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Theorem lcmgcdlem 14650
Description: Lemma for lcmgcd 14651 and lcmdvds 14652. Prove them for positive  M,  N, and  K. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmgcdlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M lcm 
N )  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( abs `  ( M  x.  N )
)  /\  ( ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) )  -> 
( M lcm  N ) 
||  K ) ) )

Proof of Theorem lcmgcdlem
Dummy variables  x  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnmulcl 10654 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  e.  NN )
21nnred 10646 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  e.  RR )
3 nnz 10983 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
54zred 11063 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
6 nnz 10983 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
87zred 11063 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
9 0red 9662 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  0  e.  RR )
10 nnre 10638 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
11 nngt0 10660 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <  M )
129, 10, 11ltled 9800 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  0  <_  M )
1312adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  M )
14 0red 9662 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
15 nnre 10638 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
16 nngt0 10660 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1714, 15, 16ltled 9800 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
1817adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  N )
195, 8, 13, 18mulge0d 10211 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( M  x.  N ) )
202, 19absidd 13561 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( abs `  ( M  x.  N )
)  =  ( M  x.  N ) )
213, 6anim12i 576 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
22 nnne0 10664 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  =/=  0 )
2322neneqd 2648 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  -.  M  =  0 )
24 nnne0 10664 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2524neneqd 2648 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
2623, 25anim12i 576 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( -.  M  =  0  /\  -.  N  =  0 ) )
27 ioran 498 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  /\  -.  N  =  0 ) )
2826, 27sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )
29 lcmn0val 14638 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( M  =  0  \/  N  =  0 ) )  ->  ( M lcm  N
)  = inf ( { x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } ,  RR ,  <  ) )
3021, 28, 29syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M lcm  N )  = inf ( { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) } ,  RR ,  <  ) )
31 ltso 9732 . . . . . . 7  |-  <  Or  RR
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  <  Or  RR )
33 gcddvds 14556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
3433simpld 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  M )
35 gcdcl 14559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
3635nn0zd 11061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  ZZ )
37 dvdsmultr1 14415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  M  ->  ( M  gcd  N ) 
||  ( M  x.  N ) ) )
38373expb 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  ->  ( M  gcd  N )  ||  ( M  x.  N ) ) )
3936, 38mpancom 682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  -> 
( M  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) ) )
4034, 39mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) )
4121, 40syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  ( M  x.  N ) )
42 gcdnncl 14560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN )
43 nndivdvds 14388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  x.  N
)  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  e.  NN )  -> 
( ( M  gcd  N )  ||  ( M  x.  N )  <->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN ) )
441, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  ( M  x.  N )  <->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN ) )
4541, 44mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN )
4645nnred 10646 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  RR )
4733simprd 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  N )
4821, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  N )
4921, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  ZZ )
5042nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  =/=  0 )
51 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5249, 50, 7, 51syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  N  <->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
5348, 52mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
54 dvdsmul1 14401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  M  ||  ( M  x.  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
554, 53, 54syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  ||  ( M  x.  ( N  / 
( M  gcd  N
) ) ) )
56 nncn 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
5756adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
58 nncn 10639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
5958adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
6042nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  CC )
6157, 59, 60, 50divassd 10440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( M  x.  ( N  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
6255, 61breqtrrd 4422 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  ||  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )
6321, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  gcd  N
)  ||  M )
64 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  ( M  gcd  N )  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
6549, 50, 4, 64syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  <->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ ) )
6663, 65mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
67 dvdsmul1 14401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( M  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( N  x.  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
687, 66, 67syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  ||  ( N  x.  ( M  / 
( M  gcd  N
) ) ) )
6957, 59mulcomd 9682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  =  ( N  x.  M ) )
7069oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( ( N  x.  M )  / 
( M  gcd  N
) ) )
7159, 57, 60, 50divassd 10440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  x.  M )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( N  x.  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
7270, 71eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( N  x.  ( M  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
7368, 72breqtrrd 4422 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  ||  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )
7462, 73jca 541 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  /\  N  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
75 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ->  ( M  ||  x  <->  M  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
76 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) )
7775, 76anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ->  (
( M  ||  x  /\  N  ||  x )  <-> 
( M  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  /\  N  ||  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
7877elrab 3184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  <->  ( (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  e.  NN  /\  ( M  ||  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  /\  N  ||  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
7945, 74, 78sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) } )
8046adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  e.  RR )
81 elrabi 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  ->  n  e.  NN )
8281nnred 10646 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  ->  n  e.  RR )
8382adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  n  e.  RR )
84 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  ( M  ||  x  <->  M  ||  n
) )
85 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  n  ->  ( N  ||  x  <->  N  ||  n
) )
8684, 85anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  n  ->  (
( M  ||  x  /\  N  ||  x )  <-> 
( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )
8786elrab 3184 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) }  <->  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )
88 bezout 14589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )
8921, 88syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )
9089adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )
91 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9291ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  n  e.  CC )
931nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  e.  CC )
9493ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  CC )
9560ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  gcd  N )  e.  CC )
9657ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  CC )
9758ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  CC )
9822ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  =/=  0 )
9924ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  =/=  0 )
10096, 97, 98, 99mulne0d 10286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N )  =/=  0
)
10150ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  gcd  N )  =/=  0
)
10292, 94, 95, 100, 101divdiv2d 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( n  x.  ( M  gcd  N
) )  /  ( M  x.  N )
) )
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( n  x.  ( M  gcd  N
) )  /  ( M  x.  N )
) )
104 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) )  ->  (
n  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) ) )
105104oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) )  ->  (
( n  x.  ( M  gcd  N ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N )
) )
106 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
107106ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  CC )
10896, 107mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  x )  e.  CC )
109 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
110109ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  CC )
11197, 110mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  x.  y )  e.  CC )
11292, 108, 111adddid 9685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  =  ( ( n  x.  ( M  x.  x )
)  +  ( n  x.  ( N  x.  y ) ) ) )
113112oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  +  ( n  x.  ( N  x.  y )
) )  /  ( M  x.  N )
) )
11492, 108mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( M  x.  x
) )  e.  CC )
11592, 111mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( N  x.  y
) )  e.  CC )
116114, 115, 94, 100divdird 10443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( n  x.  ( M  x.  x )
)  +  ( n  x.  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y )
)  /  ( M  x.  N ) ) ) )
117113, 116eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y )
)  /  ( M  x.  N ) ) ) )
118105, 117sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( (
n  x.  ( M  gcd  N ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( ( n  x.  ( M  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y )
)  /  ( M  x.  N ) ) ) )
11992, 96, 107mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( M  x.  x
) )  =  ( M  x.  ( n  x.  x ) ) )
120119oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( M  x.  x ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( M  x.  ( n  x.  x
) )  /  ( M  x.  N )
) )
12192, 107mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  x )  e.  CC )
122121, 97, 96, 99, 98divcan5d 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  x.  ( n  x.  x ) )  / 
( M  x.  N
) )  =  ( ( n  x.  x
)  /  N ) )
123120, 122eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( M  x.  x ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( n  x.  x )  /  N
) )
12492, 97, 110mul12d 9860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  ( N  x.  y
) )  =  ( N  x.  ( n  x.  y ) ) )
125124oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( N  x.  y ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( N  x.  ( n  x.  y
) )  /  ( M  x.  N )
) )
12669ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  x.  N )  =  ( N  x.  M ) )
127126oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  ( n  x.  y ) )  / 
( M  x.  N
) )  =  ( ( N  x.  (
n  x.  y ) )  /  ( N  x.  M ) ) )
12892, 110mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  y )  e.  CC )
129128, 96, 97, 98, 99divcan5d 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( N  x.  ( n  x.  y ) )  / 
( N  x.  M
) )  =  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )
130125, 127, 1293eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
n  x.  ( N  x.  y ) )  /  ( M  x.  N ) )  =  ( ( n  x.  y )  /  M
) )
131123, 130oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( n  x.  ( M  x.  x )
)  /  ( M  x.  N ) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y ) )  / 
( M  x.  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) )
132131adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( (
( n  x.  ( M  x.  x )
)  /  ( M  x.  N ) )  +  ( ( n  x.  ( N  x.  y ) )  / 
( M  x.  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) )
133103, 118, 1323eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x
)  +  ( N  x.  y ) ) )  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) )
134133ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  ->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  =  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) ) ) )
135134adantlrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  -> 
( n  /  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  ( ( ( n  x.  x
)  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) ) ) )
136135imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( n  /  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) )  =  ( ( ( n  x.  x
)  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) ) )
1376ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  ZZ )
138 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
139138ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  n  e.  ZZ )
140 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  x  e.  ZZ )
141 dvdsmultr1 14415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  n  ->  N  ||  ( n  x.  x
) ) )
142137, 139, 140, 141syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  n  ->  N  ||  (
n  x.  x ) ) )
143139, 140zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  x )  e.  ZZ )
144 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  (
n  x.  x )  e.  ZZ )  -> 
( N  ||  (
n  x.  x )  <-> 
( ( n  x.  x )  /  N
)  e.  ZZ ) )
145137, 99, 143, 144syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  ( n  x.  x
)  <->  ( ( n  x.  x )  /  N )  e.  ZZ ) )
146142, 145sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  n  ->  ( (
n  x.  x )  /  N )  e.  ZZ ) )
147146adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  ->  (
( n  x.  x
)  /  N )  e.  ZZ ) )
1481473impia 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  ->  ( (
n  x.  x )  /  N )  e.  ZZ )
1493ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  M  e.  ZZ )
150 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  y  e.  ZZ )
151 dvdsmultr1 14415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  n  ->  M  ||  ( n  x.  y
) ) )
152149, 139, 150, 151syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  ||  n  ->  M  ||  (
n  x.  y ) ) )
153139, 150zmulcld 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( n  x.  y )  e.  ZZ )
154 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0  /\  (
n  x.  y )  e.  ZZ )  -> 
( M  ||  (
n  x.  y )  <-> 
( ( n  x.  y )  /  M
)  e.  ZZ ) )
155149, 98, 153, 154syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  ||  ( n  x.  y
)  <->  ( ( n  x.  y )  /  M )  e.  ZZ ) )
156152, 155sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( M  ||  n  ->  ( (
n  x.  y )  /  M )  e.  ZZ ) )
157156adantrd 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  ->  (
( n  x.  y
)  /  M )  e.  ZZ ) )
1581573impia 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  ->  ( (
n  x.  y )  /  M )  e.  ZZ )
159148, 158zaddcld 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  ->  ( (
( n  x.  x
)  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) )  e.  ZZ )
1601593expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  ->  (
( ( n  x.  x )  /  N
)  +  ( ( n  x.  y )  /  M ) )  e.  ZZ ) )
161160an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( M  ||  n  /\  N  ||  n )  -> 
( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )  e.  ZZ ) )
162161impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y )  /  M
) )  e.  ZZ )
163162an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )  e.  ZZ )
164163adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( ( ( n  x.  x )  /  N )  +  ( ( n  x.  y
)  /  M ) )  e.  ZZ )
165136, 164eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( n  /  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) )  e.  ZZ )
16645nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
167166ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ )
1681nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  =/=  0 )
16993, 60, 168, 50divne0d 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =/=  0 )
170169ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =/=  0 )
171139adantlrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
172 dvdsval2 14385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )  e.  ZZ ) )
173167, 170, 171, 172syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )  e.  ZZ ) )
174173adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  ( n  /  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )  e.  ZZ ) )
175165, 174mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n )
176175ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
177176anassrs 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  x  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( M  gcd  N
)  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  -> 
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
178177reximdva 2858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y
) )  ->  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
) )
179178reximdva 2858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( M  gcd  N )  =  ( ( M  x.  x )  +  ( N  x.  y ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n ) )
18090, 179mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n )
181 1z 10991 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
182 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ZZ  =/=  (/) )
183 r19.9rzv 3854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  =/=  (/)  ->  ( (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
) )
184181, 182, 183mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
185 r19.9rzv 3854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  =/=  (/)  ->  ( E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
) )
186181, 182, 185mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ZZ  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
187184, 186bitri 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
188180, 187sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n
)
189166adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  e.  ZZ )
190 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  n  e.  NN )
191 dvdsle 14427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  e.  ZZ  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) 
||  n  ->  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  <_  n ) )
192189, 190, 191syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  ||  n  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  <_  n ) )
193188, 192mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  <_  n
)
19487, 193sylan2b 483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  (
( M  x.  N
)  /  ( M  gcd  N ) )  <_  n )
19580, 83, 194lensymd 9803 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  n  e.  {
x  e.  NN  | 
( M  ||  x  /\  N  ||  x ) } )  ->  -.  n  <  ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) ) )
19632, 46, 79, 195infmin 8028 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  -> inf ( { x  e.  NN  |  ( M 
||  x  /\  N  ||  x ) } ,  RR ,  <  )  =  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) ) )
19730, 196eqtr2d 2506 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  =  ( M lcm  N
) )
198197, 45eqeltrrd 2550 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M lcm  N )  e.  NN )
199198nncnd 10647 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M lcm  N )  e.  CC )
20093, 199, 60, 50divmul3d 10439 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  =  ( M lcm  N )  <->  ( M  x.  N )  =  ( ( M lcm  N )  x.  ( M  gcd  N ) ) ) )
201197, 200mpbid 215 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  x.  N
)  =  ( ( M lcm  N )  x.  ( M  gcd  N
) ) )
20220, 201eqtr2d 2506 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( M lcm  N
)  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( abs `  ( M  x.  N )
) )
203 simprl 772 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  K  e.  NN )
204 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  (
n  e.  NN  <->  K  e.  NN ) )
205 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  K  ->  ( M  ||  n  <->  M  ||  K
) )
206 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  K  ->  ( N  ||  n  <->  N  ||  K
) )
207205, 206anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  K  ->  (
( M  ||  n  /\  N  ||  n )  <-> 
( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) )
208204, 207anbi12d 725 . . . . . . 7  |-  ( n  =  K  ->  (
( n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) )  <->  ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) ) ) )
209208anbi2d 718 . . . . . 6  |-  ( n  =  K  ->  (
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  <->  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) ) ) )
210 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( n  =  K  ->  (
( M lcm  N ) 
||  n  <->  ( M lcm  N )  ||  K ) )
211209, 210imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( n  =  K  ->  (
( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
n  e.  NN  /\  ( M  ||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( M lcm  N )  ||  n )  <-> 
( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  K )
) )
212197breq1d 4405 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M  x.  N )  / 
( M  gcd  N
) )  ||  n  <->  ( M lcm  N )  ||  n ) )
213212adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( ( ( M  x.  N )  /  ( M  gcd  N ) )  ||  n  <->  ( M lcm  N )  ||  n ) )
214188, 213mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( M 
||  n  /\  N  ||  n ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  n )
215211, 214vtoclg 3093 . . . 4  |-  ( K  e.  NN  ->  (
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  K )
)
216203, 215mpcom 36 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) ) )  ->  ( M lcm  N
)  ||  K )
217216ex 441 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( M 
||  K  /\  N  ||  K ) )  -> 
( M lcm  N ) 
||  K ) )
218202, 217jca 541 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( M lcm 
N )  x.  ( M  gcd  N ) )  =  ( abs `  ( M  x.  N )
)  /\  ( ( K  e.  NN  /\  ( M  ||  K  /\  N  ||  K ) )  -> 
( M lcm  N ) 
||  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    Or wor 4759   ` cfv 5589  (class class class)co 6308  infcinf 7973   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   abscabs 13374    || cdvds 14382    gcd cgcd 14547   lcm clcm 14626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-lcm 14630
This theorem is referenced by:  lcmgcd  14651  lcmdvds  14652
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