Theorem ablfac1eu 16564

Description: The factorization of ablfac1b 16561 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to S. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	|- B = ( Base ` G )
ablfac1.o	|- O = ( od ` G )
ablfac1.s	|- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
ablfac1.g	|- ( ph -> G e. Abel )
ablfac1.f	|- ( ph -> B e. Fin )
ablfac1.1	|- ( ph -> A C_ Prime )
ablfac1c.d	|- D = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
ablfac1.2	|- ( ph -> D C_ A )
ablfac1eu.1	|- ( ph -> ( G dom DProd T /\ ( G DProd T ) = B ) )
ablfac1eu.2	|- ( ph -> dom T = A )
ablfac1eu.3	|- ( ( ph /\ q e. A ) -> C e. NN0 )
ablfac1eu.4	|- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )

Assertion

Ref	Expression
ablfac1eu	|- ( ph -> T = S )

Distinct variable groups:   q, p, w, x, B   D, p, q, x   ph, p, q, w, x   S, q   A, p, q, x   O, p, q, x   T, q, x   G, p, q, x

Allowed substitution hints:   A( w)   C( x, w, q, p)   D( w)   S( x, w, p)   T( w, p)   G( w)   O( w)

Proof of Theorem ablfac1eu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablfac1eu.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( G dom DProd T /\ ( G DProd T ) = B ) )
2	1	simpld 456	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd T )
3		ablfac1eu.2	. . . 4 |- ( ph -> dom T = A )
4	2, 3	dprdf2 16481	. . 3 |- ( ph -> T : A --> (SubGrp ` G ) )
5		ffn 5556	. . 3 |- ( T : A --> (SubGrp ` G ) -> T Fn A )
6	4, 5	syl 16	. 2 |- ( ph -> T Fn A )
7		ablfac1.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
8		ablfac1.o	. . . . 5 |- O = ( od ` G )
9		ablfac1.s	. . . . 5 |- S = ( p e. A |-> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
10		ablfac1.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. Abel )
11		ablfac1.f	. . . . 5 |- ( ph -> B e. Fin )
12		ablfac1.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ Prime )
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	ablfac1b 16561	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd S )
14		fvex 5698	. . . . . . . 8 |- ( Base ` G ) e. _V
15	7, 14	eqeltri 2511	. . . . . . 7 |- B e. _V
16	15	rabex 4440	. . . . . 6 |- { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } e. _V
17	16, 9	dmmpti 5537	. . . . 5 |- dom S = A
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> dom S = A )
19	13, 18	dprdf2 16481	. . 3 |- ( ph -> S : A --> (SubGrp ` G ) )
20		ffn 5556	. . 3 |- ( S : A --> (SubGrp ` G ) -> S Fn A )
21	19, 20	syl 16	. 2 |- ( ph -> S Fn A )
22	11	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> B e. Fin )
23	19	ffvelrnda 5840	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
24	7	subgss 15675	. . . . 5 |- ( ( S ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( S ` q ) C_ B )
25	23, 24	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) C_ B )
26		ssfi 7529	. . . 4 |- ( ( B e. Fin /\ ( S ` q ) C_ B ) -> ( S ` q ) e. Fin )
27	22, 25, 26	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) e. Fin )
28	4	ffvelrnda 5840	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
29	7	subgss 15675	. . . . . 6 |- ( ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( T ` q ) C_ B )
30	28, 29	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) C_ B )
31	28	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) )
32		ssfi 7529	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. Fin /\ ( T ` q ) C_ B ) -> ( T ` q ) e. Fin )
33	22, 30, 32	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) e. Fin )
34	33	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( T ` q ) e. Fin )
35		simpr 458	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> x e. ( T ` q ) )
36	8	odsubdvds 16063	. . . . . . 7 |- ( ( ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( T ` q ) e. Fin /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( O ` x ) || ( # ` ( T ` q ) ) )
37	31, 34, 35, 36	syl3anc 1213	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( O ` x ) || ( # ` ( T ` q ) ) )
38		ablfac1eu.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )
39	12	sselda 3353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> q e. Prime )
40		prmz 13763	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. Prime -> q e. ZZ )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> q e. ZZ )
42		ablfac1eu.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> C e. NN0 )
43	42	nn0zd 10741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> C e. ZZ )
44		ablgrp 16275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
45	10, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G e. Grp )
46	7	grpbn0 15560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. Grp -> B =/= (/) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B =/= (/) )
48		hashnncl 12130	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. Fin -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
49	11, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( # ` B ) e. NN <-> B =/= (/) ) )
50	47, 49	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( # ` B ) e. NN )
51	50	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` B ) e. NN )
52	39, 51	pccld 13913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 )
53	52	nn0zd 10741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ZZ )
54	7	lagsubg 15736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( T ` q ) ) || ( # ` B ) )
55	28, 22, 54	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) || ( # ` B ) )
56	38, 55	eqbrtrrd 4311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ C ) || ( # ` B ) )
57	51	nnzd 10742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
58		pcdvdsb 13931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. Prime /\ ( # ` B ) e. ZZ /\ C e. NN0 ) -> ( C <_ ( q pCnt ( # ` B ) ) <-> ( q ^ C ) || ( # ` B ) ) )
59	39, 57, 42, 58	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( C <_ ( q pCnt ( # ` B ) ) <-> ( q ^ C ) || ( # ` B ) ) )
60	56, 59	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> C <_ ( q pCnt ( # ` B ) ) )
61		eluz2 10863	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> ( C e. ZZ /\ ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ZZ /\ C <_ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
62	43, 53, 60, 61	syl3anbrc 1167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ( ZZ>= ` C ) )
63		dvdsexp 13585	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. ZZ /\ C e. NN0 /\ ( q pCnt ( # ` B ) ) e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( q ^ C ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
64	41, 42, 62, 63	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ C ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
65	38, 64	eqbrtrd 4309	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
66	65	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
67	30	sselda 3353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> x e. B )
68	7, 8	odcl 16032	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> ( O ` x ) e. NN0 )
69	67, 68	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( O ` x ) e. NN0 )
70	69	nn0zd 10741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( O ` x ) e. ZZ )
71		hashcl 12122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` q ) e. Fin -> ( # ` ( T ` q ) ) e. NN0 )
72	33, 71	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) e. NN0 )
73	72	nn0zd 10741	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) e. ZZ )
74	73	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) e. ZZ )
75		prmnn 13762	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. Prime -> q e. NN )
76	39, 75	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> q e. NN )
77	76, 52	nnexpcld 12025	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN )
78	77	nnzd 10742	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ )
79	78	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ )
80		dvdstr 13562	. . . . . . 7 |- ( ( ( O ` x ) e. ZZ /\ ( # ` ( T ` q ) ) e. ZZ /\ ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( O ` x ) || ( # ` ( T ` q ) ) /\ ( # ` ( T ` q ) ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) -> ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
81	70, 74, 79, 80	syl3anc 1213	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( ( ( O ` x ) || ( # ` ( T ` q ) ) /\ ( # ` ( T ` q ) ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) -> ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
82	37, 66, 81	mp2and 674	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ x e. ( T ` q ) ) -> ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
83	30, 82	ssrabdv 3428	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) C_ { x e. B | ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) } )
84		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( p = q -> p = q )
85		oveq1 6097	. . . . . . . . 9 |- ( p = q -> ( p pCnt ( # ` B ) ) = ( q pCnt ( # ` B ) ) )
86	84, 85	oveq12d 6108	. . . . . . . 8 |- ( p = q -> ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
87	86	breq2d 4301	. . . . . . 7 |- ( p = q -> ( ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) <-> ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) ) )
88	87	rabbidv 2962	. . . . . 6 |- ( p = q -> { x e. B | ( O ` x ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } = { x e. B | ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) } )
89	88, 9, 16	fvmpt3i 5775	. . . . 5 |- ( q e. A -> ( S ` q ) = { x e. B | ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) } )
90	89	adantl 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( S ` q ) = { x e. B | ( O ` x ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) } )
91	83, 90	sseqtr4d 3390	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) C_ ( S ` q ) )
92	77	nnnn0d 10632	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN0 )
93		pcdvds 13926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. Prime /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) )
94	39, 51, 93	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) )
95	2	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> G dom DProd T )
96	3	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> dom T = A )
97		ablfac1.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D C_ A )
98	97	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> D C_ A )
99	95, 96, 98	dprdres 16515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G dom DProd ( T |` D ) /\ ( G DProd ( T |` D ) ) C_ ( G DProd T ) ) )
100	99	simpld 456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> G dom DProd ( T |` D ) )
101	4	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> T : A --> (SubGrp ` G ) )
102		fssres 5575	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T : A --> (SubGrp ` G ) /\ D C_ A ) -> ( T |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
103	101, 98, 102	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
104		fdm 5560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) -> dom ( T |` D ) = D )
105	103, 104	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> dom ( T |` D ) = D )
106		difssd 3481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( D \ { q } ) C_ D )
107	100, 105, 106	dprdres 16515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) /\ ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) ) )
108	107	simpld 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) )
109		dprdsubg 16511	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
110	108, 109	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
111	7	lagsubg 15736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ B e. Fin ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) || ( # ` B ) )
112	110, 22, 111	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) || ( # ` B ) )
113		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
114	113	subg0cl 15682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) )
115	110, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) )
116		ne0i 3640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) =/= (/) )
117	115, 116	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) =/= (/) )
118	7	dprdssv 16496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) C_ B
119		ssfi 7529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. Fin /\ ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) C_ B ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. Fin )
120	22, 118, 119	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. Fin )
121		hashnncl 12130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) e. Fin -> ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. NN <-> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) =/= (/) ) )
122	120, 121	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. NN <-> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) =/= (/) ) )
123	117, 122	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. NN )
124	123	nnzd 10742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. ZZ )
125		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. D |-> { y e. B | ( O ` y ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } ) = ( p e. D |-> { y e. B | ( O ` y ) || ( p ^ ( p pCnt ( # ` B ) ) ) } )
126	10	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> G e. Abel )
127	11	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> B e. Fin )
128		ablfac1c.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- D = { w e. Prime | w || ( # ` B ) }
129		ssrab2 3434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { w e. Prime | w || ( # ` B ) } C_ Prime
130	128, 129	eqsstri 3383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- D C_ Prime
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> D C_ Prime )
132		ssid 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- D C_ D
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> D C_ D )
134	2, 3, 97	dprdres 16515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( G dom DProd ( T |` D ) /\ ( G DProd ( T |` D ) ) C_ ( G DProd T ) ) )
135	134	simpld 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> G dom DProd ( T |` D ) )
136		dprdsubg 16511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( G dom DProd ( T |` D ) -> ( G DProd ( T |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
137	135, 136	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G DProd ( T |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) )
138		difssd 3481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( A \ D ) C_ A )
139	2, 3, 138	dprdres 16515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( G dom DProd ( T |` ( A \ D ) ) /\ ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) C_ ( G DProd T ) ) )
140	139	simpld 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> G dom DProd ( T |` ( A \ D ) ) )
141		dprdsubg 16511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( G dom DProd ( T |` ( A \ D ) ) -> ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
142	140, 141	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
143		difss 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A \ D ) C_ A
144		fssres 5575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( T : A --> (SubGrp ` G ) /\ ( A \ D ) C_ A ) -> ( T |` ( A \ D ) ) : ( A \ D ) --> (SubGrp ` G ) )
145	4, 143, 144	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( T |` ( A \ D ) ) : ( A \ D ) --> (SubGrp ` G ) )
146		fdm 5560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( T |` ( A \ D ) ) : ( A \ D ) --> (SubGrp ` G ) -> dom ( T |` ( A \ D ) ) = ( A \ D ) )
147	145, 146	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> dom ( T |` ( A \ D ) ) = ( A \ D ) )
148		fvres 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q e. ( A \ D ) -> ( ( T |` ( A \ D ) ) ` q ) = ( T ` q ) )
149	148	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ q e. ( A \ D ) ) -> ( ( T |` ( A \ D ) ) ` q ) = ( T ` q ) )
150		eldif 3335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( q e. ( A \ D ) <-> ( q e. A /\ -. q e. D ) )
151	33	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( T ` q ) e. Fin )
152	113	subg0cl 15682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( T ` q ) e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. ( T ` q ) )
153	28, 152	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( 0g ` G ) e. ( T ` q ) )
154	153	snssd 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> { ( 0g ` G ) } C_ ( T ` q ) )
155	154	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> { ( 0g ` G ) } C_ ( T ` q ) )
156	38	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )
157	39	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> q e. Prime )
158		iddvdsexp 13552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( q e. ZZ /\ C e. NN ) -> q || ( q ^ C ) )
159	41, 158	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> q || ( q ^ C ) )
160	56	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> ( q ^ C ) || ( # ` B ) )
161	38, 73	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ C ) e. ZZ )
162		dvdstr 13562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( q e. ZZ /\ ( q ^ C ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) -> ( ( q || ( q ^ C ) /\ ( q ^ C ) || ( # ` B ) ) -> q || ( # ` B ) ) )
163	41, 161, 57, 162	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( q || ( q ^ C ) /\ ( q ^ C ) || ( # ` B ) ) -> q || ( # ` B ) ) )
164	163	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> ( ( q || ( q ^ C ) /\ ( q ^ C ) || ( # ` B ) ) -> q || ( # ` B ) ) )
165	159, 160, 164	mp2and 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> q || ( # ` B ) )
166		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( w = q -> ( w || ( # ` B ) <-> q || ( # ` B ) ) )
167	166, 128	elrab2 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( q e. D <-> ( q e. Prime /\ q || ( # ` B ) ) )
168	157, 165, 167	sylanbrc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ C e. NN ) -> q e. D )
169	168	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( C e. NN -> q e. D ) )
170	169	con3d 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( -. q e. D -> -. C e. NN ) )
171	170	impr 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> -. C e. NN )
172	42	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> C e. NN0 )
173		elnn0 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( C e. NN0 <-> ( C e. NN \/ C = 0 ) )
174	172, 173	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( C e. NN \/ C = 0 ) )
175	174	ord 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( -. C e. NN -> C = 0 ) )
176	171, 175	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> C = 0 )
177	176	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( q ^ C ) = ( q ^ 0 ) )
178	76	adantrr 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> q e. NN )
179	178	nncnd 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> q e. CC )
180	179	exp0d 11998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( q ^ 0 ) = 1 )
181	156, 177, 180	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = 1 )
182		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 0g ` G ) e. _V
183		hashsng 12132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 0g ` G ) e. _V -> ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = 1 )
184	182, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = 1
185	181, 184	syl6reqr 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = ( # ` ( T ` q ) ) )
186		snfi 7386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- { ( 0g ` G ) } e. Fin
187		hashen 12114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( { ( 0g ` G ) } e. Fin /\ ( T ` q ) e. Fin ) -> ( ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = ( # ` ( T ` q ) ) <-> { ( 0g ` G ) } ~~ ( T ` q ) ) )
188	186, 151, 187	sylancr 658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( ( # ` { ( 0g ` G ) } ) = ( # ` ( T ` q ) ) <-> { ( 0g ` G ) } ~~ ( T ` q ) ) )
189	185, 188	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> { ( 0g ` G ) } ~~ ( T ` q ) )
190		fisseneq 7520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( T ` q ) e. Fin /\ { ( 0g ` G ) } C_ ( T ` q ) /\ { ( 0g ` G ) } ~~ ( T ` q ) ) -> { ( 0g ` G ) } = ( T ` q ) )
191	151, 155, 189, 190	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> { ( 0g ` G ) } = ( T ` q ) )
192	113	subg0cl 15682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( G DProd ( T |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( T |` D ) ) )
193	137, 192	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( T |` D ) ) )
194	193	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( 0g ` G ) e. ( G DProd ( T |` D ) ) )
195	194	snssd 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> { ( 0g ` G ) } C_ ( G DProd ( T |` D ) ) )
196	191, 195	eqsstr3d 3388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( T ` q ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) )
197	150, 196	sylan2b 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ q e. ( A \ D ) ) -> ( T ` q ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) )
198	149, 197	eqsstrd 3387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ q e. ( A \ D ) ) -> ( ( T |` ( A \ D ) ) ` q ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) )
199	140, 147, 137, 198	dprdlub 16513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) )
200		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( LSSum ` G ) = ( LSSum ` G )
201	200	lsmss2 16158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( G DProd ( T |` D ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) ) -> ( ( G DProd ( T |` D ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) ) = ( G DProd ( T |` D ) ) )
202	137, 142, 199, 201	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( G DProd ( T |` D ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) ) = ( G DProd ( T |` D ) ) )
203		disjdif 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( D i^i ( A \ D ) ) = (/)
204	203	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( D i^i ( A \ D ) ) = (/) )
205		undif2 3752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( D u. ( A \ D ) ) = ( D u. A )
206		ssequn1 3523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( D C_ A <-> ( D u. A ) = A )
207	97, 206	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( D u. A ) = A )
208	205, 207	syl5req 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> A = ( D u. ( A \ D ) ) )
209	4, 204, 208, 200, 2	dprdsplit 16537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G DProd T ) = ( ( G DProd ( T |` D ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) ) )
210	1	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( G DProd T ) = B )
211	209, 210	eqtr3d 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( G DProd ( T |` D ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( T |` ( A \ D ) ) ) ) = B )
212	202, 211	eqtr3d 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( G DProd ( T |` D ) ) = B )
213	135, 212	jca 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( G dom DProd ( T |` D ) /\ ( G DProd ( T |` D ) ) = B ) )
214	213	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> ( G dom DProd ( T |` D ) /\ ( G DProd ( T |` D ) ) = B ) )
215	4, 97, 102	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( T |` D ) : D --> (SubGrp ` G ) )
216	215, 104	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> dom ( T |` D ) = D )
217	216	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> dom ( T |` D ) = D )
218	97	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> q e. A )
219	218, 42	syldan 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> C e. NN0 )
220	219	adantlr 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. Prime ) /\ q e. D ) -> C e. NN0 )
221		fvres 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q e. D -> ( ( T |` D ) ` q ) = ( T ` q ) )
222	221	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> ( ( T |` D ) ` q ) = ( T ` q ) )
223	222	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> ( # ` ( ( T |` D ) ` q ) ) = ( # ` ( T ` q ) ) )
224	218, 38	syldan 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ C ) )
225	223, 224	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ q e. D ) -> ( # ` ( ( T |` D ) ` q ) ) = ( q ^ C ) )
226	225	adantlr 709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. Prime ) /\ q e. D ) -> ( # ` ( ( T |` D ) ` q ) ) = ( q ^ C ) )
227		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> x e. Prime )
228		fzfid 11791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin )
229		prmnn 13762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. Prime -> w e. NN )
230	229	3ad2ant2 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w e. NN )
231		prmz 13763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w e. Prime -> w e. ZZ )
232		dvdsle 13574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( w e. ZZ /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( w || ( # ` B ) -> w <_ ( # ` B ) ) )
233	231, 50, 232	syl2anr 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. Prime ) -> ( w || ( # ` B ) -> w <_ ( # ` B ) ) )
234	233	3impia 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w <_ ( # ` B ) )
235	50	nnzd 10742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( # ` B ) e. ZZ )
236	235	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> ( # ` B ) e. ZZ )
237		fznn 11522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( # ` B ) e. ZZ -> ( w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) <-> ( w e. NN /\ w <_ ( # ` B ) ) ) )
238	236, 237	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> ( w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) <-> ( w e. NN /\ w <_ ( # ` B ) ) ) )
239	230, 234, 238	mpbir2and 908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ w e. Prime /\ w || ( # ` B ) ) -> w e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
240	239	rabssdv 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> { w e. Prime | w || ( # ` B ) } C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
241	128, 240	syl5eqss 3397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
242		ssfi 7529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin /\ D C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> D e. Fin )
243	228, 241, 242	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D e. Fin )
244	243	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> D e. Fin )
245	7, 8, 125, 126, 127, 131, 128, 133, 214, 217, 220, 226, 227, 244	ablfac1eulem 16563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. Prime ) -> -. x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) )
246	245	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. Prime -. x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) )
247	246	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> A. x e. Prime -. x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) )
248		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = q -> x = q )
249		sneq 3884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = q -> { x } = { q } )
250	249	difeq2d 3471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = q -> ( D \ { x } ) = ( D \ { q } ) )
251	250	reseq2d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = q -> ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) = ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) )
252	251	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = q -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) = ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) )
253	252	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = q -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) = ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) )
254	248, 253	breq12d 4302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = q -> ( x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) <-> q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
255	254	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = q -> ( -. x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) <-> -. q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
256	255	rspcv 3066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. Prime -> ( A. x e. Prime -. x || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { x } ) ) ) ) -> -. q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
257	39, 247, 256	sylc 60	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> -. q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) )
258		coprm 13782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. Prime /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( -. q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) <-> ( q gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 ) )
259	39, 124, 258	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( -. q || ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) <-> ( q gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 ) )
260	257, 259	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 )
261		rpexp1i 13803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. ZZ /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. ZZ /\ ( q pCnt ( # ` B ) ) e. NN0 ) -> ( ( q gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 ) )
262	41, 124, 52, 261	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( q gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 ) )
263	260, 262	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 )
264		coprmdvds2 13785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. ZZ /\ ( # ` B ) e. ZZ ) /\ ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) gcd ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = 1 ) -> ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) || ( # ` B ) ) -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( # ` B ) ) )
265	78, 124, 57, 263, 264	syl31anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` B ) /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) || ( # ` B ) ) -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( # ` B ) ) )
266	94, 112, 265	mp2and 674	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( # ` B ) )
267		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
268		inss1 3567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D i^i { q } ) C_ D
269	268	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( D i^i { q } ) C_ D )
270	100, 105, 269	dprdres 16515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) /\ ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) C_ ( G DProd ( T |` D ) ) ) )
271	270	simpld 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) )
272		dprdsubg 16511	. . . . . . . . . . 11 |- ( G dom DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
273	271, 272	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) e. (SubGrp ` G ) )
274		inass 3557	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D i^i { q } ) i^i ( D \ { q } ) ) = ( D i^i ( { q } i^i ( D \ { q } ) ) )
275		disjdif 3748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { q } i^i ( D \ { q } ) ) = (/)
276	275	ineq2i 3546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D i^i ( { q } i^i ( D \ { q } ) ) ) = ( D i^i (/) )
277		in0 3660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( D i^i (/) ) = (/)
278	274, 276, 277	3eqtri 2465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D i^i { q } ) i^i ( D \ { q } ) ) = (/)
279	278	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( D i^i { q } ) i^i ( D \ { q } ) ) = (/) )
280	100, 105, 269, 106, 279, 113	dprddisj2 16527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) i^i ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) = { ( 0g ` G ) } )
281	100, 105, 269, 106, 279, 267	dprdcntz2 16526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) C_ ( (Cntz ` G ) ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) )
282	7	dprdssv 16496	. . . . . . . . . . 11 |- ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) C_ B
283		ssfi 7529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) C_ B ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) e. Fin )
284	22, 282, 283	sylancl 657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) e. Fin )
285	200, 113, 267, 273, 110, 280, 281, 284, 120	lsmhash 16195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
286		inundif 3754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D i^i { q } ) u. ( D \ { q } ) ) = D
287	286	eqcomi 2445	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = ( ( D i^i { q } ) u. ( D \ { q } ) )
288	287	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> D = ( ( D i^i { q } ) u. ( D \ { q } ) ) )
289	103, 279, 288, 200, 100	dprdsplit 16537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( T |` D ) ) = ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) )
290	212	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( T |` D ) ) = B )
291	289, 290	eqtr3d 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) = B )
292	291	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ( LSSum ` G ) ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = ( # ` B ) )
293		snssi 4014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q e. D -> { q } C_ D )
294	293	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> { q } C_ D )
295		dfss1 3552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { q } C_ D <-> ( D i^i { q } ) = { q } )
296	294, 295	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( D i^i { q } ) = { q } )
297	296	reseq2d 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) = ( ( T |` D ) |` { q } ) )
298	297	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( G DProd ( ( T |` D ) |` { q } ) ) )
299	100	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> G dom DProd ( T |` D ) )
300	216	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> dom ( T |` D ) = D )
301		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> q e. D )
302	299, 300, 301	dpjlem 16540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` { q } ) ) = ( ( T |` D ) ` q ) )
303	221	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( ( T |` D ) ` q ) = ( T ` q ) )
304	298, 302, 303	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ q e. D ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( T ` q ) )
305		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> -. q e. D )
306		disjsn 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( D i^i { q } ) = (/) <-> -. q e. D )
307	305, 306	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( D i^i { q } ) = (/) )
308	307	reseq2d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) = ( ( T |` D ) |` (/) ) )
309		res0 5111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T |` D ) |` (/) ) = (/)
310	308, 309	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) = (/) )
311	310	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( G DProd (/) ) )
312	113	dprd0 16518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G e. Grp -> ( G dom DProd (/) /\ ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } ) )
313	45, 312	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( G dom DProd (/) /\ ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } ) )
314	313	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } )
315	314	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( G DProd (/) ) = { ( 0g ` G ) } )
316	311, 315, 191	3eqtrd 2477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( q e. A /\ -. q e. D ) ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( T ` q ) )
317	316	anassrs 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. A ) /\ -. q e. D ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( T ` q ) )
318	304, 317	pm2.61dan 784	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) = ( T ` q ) )
319	318	fveq2d 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ) = ( # ` ( T ` q ) ) )
320	319	oveq1d 6105	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D i^i { q } ) ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) = ( ( # ` ( T ` q ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
321	285, 292, 320	3eqtr3d 2481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` B ) = ( ( # ` ( T ` q ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
322	266, 321	breqtrd 4313	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( ( # ` ( T ` q ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) )
323	123	nnne0d 10362	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) =/= 0 )
324		dvdsmulcr 13558	. . . . . . . 8 |- ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. ZZ /\ ( # ` ( T ` q ) ) e. ZZ /\ ( ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) e. ZZ /\ ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( ( # ` ( T ` q ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) <-> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` ( T ` q ) ) ) )
325	78, 73, 124, 323, 324	syl112anc 1217	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) || ( ( # ` ( T ` q ) ) x. ( # ` ( G DProd ( ( T |` D ) |` ( D \ { q } ) ) ) ) ) <-> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` ( T ` q ) ) ) )
326	322, 325	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` ( T ` q ) ) )
327		dvdseq 13576	. . . . . 6 |- ( ( ( ( # ` ( T ` q ) ) e. NN0 /\ ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) e. NN0 ) /\ ( ( # ` ( T ` q ) ) || ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) /\ ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) || ( # ` ( T ` q ) ) ) ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
328	72, 92, 65, 326, 327	syl22anc 1214	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
329	7, 8, 9, 10, 11, 12	ablfac1a 16560	. . . . 5 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( S ` q ) ) = ( q ^ ( q pCnt ( # ` B ) ) ) )
330	328, 329	eqtr4d 2476	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( # ` ( T ` q ) ) = ( # ` ( S ` q ) ) )
331		hashen 12114	. . . . 5 |- ( ( ( T ` q ) e. Fin /\ ( S ` q ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( T ` q ) ) = ( # ` ( S ` q ) ) <-> ( T ` q ) ~~ ( S ` q ) ) )
332	33, 27, 331	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( ( # ` ( T ` q ) ) = ( # ` ( S ` q ) ) <-> ( T ` q ) ~~ ( S ` q ) ) )
333	330, 332	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) ~~ ( S ` q ) )
334		fisseneq 7520	. . 3 |- ( ( ( S ` q ) e. Fin /\ ( T ` q ) C_ ( S ` q ) /\ ( T ` q ) ~~ ( S ` q ) ) -> ( T ` q ) = ( S ` q ) )
335	27, 91, 333, 334	syl3anc 1213	. 2 |- ( ( ph /\ q e. A ) -> ( T ` q ) = ( S ` q ) )
336	6, 21, 335	eqfnfvd 5797	1 |- ( ph -> T = S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   u. cun 3323   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   |` cres 4838   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ~~ cen 7303   Fincfn 7306   0cc0 9278   1c1 9279   x. cmul 9283   <_ cle 9415   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   ^cexp 11861   #chash 12099   || cdivides 13531   gcd cgcd 13686   Primecprime 13759   pCnt cpc 13899   Basecbs 14170   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406  SubGrpcsubg 15668  Cntzccntz 15826   odcod 16021   LSSumclsm 16126   Abelcabel 16271   DProd cdprd 16465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-eqg 15673  df-ghm 15738  df-gim 15780  df-ga 15801  df-cntz 15828  df-oppg 15854  df-od 16025  df-lsm 16128  df-pj1 16129  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-dprd 16467

This theorem is referenced by: (None)