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Theorem ablfac1eu 17784
Description: The factorization of ablfac1b 17781 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to 
S. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
ablfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
ablfac1.s  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
ablfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
ablfac1.f  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
ablfac1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
ablfac1c.d  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
ablfac1.2  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
ablfac1eu.1  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
ablfac1eu.2  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
ablfac1eu.3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
ablfac1eu.4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu  |-  ( ph  ->  T  =  S )
Distinct variable groups:    q, p, w, x, B    D, p, q, x    ph, p, q, w, x    S, q    A, p, q, x    O, p, q, x    T, q, x    G, p, q, x
Allowed substitution hints:    A( w)    C( x, w, q, p)    D( w)    S( x, w, p)    T( w, p)    G( w)    O( w)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  T  /\  ( G DProd  T )  =  B ) )
21simpld 466 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  T )
3 ablfac1eu.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  T  =  A )
42, 3dprdf2 17717 . . 3  |-  ( ph  ->  T : A --> (SubGrp `  G ) )
5 ffn 5739 . . 3  |-  ( T : A --> (SubGrp `  G )  ->  T  Fn  A )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  T  Fn  A )
7 ablfac1.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 ablfac1.o . . . . 5  |-  O  =  ( od `  G
)
9 ablfac1.s . . . . 5  |-  S  =  ( p  e.  A  |->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
10 ablfac1.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
11 ablfac1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
12 ablfac1.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Prime )
137, 8, 9, 10, 11, 12ablfac1b 17781 . . . 4  |-  ( ph  ->  G dom DProd  S )
14 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  e.  _V
157, 14eqeltri 2545 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
1615rabex 4550 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  e.  _V
1716, 9dmmpti 5717 . . . . 5  |-  dom  S  =  A
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  S  =  A )
1913, 18dprdf2 17717 . . 3  |-  ( ph  ->  S : A --> (SubGrp `  G ) )
20 ffn 5739 . . 3  |-  ( S : A --> (SubGrp `  G )  ->  S  Fn  A )
2119, 20syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  S  Fn  A )
2211adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
2319ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
247subgss 16896 . . . . 5  |-  ( ( S `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( S `  q )  C_  B
)
2523, 24syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  C_  B )
26 ssfi 7810 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( S `  q ) 
C_  B )  -> 
( S `  q
)  e.  Fin )
2722, 25, 26syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  e.  Fin )
284ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
297subgss 16896 . . . . . 6  |-  ( ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( T `  q )  C_  B
)
3028, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_  B )
3128adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G )
)
32 ssfi 7810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( T `  q ) 
C_  B )  -> 
( T `  q
)  e.  Fin )
3322, 30, 32syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  e.  Fin )
3433adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( T `  q )  e.  Fin )
35 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  x  e.  ( T `  q
) )
368odsubdvds 17298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T `  q )  e.  Fin  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( # `  ( T `  q )
) )
3731, 34, 35, 36syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( # `  ( T `  q )
) )
38 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
3912sselda 3418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  Prime )
40 prmz 14705 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  ZZ )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  ZZ )
42 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  NN0 )
4342nn0zd 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  e.  ZZ )
44 ablgrp 17513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
4510, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
467grpbn0 16773 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
48 hashnncl 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
4911, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
5047, 49mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e.  NN )
5239, 51pccld 14879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
5352nn0zd 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  ZZ )
547lagsubg 16957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( # `  B ) )
5528, 22, 54syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( # `  B ) )
5638, 55eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( # `  B
) )
5751nnzd 11062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  e.  ZZ )
58 pcdvdsb 14897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ  /\  C  e. 
NN0 )  ->  ( C  <_  ( q  pCnt  (
# `  B )
)  <->  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) ) )
5939, 57, 42, 58syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( C  <_  ( q  pCnt  (
# `  B )
)  <->  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) ) )
6056, 59mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  C  <_  ( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )
61 eluz2 11188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( C  e.  ZZ  /\  ( q 
pCnt  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  C  <_  ( q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6243, 53, 60, 61syl3anbrc 1214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C ) )
63 dvdsexp 14439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0  /\  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  C ) )  ->  ( q ^ C )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6441, 42, 62, 63syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )
6538, 64eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6665adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
6730sselda 3418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  x  e.  B )
687, 8odcl 17263 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
6967, 68syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
7069nn0zd 11061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
71 hashcl 12576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  q )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e. 
NN0 )
7233, 71syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e. 
NN0 )
7372nn0zd 11061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e.  ZZ )
7473adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  e.  ZZ )
75 prmnn 14704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  Prime  ->  q  e.  NN )
7639, 75syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  NN )
7776, 52nnexpcld 12475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  NN )
7877nnzd 11062 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
7978adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )
80 dvdstr 14414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( O `  x
)  e.  ZZ  /\  ( # `  ( T `
 q ) )  e.  ZZ  /\  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( O `  x )  ||  ( # `
 ( T `  q ) )  /\  ( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8170, 74, 79, 80syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  (
( ( O `  x )  ||  ( # `
 ( T `  q ) )  /\  ( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) ) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8237, 66, 81mp2and 693 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  x  e.  ( T `  q
) )  ->  ( O `  x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
8330, 82ssrabdv 3494 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_ 
{ x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
84 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  p  =  q )
85 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  q  ->  (
p  pCnt  ( # `  B
) )  =  ( q  pCnt  ( # `  B
) ) )
8684, 85oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  q  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
8786breq2d 4407 . . . . . . 7  |-  ( p  =  q  ->  (
( O `  x
)  ||  ( p ^ ( p  pCnt  (
# `  B )
) )  <->  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) ) )
8887rabbidv 3022 . . . . . 6  |-  ( p  =  q  ->  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  ( p ^ (
p  pCnt  ( # `  B
) ) ) }  =  { x  e.  B  |  ( O `
 x )  ||  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
8988, 9, 16fvmpt3i 5968 . . . . 5  |-  ( q  e.  A  ->  ( S `  q )  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
9089adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( S `  q )  =  { x  e.  B  |  ( O `  x )  ||  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
9183, 90sseqtr4d 3455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  C_  ( S `  q
) )
9277nnnn0d 10949 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  e. 
NN0 )
93 pcdvds 14892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 B )  e.  NN )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
9439, 51, 93syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B ) )
952adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  T )
963adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  dom  T  =  A )
97 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  C_  A )
9897adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  D  C_  A )
9995, 96, 98dprdres 17739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
10099simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
1014adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T : A --> (SubGrp `  G )
)
102101, 98fssresd 5762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )
)
103 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
105 difssd 3550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( D  \  { q } )  C_  D )
106100, 104, 105dprdres 17739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ) )
107106simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )
108 dprdsubg 17735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
1107lagsubg 16957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )
111109, 22, 110syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )
112 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
113112subg0cl 16903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )
114109, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )
115 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0g `  G )  e.  ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  =/=  (/) )
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  =/=  (/) )
1177dprdssv 17727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  C_  B
118 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e.  Fin )
11922, 117, 118sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e. 
Fin )
120 hashnncl 12585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  e. 
Fin  ->  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  NN  <->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )  =/=  (/) ) )
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  NN  <->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) )  =/=  (/) ) )
122116, 121mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  NN )
123122nnzd 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  ZZ )
124 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  e.  D  |->  { y  e.  B  |  ( O `  y ) 
||  ( p ^
( p  pCnt  ( # `
 B ) ) ) } )  =  ( p  e.  D  |->  { y  e.  B  |  ( O `  y )  ||  (
p ^ ( p 
pCnt  ( # `  B
) ) ) } )
12510adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
12611adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  B  e.  Fin )
127 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  D  =  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }
128 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  Prime
129127, 128eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  C_  Prime
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  C_  Prime )
131 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  D  C_  D
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  C_  D
)
1332, 3, 97dprdres 17739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
134133simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
135 dprdsubg 17735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G ) )
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
137 difssd 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( A  \  D
)  C_  A )
1382, 3, 137dprdres 17739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) )  C_  ( G DProd  T ) ) )
139138simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )
140 dprdsubg 17735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( G dom DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) )  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) )  e.  (SubGrp `  G
) )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
142 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
\  D )  C_  A
143 fssres 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T : A --> (SubGrp `  G )  /\  ( A  \  D )  C_  A )  ->  ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D
) --> (SubGrp `  G )
)
1444, 142, 143sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D ) --> (SubGrp `  G ) )
145 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) : ( A  \  D
) --> (SubGrp `  G )  ->  dom  ( T  |`  ( A  \  D ) )  =  ( A 
\  D ) )
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  dom  ( T  |`  ( A  \  D ) )  =  ( A 
\  D ) )
147 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  e.  ( A  \  D )  ->  (
( T  |`  ( A  \  D ) ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
148147adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) `  q )  =  ( T `  q ) )
149 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( q  e.  ( A  \  D )  <->  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )
15033adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( T `  q
)  e.  Fin )
151112subg0cl 16903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( T `  q )  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T `  q ) )
15228, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( T `  q
) )
153152snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( T `  q ) )
154153adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( T `  q ) )
15538adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( q ^ C ) )
15639adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  e.  Prime )
157 iddvdsexp 14403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( q ^ C ) )
15841, 157sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( q ^ C
) )
15956adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  (
q ^ C ) 
||  ( # `  B
) )
16038, 73eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ C )  e.  ZZ )
161 dvdstr 14414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( q ^ C
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( q  ||  ( q ^ C
)  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
16241, 160, 57, 161syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  ||  (
q ^ C )  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
163162adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  (
( q  ||  (
q ^ C )  /\  ( q ^ C )  ||  ( # `
 B ) )  ->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
164158, 159, 163mp2and 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  ||  ( # `  B
) )
165 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( w  =  q  ->  (
w  ||  ( # `  B
)  <->  q  ||  ( # `
 B ) ) )
166165, 127elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( q  e.  D  <->  ( q  e.  Prime  /\  q  ||  ( # `  B ) ) )
167156, 164, 166sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  C  e.  NN )  ->  q  e.  D )
168167ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( C  e.  NN  ->  q  e.  D ) )
169168con3d 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  e.  D  ->  -.  C  e.  NN ) )
170169impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  -.  C  e.  NN )
17142adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  C  e.  NN0 )
172 elnn0 10895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( C  e.  NN0  <->  ( C  e.  NN  \/  C  =  0 ) )
173171, 172sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( C  e.  NN  \/  C  =  0
) )
174173ord 384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( -.  C  e.  NN  ->  C  = 
0 ) )
175170, 174mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  C  =  0 )
176175oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( q ^ C
)  =  ( q ^ 0 ) )
17776adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
q  e.  NN )
178177nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
q  e.  CC )
179178exp0d 12448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( q ^ 0 )  =  1 )
180155, 176, 1793eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  ( T `
 q ) )  =  1 )
181 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
182 hashsng 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0g `  G )  e.  _V  ->  ( # `
 { ( 0g
`  G ) } )  =  1 )
183181, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  1
184180, 183syl6reqr 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
185 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  { ( 0g `  G ) }  e.  Fin
186 hashen 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { ( 0g `  G ) }  e.  Fin  /\  ( T `  q )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  { ( 0g `  G ) } )  =  ( # `  ( T `  q )
)  <->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) ) )
187185, 150, 186sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( # `  {
( 0g `  G
) } )  =  ( # `  ( T `  q )
)  <->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) ) )
188184, 187mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) )
189 fisseneq 7801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  Fin  /\  { ( 0g `  G
) }  C_  ( T `  q )  /\  { ( 0g `  G ) }  ~~  ( T `  q ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  =  ( T `  q ) )
190150, 154, 188, 189syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  =  ( T `  q ) )
191112subg0cl 16903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
192136, 191syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
193192adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( 0g `  G
)  e.  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
194193snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  { ( 0g `  G ) }  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
195190, 194eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( T `  q
)  C_  ( G DProd  ( T  |`  D )
) )
196149, 195sylan2b 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( T `  q )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
197148, 196eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  q  e.  ( A  \  D ) )  ->  ( ( T  |`  ( A  \  D ) ) `  q )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
198139, 146, 136, 197dprdlub 17737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
199 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( LSSum `  G )  =  (
LSSum `  G )
200199lsmss2 17396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G DProd  ( T  |`  D ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )  ->  ( ( G DProd 
( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) ) )  =  ( G DProd 
( T  |`  D ) ) )
201136, 141, 198, 200syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) ) )  =  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) )
202 disjdif 3830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  i^i  ( A  \  D ) )  =  (/)
203202a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( D  i^i  ( A  \  D ) )  =  (/) )
204 undif2 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  u.  ( A  \  D ) )  =  ( D  u.  A
)
205 ssequn1 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( D 
C_  A  <->  ( D  u.  A )  =  A )
20697, 205sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( D  u.  A
)  =  A )
207204, 206syl5req 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  =  ( D  u.  ( A  \  D ) ) )
2084, 203, 207, 199, 2dprdsplit 17759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  T )  =  ( ( G DProd 
( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G
) ( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D ) ) ) ) )
2091simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( G DProd  T )  =  B )
210208, 209eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( T  |`  ( A  \  D
) ) ) )  =  B )
211201, 210eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B )
212134, 211jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B ) )
213212adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  ( G dom DProd  ( T  |`  D )  /\  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B ) )
2144, 97fssresd 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( T  |`  D ) : D --> (SubGrp `  G ) )
215214, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
216215adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
21797sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  q  e.  A )
218217, 42syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  C  e.  NN0 )
219218adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  Prime )  /\  q  e.  D )  ->  C  e.  NN0 )
220 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  e.  D  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
221220adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
222221fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
223217, 38syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ C
) )
224222, 223eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  ( q ^ C ) )
225224adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  Prime )  /\  q  e.  D )  ->  ( # `
 ( ( T  |`  D ) `  q
) )  =  ( q ^ C ) )
226 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  x  e.  Prime )
227 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin )
228 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  Prime  ->  w  e.  NN )
2292283ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  e.  NN )
230 prmz 14705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  e.  Prime  ->  w  e.  ZZ )
231 dvdsle 14427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN )  -> 
( w  ||  ( # `
 B )  ->  w  <_  ( # `  B
) ) )
232230, 50, 231syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime )  ->  ( w  ||  ( # `  B
)  ->  w  <_  (
# `  B )
) )
2332323impia 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  <_  ( # `
 B ) )
23450nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
2352343ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
236 fznn 11889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( w  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( w  e.  NN  /\  w  <_  ( # `  B
) ) ) )
237235, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( w  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( w  e.  NN  /\  w  <_  ( # `  B
) ) ) )
238229, 233, 237mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Prime  /\  w  ||  ( # `
 B ) )  ->  w  e.  ( 1 ... ( # `  B ) ) )
239238rabssdv 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  { w  e.  Prime  |  w  ||  ( # `  B ) }  C_  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
240127, 239syl5eqss 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
241 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin  /\  D  C_  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  D  e.  Fin )
242227, 240, 241syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
243242adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  D  e.  Fin )
2447, 8, 124, 125, 126, 130, 127, 132, 213, 216, 219, 225, 226, 243ablfac1eulem 17783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Prime )  ->  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) ) )
245244ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) ) )
246245adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) ) )
247 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  q  ->  x  =  q )
248 sneq 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  q  ->  { x }  =  { q } )
249248difeq2d 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  q  ->  ( D  \  { x }
)  =  ( D 
\  { q } ) )
250249reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  q  ->  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) )
251250oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  q  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) )  =  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )
252251fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  q  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) )  =  (
# `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )
253247, 252breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  q  ->  (
x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) )  <-> 
q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
254253notbid 301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  q  ->  ( -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
x } ) ) ) )  <->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
255254rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  Prime  ->  ( A. x  e.  Prime  -.  x  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { x }
) ) ) )  ->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
25639, 246, 255sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )
257 coprm 14736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  Prime  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  <-> 
( q  gcd  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
25839, 123, 257syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  ||  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  <->  ( q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
259256, 258mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )
260 rpexp1i 14752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  (
q  pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )  ->  ( ( q  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1  -> 
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
26141, 123, 52, 260syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  gcd  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  =  1  ->  ( (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 ) )
262259, 261mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )
263 coprmdvds2 14739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ )  /\  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  1 )  ->  ( ( ( q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  B )  /\  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) 
||  ( # `  B
) )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) ) )
26478, 123, 57, 262, 263syl31anc 1295 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  ||  ( # `  B )  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  ||  ( # `
 B ) )  ->  ( ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  x.  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) ) )
26594, 111, 264mp2and 693 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( # `  B ) )
266 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
267 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  i^i  { q } )  C_  D
268267a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( D  i^i  { q } )  C_  D )
269100, 104, 268dprdres 17739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  ( G DProd  ( T  |`  D ) ) ) )
270269simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )
271 dprdsubg 17735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G dom DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
272270, 271syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  (SubGrp `  G )
)
273 inass 3633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  i^i  { q } )  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  ( D  i^i  ( { q }  i^i  ( D  \  { q } ) ) )
274 disjdif 3830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { q }  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  (/)
275274ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  i^i  ( { q }  i^i  ( D 
\  { q } ) ) )  =  ( D  i^i  (/) )
276 in0 3763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  i^i  (/) )  =  (/)
277273, 275, 2763eqtri 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  i^i  { q } )  i^i  ( D  \  { q } ) )  =  (/)
278277a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( D  i^i  {
q } )  i^i  ( D  \  {
q } ) )  =  (/) )
279100, 104, 268, 105, 278, 112dprddisj2 17750 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  i^i  ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =  {
( 0g `  G
) } )
280100, 104, 268, 105, 278, 266dprdcntz2 17749 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  ( (Cntz `  G ) `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )
2817dprdssv 17727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  C_  B
282 ssfi 7810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) 
C_  B )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e.  Fin )
28322, 281, 282sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  e. 
Fin )
284199, 112, 266, 272, 109, 279, 280, 283, 119lsmhash 17433 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( (
# `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) ) )  x.  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) ) )
285 inundif 3836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D  \  { q } ) )  =  D
286285eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D  \  {
q } ) )
287286a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  D  =  ( ( D  i^i  { q } )  u.  ( D 
\  { q } ) ) )
288102, 278, 287, 199, 100dprdsplit 17759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  ( ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )
289211adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( T  |`  D ) )  =  B )
290288, 289eqtr3d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) ( LSSum `  G )
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  =  B )
291290fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) (
LSSum `  G ) ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( # `  B ) )
292 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  e.  D  ->  { q }  C_  D )
293292adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  { q }  C_  D )
294 dfss1 3628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { q }  C_  D  <->  ( D  i^i  { q } )  =  {
q } )
295293, 294sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( D  i^i  { q } )  =  { q } )
296295reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  { q } ) )
297296oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |` 
{ q } ) ) )
298100adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  G dom DProd  ( T  |`  D ) )
299215ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  dom  ( T  |`  D )  =  D )
300 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  q  e.  D )
301298, 299, 300dpjlem 17762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  { q } ) )  =  ( ( T  |`  D ) `  q
) )
302220adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  (
( T  |`  D ) `
 q )  =  ( T `  q
) )
303297, 301, 3023eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q
) )
304 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  ->  -.  q  e.  D
)
305 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  i^i  { q } )  =  (/)  <->  -.  q  e.  D )
306304, 305sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( D  i^i  {
q } )  =  (/) )
307306reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  =  ( ( T  |`  D )  |`  (/) ) )
308 res0 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  |`  D )  |`  (/) )  =  (/)
309307, 308syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) )  =  (/) )
310309oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( G DProd  (/) ) )
311112dprd0 17742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } ) )
31245, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( G dom DProd  (/)  /\  ( G DProd 
(/) )  =  {
( 0g `  G
) } ) )
313312simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
314313adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  (/) )  =  { ( 0g `  G ) } )
315310, 314, 1903eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  e.  D ) )  -> 
( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q ) )
316315anassrs 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  A )  /\  -.  q  e.  D )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) )  =  ( T `
 q ) )
317303, 316pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) )  =  ( T `  q
) )
318317fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  {
q } ) ) ) )  =  (
# `  ( T `  q ) ) )
319318oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( G DProd 
( ( T  |`  D )  |`  ( D  i^i  { q } ) ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  =  ( (
# `  ( T `  q ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
320284, 291, 3193eqtr3d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 B )  =  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) ) )
321265, 320breqtrd 4420 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) )  ||  ( (
# `  ( T `  q ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) ) ) )
322122nnne0d 10676 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =/=  0
)
323 dvdsmulcr 14409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  ( T `  q
) )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  { q } ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 ( G DProd  (
( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) )  =/=  0
) )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  <->  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )
32478, 73, 123, 322, 323syl112anc 1296 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  ||  ( ( # `  ( T `  q )
)  x.  ( # `  ( G DProd  ( ( T  |`  D )  |`  ( D  \  {
q } ) ) ) ) )  <->  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )
325321, 324mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q ^ ( q 
pCnt  ( # `  B
) ) )  ||  ( # `  ( T `
 q ) ) )
326 dvdseq 14429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( # `  ( T `  q )
)  e.  NN0  /\  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) )  e. 
NN0 )  /\  (
( # `  ( T `
 q ) ) 
||  ( q ^
( q  pCnt  ( # `
 B ) ) )  /\  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) )  ||  ( # `
 ( T `  q ) ) ) )  ->  ( # `  ( T `  q )
)  =  ( q ^ ( q  pCnt  (
# `  B )
) ) )
32772, 92, 65, 325, 326syl22anc 1293 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
3287, 8, 9, 10, 11, 12ablfac1a 17780 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( S `  q ) )  =  ( q ^ (
q  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
329327, 328eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( # `
 ( T `  q ) )  =  ( # `  ( S `  q )
) )
330 hashen 12568 . . . . 5  |-  ( ( ( T `  q
)  e.  Fin  /\  ( S `  q )  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( T `  q )
)  =  ( # `  ( S `  q
) )  <->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q )
) )
33133, 27, 330syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( # `  ( T `
 q ) )  =  ( # `  ( S `  q )
)  <->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q )
) )
332329, 331mpbid 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  ~~  ( S `  q
) )
333 fisseneq 7801 . . 3  |-  ( ( ( S `  q
)  e.  Fin  /\  ( T `  q ) 
C_  ( S `  q )  /\  ( T `  q )  ~~  ( S `  q
) )  ->  ( T `  q )  =  ( S `  q ) )
33427, 91, 332, 333syl3anc 1292 . 2  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( T `  q )  =  ( S `  q ) )
3356, 21, 334eqfnfvd 5994 1  |-  ( ph  ->  T  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ~~ cen 7584   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    <_ cle 9694   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   ^cexp 12310   #chash 12553    || cdvds 14382    gcd cgcd 14547   Primecprime 14701    pCnt cpc 14865   Basecbs 15199   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747  SubGrpcsubg 16889  Cntzccntz 17047   odcod 17243   LSSumclsm 17364   Abelcabl 17509   DProd cdprd 17703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-gim 17001  df-ga 17022  df-cntz 17049  df-oppg 17075  df-od 17250  df-lsm 17366  df-pj1 17367  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-dprd 17705
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