Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nnmulcl 10920 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ) |
2 | 1 | nnred 10912 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ) |
3 | | nnz 11276 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈
ℤ) |
4 | 3 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈
ℤ) |
5 | 4 | zred 11358 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈
ℝ) |
6 | | nnz 11276 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℤ) |
7 | 6 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈
ℤ) |
8 | 7 | zred 11358 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈
ℝ) |
9 | | 0red 9920 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈
ℝ) |
10 | | nnre 10904 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈
ℝ) |
11 | | nngt0 10926 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 <
𝑀) |
12 | 9, 10, 11 | ltled 10064 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤
𝑀) |
13 | 12 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤
𝑀) |
14 | | 0red 9920 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈
ℝ) |
15 | | nnre 10904 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℝ) |
16 | | nngt0 10926 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 <
𝑁) |
17 | 14, 15, 16 | ltled 10064 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤
𝑁) |
18 | 17 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤
𝑁) |
19 | 5, 8, 13, 18 | mulge0d 10483 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤
(𝑀 · 𝑁)) |
20 | 2, 19 | absidd 14009 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
(abs‘(𝑀 ·
𝑁)) = (𝑀 · 𝑁)) |
21 | 3, 6 | anim12i 588 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈
ℤ)) |
22 | | nnne0 10930 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0) |
23 | 22 | neneqd 2787 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬
𝑀 = 0) |
24 | | nnne0 10930 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0) |
25 | 24 | neneqd 2787 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬
𝑁 = 0) |
26 | 23, 25 | anim12i 588 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬
𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0)) |
27 | | ioran 510 |
. . . . . . 7
⊢ (¬
(𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0)) |
28 | 26, 27 | sylibr 223 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬
(𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) |
29 | | lcmn0val 15146 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬
(𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )) |
30 | 21, 28, 29 | syl2anc 691 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}, ℝ, < )) |
31 | | ltso 9997 |
. . . . . . 7
⊢ < Or
ℝ |
32 | 31 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → < Or
ℝ) |
33 | | gcddvds 15063 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)) |
34 | 33 | simpld 474 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀) |
35 | | gcdcl 15066 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈
ℕ0) |
36 | 35 | nn0zd 11356 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) |
37 | | dvdsmultr1 14857 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))) |
38 | 37 | 3expb 1258 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))) |
39 | 36, 38 | mpancom 700 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))) |
40 | 34, 39 | mpd 15 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) |
41 | 21, 40 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)) |
42 | | gcdnncl 15067 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ) |
43 | | nndivdvds 14827 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)) |
44 | 1, 42, 43 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)) |
45 | 41, 44 | mpbid 221 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ) |
46 | 45 | nnred 10912 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℝ) |
47 | 33 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) |
48 | 21, 47 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) |
49 | 21, 36 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ) |
50 | 42 | nnne0d 10942 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0) |
51 | | dvdsval2 14824 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)) |
52 | 49, 50, 7, 51 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)) |
53 | 48, 52 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
54 | | dvdsmul1 14841 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)))) |
55 | 4, 53, 54 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)))) |
56 | | nncn 10905 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈
ℂ) |
57 | 56 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈
ℂ) |
58 | | nncn 10905 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℂ) |
59 | 58 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈
ℂ) |
60 | 42 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ) |
61 | 57, 59, 60, 50 | divassd 10715 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)))) |
62 | 55, 61 | breqtrrd 4611 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) |
63 | 21, 34 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀) |
64 | | dvdsval2 14824 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)) |
65 | 49, 50, 4, 64 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)) |
66 | 63, 65 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
67 | | dvdsmul1 14841 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))) |
68 | 7, 66, 67 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))) |
69 | 57, 59 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀)) |
70 | 69 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑁 · 𝑀) / (𝑀 gcd 𝑁))) |
71 | 59, 57, 60, 50 | divassd 10715 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))) |
72 | 70, 71 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)))) |
73 | 68, 72 | breqtrrd 4611 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) |
74 | 62, 73 | jca 553 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))) |
75 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))) |
76 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))) |
77 | 75, 76 | anbi12d 743 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → ((𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥) ↔ (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))) |
78 | 77 | elrab 3331 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} ↔ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))) |
79 | 45, 74, 78 | sylanbrc 695 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) |
80 | 46 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℝ) |
81 | | elrabi 3328 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} → 𝑛 ∈ ℕ) |
82 | 81 | nnred 10912 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} → 𝑛 ∈ ℝ) |
83 | 82 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → 𝑛 ∈ ℝ) |
84 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ 𝑛)) |
85 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑛)) |
86 | 84, 85 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥) ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) |
87 | 86 | elrab 3331 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) |
88 | | bezout 15098 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) →
∃𝑥 ∈ ℤ
∃𝑦 ∈ ℤ
(𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) |
89 | 21, 88 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
∃𝑥 ∈ ℤ
∃𝑦 ∈ ℤ
(𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) |
90 | 89 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) |
91 | | nncn 10905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℂ) |
92 | 91 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈
ℂ) |
93 | 1 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ) |
94 | 93 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ) |
95 | 60 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ) |
96 | 57 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈
ℂ) |
97 | 58 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈
ℂ) |
98 | 22 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ≠ 0) |
99 | 24 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ≠ 0) |
100 | 96, 97, 98, 99 | mulne0d 10558 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) |
101 | 50 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0) |
102 | 92, 94, 95, 100, 101 | divdiv2d 10712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁))) |
103 | 102 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑀 ∈
ℕ ∧ 𝑁 ∈
ℕ) ∧ 𝑛 ∈
ℕ) ∧ (𝑥 ∈
ℤ ∧ 𝑦 ∈
ℤ)) ∧ (𝑀 gcd
𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁))) |
104 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))) |
105 | 104 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁))) |
106 | | zcn 11259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈
ℂ) |
107 | 106 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈
ℂ) |
108 | 96, 107 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑥) ∈ ℂ) |
109 | | zcn 11259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈
ℂ) |
110 | 109 | ad2antll 761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈
ℂ) |
111 | 97, 110 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑦) ∈ ℂ) |
112 | 92, 108, 111 | adddid 9943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) = ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦)))) |
113 | 112 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁))) |
114 | 92, 108 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) ∈ ℂ) |
115 | 92, 111 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) ∈ ℂ) |
116 | 114, 115,
94, 100 | divdird 10718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) →
(((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)))) |
117 | 113, 116 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)))) |
118 | 105, 117 | sylan9eqr 2666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑀 ∈
ℕ ∧ 𝑁 ∈
ℕ) ∧ 𝑛 ∈
ℕ) ∧ (𝑥 ∈
ℤ ∧ 𝑦 ∈
ℤ)) ∧ (𝑀 gcd
𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)))) |
119 | 92, 96, 107 | mul12d 10124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) = (𝑀 · (𝑛 · 𝑥))) |
120 | 119 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑀 · (𝑛 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁))) |
121 | 92, 107 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℂ) |
122 | 121, 97, 96, 99, 98 | divcan5d 10706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · (𝑛 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁)) |
123 | 120, 122 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁)) |
124 | 92, 97, 110 | mul12d 10124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) = (𝑁 · (𝑛 · 𝑦))) |
125 | 124 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))) |
126 | 69 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀)) |
127 | 126 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑁 · 𝑀))) |
128 | 92, 110 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℂ) |
129 | 128, 96, 97, 98, 99 | divcan5d 10706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) |
130 | 125, 127,
129 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) |
131 | 123, 130 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) →
(((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))) |
132 | 131 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑀 ∈
ℕ ∧ 𝑁 ∈
ℕ) ∧ 𝑛 ∈
ℕ) ∧ (𝑥 ∈
ℤ ∧ 𝑦 ∈
ℤ)) ∧ (𝑀 gcd
𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))) |
133 | 103, 118,
132 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝑀 ∈
ℕ ∧ 𝑁 ∈
ℕ) ∧ 𝑛 ∈
ℕ) ∧ (𝑥 ∈
ℤ ∧ 𝑦 ∈
ℤ)) ∧ (𝑀 gcd
𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))) |
134 | 133 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))) |
135 | 134 | adantlrr 753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))) |
136 | 135 | imp 444 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝑀 ∈
ℕ ∧ 𝑁 ∈
ℕ) ∧ (𝑛 ∈
ℕ ∧ (𝑀 ∥
𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))) |
137 | 6 | ad3antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈
ℤ) |
138 | | nnz 11276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℤ) |
139 | 138 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈
ℤ) |
140 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈
ℤ) |
141 | | dvdsmultr1 14857 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥))) |
142 | 137, 139,
140, 141 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥))) |
143 | 139, 140 | zmulcld 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℤ) |
144 | | dvdsval2 14824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥) ↔ ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ)) |
145 | 137, 99, 143, 144 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥) ↔ ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ)) |
146 | 142, 145 | sylibd 228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑛 → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ)) |
147 | 146 | adantld 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ)) |
148 | 147 | 3impia 1253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ) |
149 | 3 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈
ℤ) |
150 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈
ℤ) |
151 | | dvdsmultr1 14857 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑛 → 𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦))) |
152 | 149, 139,
150, 151 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑛 → 𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦))) |
153 | 139, 150 | zmulcld 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℤ) |
154 | | dvdsval2 14824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝑛 · 𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦) ↔ ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ)) |
155 | 149, 98, 153, 154 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦) ↔ ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ)) |
156 | 152, 155 | sylibd 228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑛 → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ)) |
157 | 156 | adantrd 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ)) |
158 | 157 | 3impia 1253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ) |
159 | 148, 158 | zaddcld 11362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ) |
160 | 159 | 3expia 1259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)) |
161 | 160 | an32s 842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)) |
162 | 161 | impr 647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ) |
163 | 162 | an32s 842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ) |
164 | 163 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝑀 ∈
ℕ ∧ 𝑁 ∈
ℕ) ∧ (𝑛 ∈
ℕ ∧ (𝑀 ∥
𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ) |
165 | 136, 164 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑀 ∈
ℕ ∧ 𝑁 ∈
ℕ) ∧ (𝑛 ∈
ℕ ∧ (𝑀 ∥
𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ) |
166 | 45 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
167 | 166 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
168 | 1 | nnne0d 10942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) |
169 | 93, 60, 168, 50 | divne0d 10696 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0) |
170 | 169 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0) |
171 | 139 | adantlrr 753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ) |
172 | | dvdsval2 14824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)) |
173 | 167, 170,
171, 172 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)) |
174 | 173 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑀 ∈
ℕ ∧ 𝑁 ∈
ℕ) ∧ (𝑛 ∈
ℕ ∧ (𝑀 ∥
𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)) |
175 | 165, 174 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝑀 ∈
ℕ ∧ 𝑁 ∈
ℕ) ∧ (𝑛 ∈
ℕ ∧ (𝑀 ∥
𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛) |
176 | 175 | ex 449 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)) |
177 | 176 | anassrs 678 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝑀 ∈
ℕ ∧ 𝑁 ∈
ℕ) ∧ (𝑛 ∈
ℕ ∧ (𝑀 ∥
𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)) |
178 | 177 | reximdva 3000 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)) |
179 | 178 | reximdva 3000 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)) |
180 | 90, 179 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛) |
181 | | 1z 11284 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 1 ∈
ℤ |
182 | | ne0i 3880 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (1 ∈
ℤ → ℤ ≠ ∅) |
183 | | r19.9rzv 4017 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℤ
≠ ∅ → (((𝑀
· 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)) |
184 | 181, 182,
183 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛) |
185 | | r19.9rzv 4017 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℤ
≠ ∅ → (∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)) |
186 | 181, 182,
185 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑦 ∈
ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛) |
187 | 184, 186 | bitri 263 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛) |
188 | 180, 187 | sylibr 223 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛) |
189 | 166 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) |
190 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ) |
191 | | dvdsle 14870 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛)) |
192 | 189, 190,
191 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛)) |
193 | 188, 192 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛) |
194 | 87, 193 | sylan2b 491 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛) |
195 | 80, 83, 194 | lensymd 10067 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → ¬ 𝑛 < ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) |
196 | 32, 46, 79, 195 | infmin 8283 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) →
inf({𝑥 ∈ ℕ
∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ) = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) |
197 | 30, 196 | eqtr2d 2645 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)) |
198 | 197, 45 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ) |
199 | 198 | nncnd 10913 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ) |
200 | 93, 199, 60, 50 | divmul3d 10714 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝑁) = ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)))) |
201 | 197, 200 | mpbid 221 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁))) |
202 | 20, 201 | eqtr2d 2645 |
. 2
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁))) |
203 | | simprl 790 |
. . . 4
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℕ) |
204 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ ℕ)) |
205 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝐾)) |
206 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑁 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾)) |
207 | 205, 206 | anbi12d 743 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) ↔ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) |
208 | 204, 207 | anbi12d 743 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))) |
209 | 208 | anbi2d 736 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 = 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))))) |
210 | | breq2 4587 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)) |
211 | 209, 210 | imbi12d 333 |
. . . . 5
⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛) ↔ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))) |
212 | 197 | breq1d 4593 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛)) |
213 | 212 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛)) |
214 | 188, 213 | mpbid 221 |
. . . . 5
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛) |
215 | 211, 214 | vtoclg 3239 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)) |
216 | 203, 215 | mpcom 37 |
. . 3
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) |
217 | 216 | ex 449 |
. 2
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)) |
218 | 202, 217 | jca 553 |
1
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))) |