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Theorem lcmgcdlem 15157
Description: Lemma for lcmgcd 15158 and lcmdvds 15159. Prove them for positive 𝑀, 𝑁, and 𝐾. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmgcdlem ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))

Proof of Theorem lcmgcdlem
Dummy variables 𝑥 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnmulcl 10920 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
21nnred 10912 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
3 nnz 11276 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
54zred 11358 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
6 nnz 11276 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
87zred 11358 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
9 0red 9920 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
10 nnre 10904 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
11 nngt0 10926 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
129, 10, 11ltled 10064 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑀)
14 0red 9920 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15 nnre 10904 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
16 nngt0 10926 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
1714, 15, 16ltled 10064 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
1817adantl 481 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
195, 8, 13, 18mulge0d 10483 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
202, 19absidd 14009 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
213, 6anim12i 588 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22 nnne0 10930 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
2322neneqd 2787 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 = 0)
24 nnne0 10930 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2524neneqd 2787 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
2623, 25anim12i 588 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
27 ioran 510 . . . . . . 7 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
2826, 27sylibr 223 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
29 lcmn0val 15146 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)}, ℝ, < ))
3021, 28, 29syl2anc 691 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)}, ℝ, < ))
31 ltso 9997 . . . . . . 7 < Or ℝ
3231a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → < Or ℝ)
33 gcddvds 15063 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
3433simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
35 gcdcl 15066 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
3635nn0zd 11356 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
37 dvdsmultr1 14857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
38373expb 1258 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
3936, 38mpancom 700 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
4034, 39mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
4121, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
42 gcdnncl 15067 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
43 nndivdvds 14827 . . . . . . . . 9 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
441, 42, 43syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
4541, 44mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
4645nnred 10912 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℝ)
4733simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
4821, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
4921, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
5042nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0)
51 dvdsval2 14824 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
5249, 50, 7, 51syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
5348, 52mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
54 dvdsmul1 14841 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
554, 53, 54syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
56 nncn 10905 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
58 nncn 10905 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
5958adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
6042nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
6157, 59, 60, 50divassd 10715 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
6255, 61breqtrrd 4611 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
6321, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
64 dvdsval2 14824 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
6549, 50, 4, 64syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
6663, 65mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
67 dvdsmul1 14841 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
687, 66, 67syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
6957, 59mulcomd 9940 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
7069oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑁 · 𝑀) / (𝑀 gcd 𝑁)))
7159, 57, 60, 50divassd 10715 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
7270, 71eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
7368, 72breqtrrd 4611 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
7462, 73jca 553 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))
75 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑀𝑥𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))
76 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑁𝑥𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))
7775, 76anbi12d 743 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → ((𝑀𝑥𝑁𝑥) ↔ (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))))
7877elrab 3331 . . . . . . 7 (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)} ↔ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))))
7945, 74, 78sylanbrc 695 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)})
8046adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)}) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℝ)
81 elrabi 3328 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)} → 𝑛 ∈ ℕ)
8281nnred 10912 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)} → 𝑛 ∈ ℝ)
8382adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)}) → 𝑛 ∈ ℝ)
84 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → (𝑀𝑥𝑀𝑛))
85 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → (𝑁𝑥𝑁𝑛))
8684, 85anbi12d 743 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑀𝑥𝑁𝑥) ↔ (𝑀𝑛𝑁𝑛)))
8786elrab 3331 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)} ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛)))
88 bezout 15098 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
8921, 88syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
91 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
9291ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
931nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
9493ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
9560ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
9657ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
9758ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
9822ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ≠ 0)
9924ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ≠ 0)
10096, 97, 98, 99mulne0d 10558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
10150ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0)
10292, 94, 95, 100, 101divdiv2d 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)))
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)))
104 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))))
105104oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)))
106 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
107106ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10896, 107mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑥) ∈ ℂ)
109 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
110109ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
11197, 110mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑦) ∈ ℂ)
11292, 108, 111adddid 9943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) = ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))))
113112oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)))
11492, 108mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) ∈ ℂ)
11592, 111mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) ∈ ℂ)
116114, 115, 94, 100divdird 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))))
117113, 116eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))))
118105, 117sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))))
11992, 96, 107mul12d 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) = (𝑀 · (𝑛 · 𝑥)))
120119oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑀 · (𝑛 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)))
12192, 107mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℂ)
122121, 97, 96, 99, 98divcan5d 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · (𝑛 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁))
123120, 122eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁))
12492, 97, 110mul12d 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) = (𝑁 · (𝑛 · 𝑦)))
125124oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)))
12669ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
127126oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑁 · 𝑀)))
12892, 110mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℂ)
129128, 96, 97, 98, 99divcan5d 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))
130125, 127, 1293eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))
131123, 130oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
133103, 118, 1323eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
134133ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))))
135134adantlrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))))
136135imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
1376ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
138 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
139138ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
140 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
141 dvdsmultr1 14857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁𝑛𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥)))
142137, 139, 140, 141syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑛𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥)))
143139, 140zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℤ)
144 dvdsval2 14824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥) ↔ ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
145137, 99, 143, 144syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥) ↔ ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
146142, 145sylibd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑛 → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
147146adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
1481473impia 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛)) → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ)
1493ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
150 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
151 dvdsmultr1 14857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦)))
152149, 139, 150, 151syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑛𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦)))
153139, 150zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℤ)
154 dvdsval2 14824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝑛 · 𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦) ↔ ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
155149, 98, 153, 154syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦) ↔ ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
156152, 155sylibd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑛 → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
157156adantrd 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
1581573impia 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛)) → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ)
159148, 158zaddcld 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛)) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
1601593expia 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ))
161160an32s 842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ))
162161impr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
163162an32s 842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
164163adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
165136, 164eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
16645nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
167166ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
1681nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
16993, 60, 168, 50divne0d 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0)
170169ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0)
171139adantlrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
172 dvdsval2 14824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ))
173167, 170, 171, 172syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ))
174173adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ))
175165, 174mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
176175ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
177176anassrs 678 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
178177reximdva 3000 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
179178reximdva 3000 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
18090, 179mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
181 1z 11284 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
182 ne0i 3880 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℤ → ℤ ≠ ∅)
183 r19.9rzv 4017 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ ≠ ∅ → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
184181, 182, 183mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
185 r19.9rzv 4017 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ ≠ ∅ → (∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
186181, 182, 185mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
187184, 186bitri 263 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
188180, 187sylibr 223 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
189166adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
190 simprl 790 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
191 dvdsle 14870 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛))
192189, 190, 191syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛))
193188, 192mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛)
19487, 193sylan2b 491 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)}) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛)
19580, 83, 194lensymd 10067 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)}) → ¬ 𝑛 < ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
19632, 46, 79, 195infmin 8283 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀𝑥𝑁𝑥)}, ℝ, < ) = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
19730, 196eqtr2d 2645 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
198197, 45eqeltrrd 2689 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ)
199198nncnd 10913 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ)
20093, 199, 60, 50divmul3d 10714 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝑁) = ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁))))
201197, 200mpbid 221 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)))
20220, 201eqtr2d 2645 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
203 simprl 790 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾))) → 𝐾 ∈ ℕ)
204 eleq1 2676 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ ℕ))
205 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾 → (𝑀𝑛𝑀𝐾))
206 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐾 → (𝑁𝑛𝑁𝐾))
207205, 206anbi12d 743 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀𝑛𝑁𝑛) ↔ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
208204, 207anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐾 → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾))))
209208anbi2d 736 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))))
210 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
211209, 210imbi12d 333 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 → ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛) ↔ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
212197breq1d 4593 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
213212adantr 480 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
214188, 213mpbid 221 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝑛𝑁𝑛))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛)
215211, 214vtoclg 3239 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
216203, 215mpcom 37 . . 3 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)
217216ex 449 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
218202, 217jca 553 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀𝐾𝑁𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  {crab 2900  c0 3874   class class class wbr 4583   Or wor 4958  cfv 5804  (class class class)co 6549  infcinf 8230  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954   / cdiv 10563  cn 10897  cz 11254  abscabs 13822  cdvds 14821   gcd cgcd 15054   lcm clcm 15139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-lcm 15141
This theorem is referenced by:  lcmgcd  15158  lcmdvds  15159
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