Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Addition of infinite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumadd.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumadd.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumadd.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
isumadd.6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
isumadd.7 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
isumadd.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumadd (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
4 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (𝐺𝑚) = (𝐺𝑘))
53, 4oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
6 eqid 2610 . . . . 5 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))
7 ovex 6577 . . . . 5 ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6191 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
98adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
10 isumadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
11 isumadd.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
1210, 11oveq12d 6567 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)) = (𝐴 + 𝐵))
139, 12eqtrd 2644 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = (𝐴 + 𝐵))
14 isumadd.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 isumadd.6 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
1614, 15addcld 9938 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
17 isumadd.7 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
181, 2, 10, 14, 17isumclim2 14331 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
19 seqex 12665 . . . 4 seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ∈ V
2019a1i 11 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ∈ V)
21 isumadd.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
221, 2, 11, 15, 21isumclim2 14331 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐵)
2310, 14eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
241, 2, 23serf 12691 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
2524ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
2611, 15eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
271, 2, 26serf 12691 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺):𝑍⟶ℂ)
2827ffvelrnda 6267 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
29 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
3029, 1syl6eleq 2698 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
31 simpll 786 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
32 elfzuz 12209 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3332, 1syl6eleqr 2699 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3433adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘𝑍)
3531, 34, 23syl2anc 691 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3631, 34, 26syl2anc 691 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3734, 8syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))‘𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
3830, 35, 36, 37seradd 12705 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚))))‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑗)))
391, 2, 18, 20, 22, 25, 28, 38climadd 14210 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚) + (𝐺𝑚)))) ⇝ (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
401, 2, 13, 16, 39isumclim 14330 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 + Σ𝑘𝑍 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  sumsplit  14341  binomcxplemnotnn0  37577
 Copyright terms: Public domain W3C validator