Theorem imaexg 6995

Description: The image of a set is a set. Theorem 3.17 of [Monk1] p. 39. (Contributed by NM, 24-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
imaexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem imaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imassrn 5396	. 2 ⊢ (𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴
2		rnexg 6990	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
3		ssexg 4732	. 2 ⊢ (((𝐴 “ 𝐵) ⊆ ran 𝐴 ∧ ran 𝐴 ∈ V) → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 694	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 “ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ran crn 5039   “ cima 5041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051

This theorem is referenced by:  imaex  6996  ecexg  7633  fopwdom  7953  gsumvalx  17093  gsum2dlem1  18192  gsum2dlem2  18193  gsum2d  18194  xkococnlem  21272  qtopval  21308  ustuqtop4  21858  utopsnnei  21863  fmucnd  21906  metustel  22165  metustss  22166  metustfbas  22172  metuel2  22180  psmetutop  22182  restmetu  22185  cnheiborlem  22561  itg2gt0  23333  shsval  27555  nlfnval  28124  ffsrn  28892  gsummpt2co  29111  gsummpt2d  29112  locfinreflem  29235  qqhval  29346  esum2d  29482  mbfmcnt  29657  sitgaddlemb  29737  eulerpartgbij  29761  eulerpartlemgs2  29769  orvcval  29846  coinfliprv  29871  ballotlemrval  29906  ballotlem7  29924  msrval  30689  mthmval  30726  dfrdg2  30945  brapply  31215  dfrdg4  31228  tailval  31538  bj-clex  32145  isbasisrelowl  32382  relowlpssretop  32388  ptrest  32578  lkrval  33393  isnacs3  36291  pw2f1ocnv  36622  pw2f1o2val  36624  lmhmlnmsplit  36675  intima0  36958  elintima  36964  brtrclfv2  37038  frege98  37275  frege110  37287  frege133  37310  binomcxplemnotnn0  37577  imaexi  38410  tgqioo2  38621  sge0f1o  39275  smfco  39687