` ( A \ D ) ) -> ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
141	139, 140	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
142		difss 3627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A \ D ) C_ A
143		fssres 5757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T : A --> (SubGrp ` G ) /\ ( A \ D ) C_ A ) -> ( T |` ( A \ D ) ) : ( A \ D ) --> (SubGrp ` G ) )
144	4, 142, 143	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( T |` ( A \ D ) ) : ( A \ D ) --> (SubGrp ` G ) )
145		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T |` ( A \ D ) ) : ( A \ D ) --> (SubGrp ` G ) -> dom ( T |` ( A \ D ) ) = ( A \ D ) )
146	144, 145	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> dom ( T |` ( A \ D ) ) = ( A \ D ) )
147		fvres 5886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q e. ( A \ D ) -> ( ( T |` ( A \ D ) ) ` q ) = ( T ` q ) )
148	147	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ q e. ( A \ D ) ) -> ( ( T |` ( A \ D ) ) ` q ) = ( T ` q ) )
149		eldif 3481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q e. ( A \ D ) <-> ( q e. A /\ -. q e. D ) )
150	33	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( T ` q ) e. Fin )
151	112	subg0cl 16336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. ( T ` q ) )
152	28, 151	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( 0g ` G ) e. ( T ` q ) )
153	152	snssd 4177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { ( 0g ` G ) } C_ ( T ` q ) )
154	153	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> { ( 0g ` G ) } C_ ( T ` q ) )
155	38	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )
156	39	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> q e. Prime )
157		iddvdsexp 14019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( q e. ZZ /\ C e. NN ) -> q || ( q ^ C ) )
158	41, 157	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> q || ( q ^ C ) )
159	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> ( q ^ C ) || ( # ` B ) )
160	38, 73	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ C ) e. ZZ )
161		dvdstr 14030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( q e. ZZ /\ ( q ^ C ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) -> ( ( q || ( q ^ C ) /\ ( q ^ C ) || ( # ` B ) ) -> q || ( # ` B ) ) )
162	41, 160, 57, 161	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( q || ( q ^ C ) /\ ( q ^ C ) || ( # ` B ) ) -> q || ( # ` B ) ) )
163	162	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> ( ( q || ( q ^ C ) /\ ( q ^ C ) || ( # ` B ) ) -> q || ( # ` B ) ) )
164	158, 159, 163	mp2and 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> q || ( # ` B ) )
165		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( w = q -> ( w || ( # ` B ) <-> q || ( # ` B ) ) )
166	165, 127	elrab2 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( q e. D <-> ( q e. Prime /\ q || ( # ` B ) ) )
167	156, 164, 166	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> q e. D )
168	167	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( C e. NN -> q e. D ) )
169	168	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( -. q e. D -> -. C e. NN ) )
170	169	impr 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> -. C e. NN )
171	42	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> C e. NN0 )
172		elnn0 10818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( C e. NN0 <-> ( C e. NN \/ C = 0 ) )
173	171, 172	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( C e. NN \/ C = 0 ) )
174	173	ord 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( -. C e. NN -> C = 0 ) )
175	170, 174	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> C = 0 )
176	175	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( q ^ C ) = ( q ^ 0 ) )
177	76	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> q e. NN )
178	177	nncnd 10572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> q e. CC )
179	178	exp0d 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( q ^ 0 ) = 1 )
180	155, 176, 179	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = 1 )
181		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 0g ` G ) e. _V
182		hashsng 12441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 0g ` G ) e. _V -> ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = 1 )
183	181, 182	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = 1
184	180, 183	syl6reqr 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = ( # ` ( T ` q ) ) )
185		snfi 7615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- { ( 0g ` G ) } e. Fin
186		hashen 12423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { ( 0g ` G ) } e. Fin /\ ( T ` q ) e. Fin ) -> ( ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = ( # ` ( T ` q ) ) <-> { ( 0g ` G ) } ~~ ( T ` q ) ) )
187	185, 150, 186	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = ( # ` ( T ` q ) ) <-> { ( 0g ` G ) } ~~ ( T ` q ) ) )
188	184, 187	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> { ( 0g ` G ) } ~~ ( T ` q ) )
189		fisseneq 7750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( T ` q ) e. Fin /\ { ( 0g ` G ) } C_ ( T ` q ) /\ { ( 0g ` G ) } ~~ ( T ` q ) ) -> { ( 0g ` G ) } = ( T ` q ) )
190	150, 154, 188, 189	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> { ( 0g ` G ) } = ( T ` q ) )
191	112	subg0cl 16336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( G DProd ( T |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( T |` D ) ) )
192	136, 191	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( T |` D ) ) )
193	192	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( T |` D ) ) )
194	193	snssd 4177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> { ( 0g ` G ) } C_ ( G DProd ( T |` D ) ) )
195	190, 194	eqsstr3d 3534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( T ` q ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) )
196	149, 195	sylan2b 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ q e. ( A \ D ) ) -> ( T ` q ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) )
197	148, 196	eqsstrd 3533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ q e. ( A \ D ) ) -> ( ( T |` ( A \ D ) ) ` q ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) )
198	139, 146, 136, 197	dprdlub 17200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) )
199		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
200	199	lsmss2 16813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( G DProd ( T |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) ) -> ( ( G DProd ( T |` D ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) ) = ( G DProd ( T |` D ) ) )
201	136, 141, 198, 200	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( G DProd ( T |` D ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) ) = ( G DProd ( T |` D ) ) )
202		disjdif 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( D i^i ( A \ D ) ) = (/)
203	202	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( D i^i ( A \ D ) ) = (/) )
204		undif2 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( D u. ( A \ D ) ) = ( D u. A )
205		ssequn1 3670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( D C_ A <-> ( D u. A ) = A )
206	97, 205	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( D u. A ) = A )
207	204, 206	syl5req 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A = ( D u. ( A \ D ) ) )
208	4, 203, 207, 199, 2	dprdsplit 17224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G DProd T ) = ( ( G DProd ( T |` D ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) ) )
209	1	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G DProd T ) = B )
210	208, 209	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( G DProd ( T |` D ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) ) = B )
211	201, 210	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( G DProd ( T |` D ) ) = B )
212	134, 211	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G dom DProd ( T |` D ) /\ ( G DProd ( T |` D ) ) = B ) )
213	212	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> ( G dom DProd ( T |` D ) /\ ( G DProd ( T |` D ) ) = B ) )
214	4, 97	fssresd 5758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( T |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
215	214, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom ( T |` D ) = D )
216	215	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> dom ( T |` D ) = D )
217	97	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> q e. A )
218	217, 42	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> C e. NN0 )
219	218	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. Prime ) /\ q e. D ) -> C e. NN0 )
220		fvres 5886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. D -> ( ( T |` D ) ` q ) = ( T ` q ) )
221	220	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> ( ( T |` D ) ` q ) = ( T ` q ) )
222	221	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> ( # ` ( ( T |` D ) ` q ) ) = ( # ` ( T ` q ) ) )
223	217, 38	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )
224	222, 223	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> ( # ` ( ( T |` D ) ` q ) ) = ( q ^ C ) )
225	224	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. Prime ) /\ q e. D ) -> ( # ` ( ( T |` D ) ` q ) ) = ( q ^ C ) )
226		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> x e. Prime )
227		fzfid 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin )
228		prmnn 14232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. Prime -> w e. NN )
229	228	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w e. NN )
230		prmz 14233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. Prime -> w e. ZZ )
231		dvdsle 14043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( w || ( # ` B ) -> w <_ ( # ` B ) ) )
232	230, 50, 231	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. Prime ) -> ( w || ( # ` B ) -> w <_ ( # ` B ) ) )
233	232	3impia 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w <_ ( # ` B ) )
234	50	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( # ` B ) e. ZZ )
235	234	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
236		fznn 11773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( # ` B ) e. ZZ -> ( w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) <-> ( w e. NN /\ w <_ ( # ` B ) ) ) )
237	235, 236	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> ( w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) <-> ( w e. NN /\ w <_ ( # ` B ) ) ) )
238	229, 233, 237	mpbir2and 922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
239	238	rabssdv 3576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> { w e. Prime | w || ( # ` B ) } C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
240	127, 239	syl5eqss 3543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
241		ssfi 7759	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin /\ D C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> D e. Fin )
242	227, 240, 241	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D e. Fin )
243	242	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> D e. Fin )
244	7, 8, 124, 125, 126, 130, 127, 132, 213, 216, 219, 225, 226, 243	ablfac1eulem 17250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> -. x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) )
245	244	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. Prime -. x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) )
246	245	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> A. x e. Prime -. x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) )
247		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = q -> x = q )
248		sneq 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = q -> { x } = { q } )
249	248	difeq2d 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = q -> ( D \ { x } ) = ( D \ { q } ) )
250	249	reseq2d 5283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = q -> ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) = ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) )
251	250	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = q -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) = ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) )
252	251	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = q -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) = ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) )
253	247, 252	breq12d 4469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = q -> ( x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) <-> q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
254	253	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = q -> ( -. x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) <-> -. q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
255	254	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> ( A. x e. Prime -. x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) -> -. q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
256	39, 246, 255	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> -. q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) )
257		coprm 14253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. Prime /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( -. q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) <-> ( q gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 ) )
258	39, 123, 257	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( -. q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) <-> ( q gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 ) )
259	256, 258	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 )
260		rpexp1i 14274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. ZZ /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. ZZ /\ ( q pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 ) -> ( ( q gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 ) )
261	41, 123, 52, 260	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( q gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 ) )
262	259, 261	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 )
263		coprmdvds2 14256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) /\ ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 ) -> ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) || ( # ` B ) ) -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( # ` B ) ) )
264	78, 123, 57, 262, 263	syl31anc 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) || ( # ` B ) ) -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( # ` B ) ) )
265	94, 111, 264	mp2and 679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( # ` B ) )
266		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
267		inss1 3714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D i^i { q } ) C_ D
268	267	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( D i^i { q } ) C_ D )
269	100, 104, 268	dprdres 17202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) /\ ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) ) )
270	269	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) )
271		dprdsubg 17198	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
272	270, 271	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
273		inass 3704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D i^i { q } ) i^i ( D \ { q } ) ) = ( D i^i ( { q } i^i ( D \ { q } ) ) )
274		disjdif 3903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { q } i^i ( D \ { q } ) ) = (/)
275	274	ineq2i 3693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D i^i ( { q } i^i ( D \ { q } ) ) ) = ( D i^i (/) )
276		in0 3820	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D i^i (/) ) = (/)
277	273, 275, 276	3eqtri 2490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D i^i { q } ) i^i ( D \ { q } ) ) = (/)
278	277	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( D i^i { q } ) i^i ( D \ { q } ) ) = (/) )
279	100, 104, 268, 105, 278, 112	dprddisj2 17214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) i^i ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) = { ( 0g ` G ) } )
280	100, 104, 268, 105, 278, 266	dprdcntz2 17213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) )
281	7	dprdssv 17183	. . . . . . . . . . 11 |- ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) C_ B
282		ssfi 7759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) C_ B ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) e. Fin )
283	22, 281, 282	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) e. Fin )
284	199, 112, 266, 272, 109, 279, 280, 283, 119	lsmhash 16850	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
285		inundif 3909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D i^i { q } ) u. ( D \ { q } ) ) = D
286	285	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = ( ( D i^i { q } ) u. ( D \ { q } ) )
287	286	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> D = ( ( D i^i { q } ) u. ( D \ { q } ) ) )
288	102, 278, 287, 199, 100	dprdsplit 17224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( T |` D ) ) = ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) )
289	211	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( T |` D ) ) = B )
290	288, 289	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) = B )
291	290	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = ( # ` B ) )
292		snssi 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q e. D -> { q } C_ D )
293	292	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> { q } C_ D )
294		dfss1 3699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { q } C_ D <-> ( D i^i { q } ) = { q } )
295	293, 294	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( D i^i { q } ) = { q } )
296	295	reseq2d 5283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) = ( ( T |` D ) |` { q } ) )
297	296	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( G DProd ( ( T |` D ) |` { q } ) ) )
298	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> G dom DProd ( T |` D ) )
299	215	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> dom ( T |` D ) = D )
300		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> q e. D )
301	298, 299, 300	dpjlem 17227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` { q } ) ) = ( ( T |` D ) ` q ) )
302	220	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( ( T |` D ) ` q ) = ( T ` q ) )
303	297, 301, 302	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( T ` q ) )
304		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> -. q e. D )
305		disjsn 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D i^i { q } ) = (/) <-> -. q e. D )
306	304, 305	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( D i^i { q } ) = (/) )
307	306	reseq2d 5283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) = ( ( T |` D ) |` (/) ) )
308		res0 5288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T |` D ) |` (/) ) = (/)
309	307, 308	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) = (/) )
310	309	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( G DProd (/) ) )
311	112	dprd0 17205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G e. Grp -> ( G dom DProd (/) /\ ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } ) )
312	45, 311	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( G dom DProd (/) /\ ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } ) )
313	312	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } )
314	313	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } )
315	310, 314, 190	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( T ` q ) )
316	315	anassrs 648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ -. q e. D ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( T ` q ) )
317	303, 316	pm2.61dan 791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( T ` q ) )
318	317	fveq2d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ) = ( # ` ( T ` q ) ) )
319	318	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = ( ( # ` ( T ` q ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
320	284, 291, 319	3eqtr3d 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` B ) = ( ( # ` ( T ` q ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
321	265, 320	breqtrd 4480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( ( # ` ( T ` q ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
322	122	nnne0d 10601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) =/= 0 )
323		dvdsmulcr 14025	. . . . . . . 8 |- ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ /\ ( # ` ( T ` q ) ) e. ZZ /\ ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. ZZ /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( ( # ` ( T ` q ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) <-> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` ( T ` q ) ) ) )
324	78, 73, 123, 322, 323	syl112anc 1232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( ( # ` ( T ` q ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) <-> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` ( T ` q ) ) ) )
325	321, 324	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` ( T ` q ) ) )
326		dvdseq 14045	. . . . . 6 |- ( ( ( ( # ` ( T ` q ) ) e. NN0 /\ ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN0 ) /\ ( ( # ` ( T ` q ) ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) /\ ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` ( T ` q ) ) ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
327	72, 92, 65, 325, 326	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
328	7, 8, 9, 10, 11, 12	ablfac1a 17247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( S ` q ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
329	327, 328	eqtr4d 2501	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( # ` ( S ` q ) ) )
330		hashen 12423	. . . . 5 |- ( ( ( T ` q ) e. Fin /\ ( S ` q ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( T ` q ) ) = ( # ` ( S ` q ) ) <-> ( T ` q ) ~~ ( S ` q ) ) )
331	33, 27, 330	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( # ` ( T ` q ) ) = ( # ` ( S ` q ) ) <-> ( T ` q ) ~~ ( S ` q ) ) )
332	329, 331	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) ~~ ( S ` q ) )
333		fisseneq 7750	. . 3 |- ( ( ( S ` q ) e. Fin /\ ( T ` q ) C_ ( S ` q ) /\ ( T ` q ) ~~ ( S ` q ) ) -> ( T ` q ) = ( S ` q ) )
334	27, 91, 332, 333	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) = ( S ` q ) )
335	6, 21, 334	eqfnfvd 5985	1 |- ( ph -> T = S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   |` cres 5010   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ~~ cen 7532   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   <_ cle 9646   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   ^cexp 12169   #chash 12408   || cdvds 13998   gcd cgcd 14156   Primecprime 14229   pCnt cpc 14372   Basecbs 14644   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180  SubGrpcsubg 16322  Cntzccntz 16480   odcod 16676   LSSumclsm 16781   Abelcabl 16926   DProd cdprd 17151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-gim 16434  df-ga 16455  df-cntz 16482  df-oppg 16508  df-od 16680  df-lsm 16783  df-pj1 16784  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-dprd 17153

This theorem is referenced by: (None)