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Theorem ablfac1eu 17634
Description: The factorization of ablfac1b 17631 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to 
S. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac1.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac1.f  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
ablfac1c.d  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac1.2  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
ablfac1eu.1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
ablfac1eu.2  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
ablfac1eu.3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
ablfac1eu.4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu  |-  ( ph  ->  T  =  S )
Distinct variable groups:    q, p, w, x, B    D, p, q, x    ph, p, q, w, x    S, q    A, p, q, x    O, p, q, x    T, q, x    G, p, q, x
Allowed substitution hints:    A( w)    C( x, w, q, p)    D( w)    S( x, w, p)    T( w, p)    G( w)    O( w)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
21simpld 460 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  T )
3 ablfac1eu.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
42, 3dprdf2 17567 . . 3  |-  ( ph  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
5 ffn 5737 . . 3  |-  ( T : A --> (SubGrp `  G )  ->  T  Fn  A )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  T  Fn  A )
7 ablfac1.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 ablfac1.o . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
9 ablfac1.s . . . . 5  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
10 ablfac1.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
11 ablfac1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
12 ablfac1.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
137, 8, 9, 10, 11, 12ablfac1b 17631 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
14 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
157, 14eqeltri 2504 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
1615rabex 4567 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  _V
1716, 9dmmpti 5716 . . . . 5  |-  dom  S  =  A
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  A )
1913, 18dprdf2 17567 . . 3  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
20 ffn 5737 . . 3  |-  ( S : A --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  A )
2119, 20syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  S  Fn  A )
2211adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
2319ffvelrnda 6028 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
247subgss 16762 . . . . 5  |-  ( ( S `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  q )  C_  B
)
2523, 24syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  C_  B )
26 ssfi 7789 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( S `  q ) 
C_  B )  -> 
( S `  q
)  e.  Fin )
2722, 25, 26syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  e.  Fin )
284ffvelrnda 6028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
297subgss 16762 . . . . . 6  |-  ( ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( T `  q )  C_  B
)
3028, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_  B )
3128adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
32 ssfi 7789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( T `  q ) 
C_  B )  -> 
( T `  q
)  e.  Fin )
3322, 30, 32syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  e.  Fin )
3433adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( T `  q )  e.  Fin )
35 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  x  e.  ( T `  q
) )
368odsubdvds 17151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T `  q )  e.  Fin  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( # `  ( T `  q )
) )
3731, 34, 35, 36syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( # `  ( T `  q )
) )
38 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
3912sselda 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  Prime )
40 prmz 14586 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ZZ )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  ZZ )
42 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
4342nn0zd 11027 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  ZZ )
44 ablgrp 17363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
4510, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
467grpbn0 16639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
48 hashnncl 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
4911, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
5047, 49mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
5150adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e.  NN )
5239, 51pccld 14752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
5352nn0zd 11027 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  ZZ )
547lagsubg 16823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( # `  B ) )
5528, 22, 54syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( # `  B ) )
5638, 55eqbrtrrd 4439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( # `  B
) )
5751nnzd 11028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e.  ZZ )
58 pcdvdsb 14770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ  /\  C  e. 
NN0 )  ->  ( C  <_  ( q  pCnt  (
# `  B )
)  <->  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) ) )
5939, 57, 42, 58syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( C  <_  ( q  pCnt  (
# `  B )
)  <->  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) ) )
6056, 59mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  <_  ( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )
61 eluz2 11154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( C  e.  ZZ  /\  ( q 
pCnt  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  C  <_  ( q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6243, 53, 60, 61syl3anbrc 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
63 dvdsexp 14328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0  /\  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C ) )  ->  ( q ^ C )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6441, 42, 62, 63syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )
6538, 64eqbrtrd 4437 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6665adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6730sselda 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  x  e.  B )
687, 8odcl 17120 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
7069nn0zd 11027 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
71 hashcl 12524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  q )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e. 
NN0 )
7233, 71syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e. 
NN0 )
7372nn0zd 11027 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e.  ZZ )
7473adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e.  ZZ )
75 prmnn 14585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  NN )
7639, 75syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  NN )
7776, 52nnexpcld 12423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  NN )
7877nnzd 11028 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
7978adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
80 dvdstr 14304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  ( # `  ( T `
 q ) )  e.  ZZ  /\  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  x )  ||  ( # `
 ( T `  q ) )  /\  ( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8170, 74, 79, 80syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  (
( ( O `  x )  ||  ( # `
 ( T `  q ) )  /\  ( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8237, 66, 81mp2and 683 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
8330, 82ssrabdv 3537 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_ 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
84 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  p  =  q )
85 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  (
p  pCnt  ( # `  B
) )  =  ( q  pCnt  ( # `  B
) ) )
8684, 85oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  q  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
8786breq2d 4429 . . . . . . 7  |-  ( p  =  q  ->  (
( O `  x
)  ||  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) )  <->  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8887rabbidv 3070 . . . . . 6  |-  ( p  =  q  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  =  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
8988, 9, 16fvmpt3i 5960 . . . . 5  |-  ( q  e.  A  ->  ( S `  q )  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
9089adantl 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
9183, 90sseqtr4d 3498 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_  ( S `  q
) )
9277nnnn0d 10914 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e. 
NN0 )
93 pcdvds 14765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 B )  e.  NN )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
9439, 51, 93syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
952adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  T )
963adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  dom  T  =  A )
97 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
9897adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  D  C_  A )
9995, 96, 98dprdres 17589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
10099simpld 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
1014adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T : A --> (SubGrp `  G )
)
102101, 98fssresd 5758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )
)
103 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
105 difssd 3590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( D  \  { q } )  C_  D )
106100, 104, 105dprdres 17589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ) )
107106simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )
108 dprdsubg 17585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
1107lagsubg 16823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )
111109, 22, 110syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )
112 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
113112subg0cl 16769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )
114109, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )
115 ne0i 3764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0g `  G )  e.  ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  =/=  (/) )
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  =/=  (/) )
1177dprdssv 17577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  C_  B
118 ssfi 7789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  Fin )
11922, 117, 118sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e. 
Fin )
120 hashnncl 12533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e. 
Fin  ->  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  NN  <->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  =/=  (/) ) )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  NN  <->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  =/=  (/) ) )
122116, 121mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  NN )
123122nnzd 11028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  ZZ )
124 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  D  |->  { y  e.  B  |  ( O `  y ) 
||  ( p ^
( p  pCnt  ( # `
 B ) ) ) } )  =  ( p  e.  D  |->  { y  e.  B  |  ( O `  y )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
12510adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
12611adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  B  e.  Fin )
127 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
128 ssrab2 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  Prime
129127, 128eqsstri 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  C_  Prime
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  C_  Prime )
131 ssid 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  C_  D
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  C_  D
)
1332, 3, 97dprdres 17589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
134133simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
135 dprdsubg 17585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
137 difssd 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( A  \  D
)  C_  A )
1382, 3, 137dprdres 17589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
139138simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )
140 dprdsubg 17585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
142 difss 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
\  D )  C_  A
143 fssres 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T : A --> (SubGrp `  G )  /\  ( A  \  D )  C_  A )  ->  ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D
) --> (SubGrp `  G )
)
1444, 142, 143sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D ) --> (SubGrp `  G ) )
145 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D
) --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  ( A  \  D ) )  =  ( A 
\  D ) )
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( T  |`  ( A  \  D ) )  =  ( A 
\  D ) )
147 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  e.  ( A  \  D )  ->  (
( T  |`  ( A  \  D ) ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
148147adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) `  q )  =  ( T `  q ) )
149 eldif 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  e.  ( A  \  D )  <->  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )
15033adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( T `  q
)  e.  Fin )
151112subg0cl 16769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T `  q ) )
15228, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T `  q
) )
153152snssd 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( T `  q ) )
154153adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( T `  q ) )
15538adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
15639adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  e.  Prime )
157 iddvdsexp 14293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( q ^ C ) )
15841, 157sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( q ^ C
) )
15956adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( # `  B
) )
16038, 73eqeltrrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C )  e.  ZZ )
161 dvdstr 14304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( q ^ C
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( q  ||  ( q ^ C
)  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
16241, 160, 57, 161syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  ||  (
q ^ C )  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
163162adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  (
( q  ||  (
q ^ C )  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
164158, 159, 163mp2and 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( # `  B
) )
165 breq1 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( w  =  q  ->  (
w  ||  ( # `  B
)  <->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
166165, 127elrab2 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( q  e.  D  <->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  ( # `  B ) ) )
167156, 164, 166sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  e.  D )
168167ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( C  e.  NN  ->  q  e.  D ) )
169168con3d 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  e.  D  ->  -.  C  e.  NN ) )
170169impr 623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  -.  C  e.  NN )
17142adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  C  e.  NN0 )
172 elnn0 10860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( C  e.  NN0  <->  ( C  e.  NN  \/  C  =  0 ) )
173171, 172sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( C  e.  NN  \/  C  =  0
) )
174173ord 378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( -.  C  e.  NN  ->  C  = 
0 ) )
175170, 174mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  C  =  0 )
176175oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( q ^ C
)  =  ( q ^ 0 ) )
17776adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
q  e.  NN )
178177nncnd 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
q  e.  CC )
179178exp0d 12396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( q ^ 0 )  =  1 )
180155, 176, 1793eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  1 )
181 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
182 hashsng 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 0g
`  G ) } )  =  1 )
183181, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  1
184180, 183syl6reqr 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
185 snfi 7648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  { ( 0g `  G ) }  e.  Fin
186 hashen 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { ( 0g `  G ) }  e.  Fin  /\  ( T `  q )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  ( # `  ( T `  q )
)  <->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) ) )
187185, 150, 186sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( # `  {
( 0g `  G
) } )  =  ( # `  ( T `  q )
)  <->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) ) )
188184, 187mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) )
189 fisseneq 7780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  Fin  /\  { ( 0g `  G
) }  C_  ( T `  q )  /\  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  =  ( T `  q ) )
190150, 154, 188, 189syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  =  ( T `  q ) )
191112subg0cl 16769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
192136, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
193192adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
194193snssd 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
195190, 194eqsstr3d 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( T `  q
)  C_  ( G DProd  ( T  |`  D )
) )
196149, 195sylan2b 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( T `  q )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
197148, 196eqsstrd 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) `  q )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
198139, 146, 136, 197dprdlub 17587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
199 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
200199lsmss2 17246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )  ->  ( ( G DProd 
( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
201136, 141, 198, 200syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
202 disjdif 3864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  i^i  ( A  \  D ) )  =  (/)
203202a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( D  i^i  ( A  \  D ) )  =  (/) )
204 undif2 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  u.  ( A  \  D ) )  =  ( D  u.  A
)
205 ssequn1 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( D 
C_  A  <->  ( D  u.  A )  =  A )
20697, 205sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( D  u.  A
)  =  A )
207204, 206syl5req 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  =  ( D  u.  ( A  \  D ) ) )
2084, 203, 207, 199, 2dprdsplit 17609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  T )  =  ( ( G DProd 
( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) ) ) )
2091simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  T )  =  B )
210208, 209eqtr3d 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) ) )  =  B )
211201, 210eqtr3d 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B )
212134, 211jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B ) )
213212adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B ) )
2144, 97fssresd 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G ) )
215214, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
216215adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
21797sselda 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  q  e.  A )
218217, 42syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  C  e.  NN0 )
219218adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  Prime )  /\  q  e.  D )  ->  C  e.  NN0 )
220 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  D  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
221220adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
222221fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
223217, 38syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
224222, 223eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  ( q ^ C ) )
225224adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  Prime )  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  ( q ^ C ) )
226 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  x  e.  Prime )
227 fzfid 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin )
228 prmnn 14585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  Prime  ->  w  e.  NN )
2292283ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  e.  NN )
230 prmz 14586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  Prime  ->  w  e.  ZZ )
231 dvdsle 14317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN )  -> 
( w  ||  ( # `
 B )  ->  w  <_  ( # `  B
) ) )
232230, 50, 231syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime )  ->  ( w  ||  ( # `  B
)  ->  w  <_  (
# `  B )
) )
2332323impia 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  <_  ( # `
 B ) )
23450nnzd 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
2352343ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
236 fznn 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( w  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( w  e.  NN  /\  w  <_  ( # `  B
) ) ) )
237235, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( w  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( w  e.  NN  /\  w  <_  ( # `  B
) ) ) )
238229, 233, 237mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  e.  ( 1 ... ( # `  B ) ) )
239238rabssdv 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
240127, 239syl5eqss 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
241 ssfi 7789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin  /\  D  C_  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  D  e.  Fin )
242227, 240, 241syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
243242adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  e.  Fin )
2447, 8, 124, 125, 126, 130, 127, 132, 213, 216, 219, 225, 226, 243ablfac1eulem 17633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) ) )
245244ralrimiva 2837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) ) )
246245adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) ) )
247 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  q  ->  x  =  q )
248 sneq 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  q  ->  { x }  =  { q } )
249248difeq2d 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  q  ->  ( D  \  { x }
)  =  ( D 
\  { q } ) )
250249reseq2d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  q  ->  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )
251250oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  q  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) )  =  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )
252251fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  q  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )
253247, 252breq12d 4430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  q  ->  (
x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) )  <-> 
q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
254253notbid 295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  q  ->  ( -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) )  <->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
255254rspcv 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) )  ->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
25639, 246, 255sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )
257 coprm 14617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  <-> 
( q  gcd  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
25839, 123, 257syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  <->  ( q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
259256, 258mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )
260 rpexp1i 14633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )  ->  ( ( q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1  -> 
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
26141, 123, 52, 260syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  gcd  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1  ->  ( (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
262259, 261mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )
263 coprmdvds2 14620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ )  /\  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )  ->  ( ( ( q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B )  /\  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) 
||  ( # `  B
) )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) ) )
26478, 123, 57, 262, 263syl31anc 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  ||  ( # `  B )  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  x.  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) ) )
26594, 111, 264mp2and 683 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) )
266 eqid 2420 . . . . . . . . . 10  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
267 inss1 3679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  i^i  { q } )  C_  D
268267a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( D  i^i  { q } )  C_  D )
269100, 104, 268dprdres 17589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ) )
270269simpld 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )
271 dprdsubg 17585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
272270, 271syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
273 inass 3669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  i^i  { q } )  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  ( D  i^i  ( { q }  i^i  ( D  \  { q } ) ) )
274 disjdif 3864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { q }  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  (/)
275274ineq2i 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  i^i  ( { q }  i^i  ( D 
\  { q } ) ) )  =  ( D  i^i  (/) )
276 in0 3785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  i^i  (/) )  =  (/)
277273, 275, 2763eqtri 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  i^i  { q } )  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  (/)
278277a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( D  i^i  {
q } )  i^i  ( D  \  {
q } ) )  =  (/) )
279100, 104, 268, 105, 278, 112dprddisj2 17600 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  i^i  ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =  {
( 0g `  G
) } )
280100, 104, 268, 105, 278, 266dprdcntz2 17599 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )
2817dprdssv 17577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  B
282 ssfi 7789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  Fin )
28322, 281, 282sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e. 
Fin )
284199, 112, 266, 272, 109, 279, 280, 283, 119lsmhash 17283 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( (
# `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) ) )  x.  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) ) )
285 inundif 3870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D  \  { q } ) )  =  D
286285eqcomi 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D  \  {
q } ) )
287286a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  D  =  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D 
\  { q } ) ) )
288102, 278, 287, 199, 100dprdsplit 17609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )
289211adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B )
290288, 289eqtr3d 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  =  B )
291290fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( # `  B ) )
292 snssi 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  D  ->  { q }  C_  D )
293292adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  { q }  C_  D )
294 dfss1 3664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { q }  C_  D  <->  ( D  i^i  { q } )  =  {
q } )
295293, 294sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( D  i^i  { q } )  =  { q } )
296295reseq2d 5116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  { q } ) )
297296oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |` 
{ q } ) ) )
298100adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
299215ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
300 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  q  e.  D )
301298, 299, 300dpjlem 17612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  { q } ) )  =  ( ( T  |`  D ) `  q
) )
302220adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
303297, 301, 3023eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q
) )
304 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  -.  q  e.  D
)
305 disjsn 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  i^i  { q } )  =  (/)  <->  -.  q  e.  D )
306304, 305sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( D  i^i  {
q } )  =  (/) )
307306reseq2d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  (/) ) )
308 res0 5120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  |`  D )  |`  (/) )  =  (/)
309307, 308syl6eq 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  =  (/) )
310309oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
311112dprd0 17592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } ) )
31245, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd 
(/) )  =  {
( 0g `  G
) } ) )
313312simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
314313adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
315310, 314, 1903eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q ) )
316315anassrs 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  -.  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) )  =  ( T `
 q ) )
317303, 316pm2.61dan 798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q
) )
318317fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) ) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
319318oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( (
# `  ( T `  q ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
320284, 291, 3193eqtr3d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  =  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) ) )
321265, 320breqtrd 4441 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( (
# `  ( T `  q ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
322122nnne0d 10643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =/=  0
)
323 dvdsmulcr 14299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( T `  q
) )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =/=  0
) )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  <->  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )
32478, 73, 123, 322, 323syl112anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  <->  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )
325321, 324mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  ( T `
 q ) ) )
326 dvdseq 14319 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( # `  ( T `  q )
)  e.  NN0  /\  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  e. 
NN0 )  /\  (
( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  /\  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )  ->  ( # `  ( T `  q )
)  =  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) ) )
32772, 92, 65, 325, 326syl22anc 1265 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
3287, 8, 9, 10, 11, 12ablfac1a 17630 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( S `  q ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
329327, 328eqtr4d 2464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( # `  ( S `  q )
) )
330 hashen 12516 . . . . 5  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  Fin  /\  ( S `  q )  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( T `  q )
)  =  ( # `  ( S `  q
) )  <->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q )
) )
33133, 27, 330syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( # `  ( S `  q )
)  <->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q )
) )
332329, 331mpbid 213 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q
) )
333 fisseneq 7780 . . 3  |-  ( ( ( S `  q
)  e.  Fin  /\  ( T `  q ) 
C_  ( S `  q )  /\  ( T `  q )  ~~  ( S `  q
) )  ->  ( T `  q )  =  ( S `  q ) )
33427, 91, 332, 333syl3anc 1264 . 2  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  =  ( S `  q ) )
3356, 21, 334eqfnfvd 5985 1  |-  ( ph  ->  T  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   {crab 2777   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    u. cun 3431    i^i cin 3432    C_ wss 3433   (/)c0 3758   {csn 3993   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475   dom cdm 4845    |` cres 4847    Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    ~~ cen 7565   Fincfn 7568   0cc0 9528   1c1 9529    x. cmul 9533    <_ cle 9665   NNcn 10598   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ZZ>=cuz 11148   ...cfz 11771   ^cexp 12258   #chash 12501    || cdvds 14272    gcd cgcd 14431   Primecprime 14582    pCnt cpc 14738   Basecbs 15073   0gc0g 15290   Grpcgrp 16613  SubGrpcsubg 16755  Cntzccntz 16913   odcod 17109   LSSumclsm 17214   Abelcabl 17359   DProd cdprd 17553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-disj 4389  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-tpos 6972  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-ec 7364  df-qs 7368  df-map 7473  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-acn 8366  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-fac 12446  df-bc 12474  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-sum 13720  df-dvds 14273  df-gcd 14432  df-prm 14583  df-pc 14739  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-mhm 16526  df-submnd 16527  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-sbg 16619  df-mulg 16620  df-subg 16758  df-eqg 16760  df-ghm 16825  df-gim 16867  df-ga 16888  df-cntz 16915  df-oppg 16941  df-od 17113  df-lsm 17216  df-pj1 17217  df-cmn 17360  df-abl 17361  df-dprd 17555
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