Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmabs 15156
 Description: The lcm of two integers is the same as that of their absolute values. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmabs ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))

Proof of Theorem lcmabs
StepHypRef Expression
1 zre 11258 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 zre 11258 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 absor 13888 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ → ((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀))
4 absor 13888 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
53, 4anim12i 588 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)))
61, 2, 5syl2an 493 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)))
7 oveq12 6558 . . . 4 (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
87a1i 11 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
9 oveq12 6558 . . . . 5 (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (-𝑀 lcm 𝑁))
10 neglcm 15155 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))
119, 10sylan9eqr 2666 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
1211ex 449 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = 𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
13 oveq12 6558 . . . . 5 (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm -𝑁))
14 lcmneg 15154 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm -𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))
1513, 14sylan9eqr 2666 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
1615ex 449 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = 𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
17 oveq12 6558 . . . . 5 (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (-𝑀 lcm -𝑁))
18 znegcl 11289 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
19 lcmneg 15154 . . . . . . 7 ((-𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm -𝑁) = (-𝑀 lcm 𝑁))
2018, 19sylan 487 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm -𝑁) = (-𝑀 lcm 𝑁))
2120, 10eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-𝑀 lcm -𝑁) = (𝑀 lcm 𝑁))
2217, 21sylan9eqr 2666 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
2322ex 449 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) = -𝑀 ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
248, 12, 16, 23ccased 985 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) = 𝑀 ∨ (abs‘𝑀) = -𝑀) ∧ ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁)))
256, 24mpd 15 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  -cneg 10146  ℤcz 11254  abscabs 13822   lcm clcm 15139 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-lcm 15141 This theorem is referenced by:  lcmgcd  15158  lcmdvds  15159  lcmgcdeq  15163
 Copyright terms: Public domain W3C validator