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Theorem lcmgcdlem 14650
 Description: Lemma for lcmgcd 14651 and lcmdvds 14652. Prove them for positive , , and . (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmgcdlem lcm lcm

Proof of Theorem lcmgcdlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnmulcl 10654 . . . . 5
21nnred 10646 . . . 4
3 nnz 10983 . . . . . . 7
43adantr 472 . . . . . 6
54zred 11063 . . . . 5
6 nnz 10983 . . . . . . 7
76adantl 473 . . . . . 6
87zred 11063 . . . . 5
9 0red 9662 . . . . . . 7
10 nnre 10638 . . . . . . 7
11 nngt0 10660 . . . . . . 7
129, 10, 11ltled 9800 . . . . . 6
1312adantr 472 . . . . 5
14 0red 9662 . . . . . . 7
15 nnre 10638 . . . . . . 7
16 nngt0 10660 . . . . . . 7
1714, 15, 16ltled 9800 . . . . . 6
1817adantl 473 . . . . 5
195, 8, 13, 18mulge0d 10211 . . . 4
202, 19absidd 13561 . . 3
213, 6anim12i 576 . . . . . 6
22 nnne0 10664 . . . . . . . . 9
2322neneqd 2648 . . . . . . . 8
24 nnne0 10664 . . . . . . . . 9
2524neneqd 2648 . . . . . . . 8
2623, 25anim12i 576 . . . . . . 7
27 ioran 498 . . . . . . 7
2826, 27sylibr 217 . . . . . 6
29 lcmn0val 14638 . . . . . 6 lcm inf
3021, 28, 29syl2anc 673 . . . . 5 lcm inf
31 ltso 9732 . . . . . . 7
3231a1i 11 . . . . . 6
33 gcddvds 14556 . . . . . . . . . . 11
3433simpld 466 . . . . . . . . . 10
35 gcdcl 14559 . . . . . . . . . . . 12
3635nn0zd 11061 . . . . . . . . . . 11
37 dvdsmultr1 14415 . . . . . . . . . . . 12
38373expb 1232 . . . . . . . . . . 11
3936, 38mpancom 682 . . . . . . . . . 10
4034, 39mpd 15 . . . . . . . . 9
4121, 40syl 17 . . . . . . . 8
42 gcdnncl 14560 . . . . . . . . 9
43 nndivdvds 14388 . . . . . . . . 9
441, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . 8
4541, 44mpbid 215 . . . . . . 7
4645nnred 10646 . . . . . 6
4733simprd 470 . . . . . . . . . . . 12
4821, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11
4921, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5042nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12
51 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . 12
5249, 50, 7, 51syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
5348, 52mpbid 215 . . . . . . . . . 10
54 dvdsmul1 14401 . . . . . . . . . 10
554, 53, 54syl2anc 673 . . . . . . . . 9
56 nncn 10639 . . . . . . . . . . 11
5756adantr 472 . . . . . . . . . 10
58 nncn 10639 . . . . . . . . . . 11
5958adantl 473 . . . . . . . . . 10
6042nncnd 10647 . . . . . . . . . 10
6157, 59, 60, 50divassd 10440 . . . . . . . . 9
6255, 61breqtrrd 4422 . . . . . . . 8
6321, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11
64 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . 12
6549, 50, 4, 64syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
6663, 65mpbid 215 . . . . . . . . . 10
67 dvdsmul1 14401 . . . . . . . . . 10
687, 66, 67syl2anc 673 . . . . . . . . 9
6957, 59mulcomd 9682 . . . . . . . . . . 11
7069oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
7159, 57, 60, 50divassd 10440 . . . . . . . . . 10
7270, 71eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
7368, 72breqtrrd 4422 . . . . . . . 8
7462, 73jca 541 . . . . . . 7
75 breq2 4399 . . . . . . . . 9
76 breq2 4399 . . . . . . . . 9
7775, 76anbi12d 725 . . . . . . . 8
7877elrab 3184 . . . . . . 7
7945, 74, 78sylanbrc 677 . . . . . 6
8046adantr 472 . . . . . . 7
81 elrabi 3181 . . . . . . . . 9
8281nnred 10646 . . . . . . . 8
8382adantl 473 . . . . . . 7
84 breq2 4399 . . . . . . . . . 10
85 breq2 4399 . . . . . . . . . 10
8684, 85anbi12d 725 . . . . . . . . 9
8786elrab 3184 . . . . . . . 8
88 bezout 14589 . . . . . . . . . . . . 13
8921, 88syl 17 . . . . . . . . . . . 12
9089adantr 472 . . . . . . . . . . 11
91 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9291ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
931nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9493ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9560ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9657ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9758ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9822ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9924ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10096, 97, 98, 99mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10150ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10292, 94, 95, 100, 101divdiv2d 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
105104oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
106 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
107106ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10896, 107mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
109 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
110109ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11197, 110mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11292, 108, 111adddid 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
113112oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11492, 108mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11592, 111mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
116114, 115, 94, 100divdird 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
117113, 116eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
118105, 117sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11992, 96, 107mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
120119oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12192, 107mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
122121, 97, 96, 99, 98divcan5d 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
123120, 122eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12492, 97, 110mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
125124oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12669ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
127126oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
12892, 110mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
129128, 96, 97, 98, 99divcan5d 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
130125, 127, 1293eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
131123, 130oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
132131adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133103, 118, 1323eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134133ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135134adantlrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136135imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1376ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
138 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
139138ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
140 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
141 dvdsmultr1 14415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
142137, 139, 140, 141syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
143139, 140zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
144 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
145137, 99, 143, 144syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
146142, 145sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
147146adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1481473impia 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1493ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
150 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
151 dvdsmultr1 14415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
152149, 139, 150, 151syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
153139, 150zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
154 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
155149, 98, 153, 154syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
156152, 155sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
157156adantrd 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1581573impia 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
159148, 158zaddcld 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1601593expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
161160an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
162161impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
163162an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
164163adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165136, 164eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16645nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
167166ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1681nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16993, 60, 168, 50divne0d 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
170169ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
171139adantlrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
172 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
173167, 170, 171, 172syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174173adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175165, 174mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15
176175ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14
177176anassrs 660 . . . . . . . . . . . . 13
178177reximdva 2858 . . . . . . . . . . . 12
179178reximdva 2858 . . . . . . . . . . 11
18090, 179mpd 15 . . . . . . . . . 10
181 1z 10991 . . . . . . . . . . . 12
182 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . 12
183 r19.9rzv 3854 . . . . . . . . . . . 12
184181, 182, 183mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
185 r19.9rzv 3854 . . . . . . . . . . . 12
186181, 182, 185mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
187184, 186bitri 257 . . . . . . . . . 10
188180, 187sylibr 217 . . . . . . . . 9
189166adantr 472 . . . . . . . . . 10
190 simprl 772 . . . . . . . . . 10
191 dvdsle 14427 . . . . . . . . . 10
192189, 190, 191syl2anc 673 . . . . . . . . 9
193188, 192mpd 15 . . . . . . . 8
19487, 193sylan2b 483 . . . . . . 7
19580, 83, 194lensymd 9803 . . . . . 6
19632, 46, 79, 195infmin 8028 . . . . 5 inf
19730, 196eqtr2d 2506 . . . 4 lcm
198197, 45eqeltrrd 2550 . . . . . 6 lcm
199198nncnd 10647 . . . . 5 lcm
20093, 199, 60, 50divmul3d 10439 . . . 4 lcm lcm
201197, 200mpbid 215 . . 3 lcm
20220, 201eqtr2d 2506 . 2 lcm
203 simprl 772 . . . 4
204 eleq1 2537 . . . . . . . 8
205 breq2 4399 . . . . . . . . 9
206 breq2 4399 . . . . . . . . 9
207205, 206anbi12d 725 . . . . . . . 8
208204, 207anbi12d 725 . . . . . . 7
209208anbi2d 718 . . . . . 6
210 breq2 4399 . . . . . 6 lcm lcm
211209, 210imbi12d 327 . . . . 5 lcm lcm
212197breq1d 4405 . . . . . . 7 lcm
213212adantr 472 . . . . . 6 lcm
214188, 213mpbid 215 . . . . 5 lcm
215211, 214vtoclg 3093 . . . 4 lcm
216203, 215mpcom 36 . . 3 lcm
217216ex 441 . 2 lcm
218202, 217jca 541 1 lcm lcm
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  crab 2760  c0 3722   class class class wbr 4395   wor 4759  cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  cn 10631  cz 10961  cabs 13374   cdvds 14382   cgcd 14547   lcm clcm 14626 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-lcm 14630 This theorem is referenced by:  lcmgcd  14651  lcmdvds  14652
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