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Theorem ablfac1eu 17251
 Description: The factorization of ablfac1b 17248 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to . (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b
ablfac1.o
ablfac1.s
ablfac1.g
ablfac1.f
ablfac1.1
ablfac1c.d
ablfac1.2
ablfac1eu.1 DProd DProd
ablfac1eu.2
ablfac1eu.3
ablfac1eu.4
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,)   ()   (,,)   (,)   ()   ()

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5 DProd DProd
21simpld 459 . . . 4 DProd
3 ablfac1eu.2 . . . 4
42, 3dprdf2 17167 . . 3 SubGrp
5 ffn 5737 . . 3 SubGrp
64, 5syl 16 . 2
7 ablfac1.b . . . . 5
8 ablfac1.o . . . . 5
9 ablfac1.s . . . . 5
10 ablfac1.g . . . . 5
11 ablfac1.f . . . . 5
12 ablfac1.1 . . . . 5
137, 8, 9, 10, 11, 12ablfac1b 17248 . . . 4 DProd
14 fvex 5882 . . . . . . . 8
157, 14eqeltri 2541 . . . . . . 7
1615rabex 4607 . . . . . 6
1716, 9dmmpti 5716 . . . . 5
1817a1i 11 . . . 4
1913, 18dprdf2 17167 . . 3 SubGrp
20 ffn 5737 . . 3 SubGrp
2119, 20syl 16 . 2
2211adantr 465 . . . 4
2319ffvelrnda 6032 . . . . 5 SubGrp
247subgss 16329 . . . . 5 SubGrp
2523, 24syl 16 . . . 4
26 ssfi 7759 . . . 4
2722, 25, 26syl2anc 661 . . 3
284ffvelrnda 6032 . . . . . 6 SubGrp
297subgss 16329 . . . . . 6 SubGrp
3028, 29syl 16 . . . . 5
3128adantr 465 . . . . . . 7 SubGrp
32 ssfi 7759 . . . . . . . . 9
3322, 30, 32syl2anc 661 . . . . . . . 8
3433adantr 465 . . . . . . 7
35 simpr 461 . . . . . . 7
368odsubdvds 16718 . . . . . . 7 SubGrp
3731, 34, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . 6
38 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8
3912sselda 3499 . . . . . . . . . 10
40 prmz 14233 . . . . . . . . . 10
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9
42 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9
4342nn0zd 10988 . . . . . . . . . 10
44 ablgrp 16930 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4510, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
467grpbn0 16206 . . . . . . . . . . . . . . 15
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
48 hashnncl 12439 . . . . . . . . . . . . . . 15
4911, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5047, 49mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
5239, 51pccld 14386 . . . . . . . . . . 11
5352nn0zd 10988 . . . . . . . . . 10
547lagsubg 16390 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
5528, 22, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
5638, 55eqbrtrrd 4478 . . . . . . . . . . 11
5751nnzd 10989 . . . . . . . . . . . 12
58 pcdvdsb 14404 . . . . . . . . . . . 12
5939, 57, 42, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
6056, 59mpbird 232 . . . . . . . . . 10
61 eluz2 11112 . . . . . . . . . 10
6243, 53, 60, 61syl3anbrc 1180 . . . . . . . . 9
63 dvdsexp 14054 . . . . . . . . 9
6441, 42, 62, 63syl3anc 1228 . . . . . . . 8
6538, 64eqbrtrd 4476 . . . . . . 7
6665adantr 465 . . . . . 6
6730sselda 3499 . . . . . . . . 9
687, 8odcl 16687 . . . . . . . . 9
6967, 68syl 16 . . . . . . . 8
7069nn0zd 10988 . . . . . . 7
71 hashcl 12431 . . . . . . . . . 10
7233, 71syl 16 . . . . . . . . 9
7372nn0zd 10988 . . . . . . . 8
7473adantr 465 . . . . . . 7
75 prmnn 14232 . . . . . . . . . . 11
7639, 75syl 16 . . . . . . . . . 10
7776, 52nnexpcld 12334 . . . . . . . . 9
7877nnzd 10989 . . . . . . . 8
7978adantr 465 . . . . . . 7
80 dvdstr 14030 . . . . . . 7
8170, 74, 79, 80syl3anc 1228 . . . . . 6
8237, 66, 81mp2and 679 . . . . 5
8330, 82ssrabdv 3575 . . . 4
84 id 22 . . . . . . . . 9
85 oveq1 6303 . . . . . . . . 9
8684, 85oveq12d 6314 . . . . . . . 8
8786breq2d 4468 . . . . . . 7
8887rabbidv 3101 . . . . . 6
8988, 9, 16fvmpt3i 5960 . . . . 5
9089adantl 466 . . . 4
9183, 90sseqtr4d 3536 . . 3
9277nnnn0d 10873 . . . . . 6
93 pcdvds 14399 . . . . . . . . . 10
9439, 51, 93syl2anc 661 . . . . . . . . 9
952adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 DProd
963adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
9995, 96, 98dprdres 17202 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd DProd DProd
10099simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
1014adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
102101, 98fssresd 5758 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
103 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
105 difssd 3628 . . . . . . . . . . . . 13
106100, 104, 105dprdres 17202 . . . . . . . . . . . 12 DProd DProd DProd
107106simpld 459 . . . . . . . . . . 11 DProd
108 dprdsubg 17198 . . . . . . . . . . 11 DProd DProd SubGrp
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . 10 DProd SubGrp
1107lagsubg 16390 . . . . . . . . . 10 DProd SubGrp DProd
111109, 22, 110syl2anc 661 . . . . . . . . 9 DProd
112 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112subg0cl 16336 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd SubGrp DProd
114109, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
115 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . . 13 DProd DProd
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12 DProd
1177dprdssv 17183 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd
118 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd DProd
11922, 117, 118sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13 DProd
120 hashnncl 12439 . . . . . . . . . . . . 13 DProd DProd DProd
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12 DProd DProd
122116, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . 11 DProd
123122nnzd 10989 . . . . . . . . . 10 DProd
124 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12510adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12611adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129127, 128eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1332, 3, 97dprdres 17202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 DProd DProd DProd
134133simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 DProd
135 dprdsubg 17198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 DProd DProd SubGrp
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DProd SubGrp
137 difssd 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1382, 3, 137dprdres 17202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 DProd DProd DProd
139138simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 DProd
140 dprdsubg 17198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 DProd DProd SubGrp
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DProd SubGrp
142 difss 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
143 fssres 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 SubGrp SubGrp
1444, 142, 143sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 SubGrp
145 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 SubGrp
146144, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
147 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
148147adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
149 eldif 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15033adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
151112subg0cl 16336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 SubGrp
15228, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
153152snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
154153adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
15538adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15639adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
157 iddvdsexp 14019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
15841, 157sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
15956adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
16038, 73eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
161 dvdstr 14030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
16241, 160, 57, 161syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
163162adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
164158, 159, 163mp2and 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
165 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
166165, 127elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
167156, 164, 166sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
168167ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
169168con3d 133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
170169impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
17142adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
172 elnn0 10818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
173171, 172sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
174173ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
175170, 174mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
176175oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
17776adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
178177nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
179178exp0d 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
180155, 176, 1793eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
181 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
182 hashsng 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
183181, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
184180, 183syl6reqr 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
185 snfi 7615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
186 hashen 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
187185, 150, 186sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
188184, 187mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
189 fisseneq 7750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
190150, 154, 188, 189syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
191112subg0cl 16336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 DProd SubGrp DProd
192136, 191syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 DProd
193192adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 DProd
194193snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 DProd
195190, 194eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 DProd
196149, 195sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 DProd
197148, 196eqsstrd 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 DProd
198139, 146, 136, 197dprdlub 17200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DProd DProd
199 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
200199lsmss2 16813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DProd SubGrp DProd SubGrp DProd DProd DProd DProd DProd
201136, 141, 198, 200syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 DProd DProd DProd
202 disjdif 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
203202a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
204 undif2 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
205 ssequn1 3670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
20697, 205sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
207204, 206syl5req 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2084, 203, 207, 199, 2dprdsplit 17224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DProd DProd DProd
2091simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 DProd
210208, 209eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 DProd DProd
211201, 210eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 DProd
212134, 211jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 DProd DProd
213212adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 DProd DProd
2144, 97fssresd 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 SubGrp
215214, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
216215adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21797sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
218217, 42syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
219218adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16
220 fvres 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
221220adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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