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Theorem lcmdvds 15159
 Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmdvds ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem lcmdvds
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)
2 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑀 = 0 → (𝑀𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
4 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (0 lcm 𝑁))
5 0z 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
6 lcmcom 15144 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
75, 6mpan 702 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
8 lcm0val 15145 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
97, 8eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = 0)
104, 9sylan9eqr 2666 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
1110breq1d 4593 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
123, 11imbi12d 333 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
131, 12mpbiri 247 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
14133ad2antl3 1218 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
1514adantrd 483 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
1615ex 449 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
17 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
19 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
20 lcm0val 15145 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
2119, 20sylan9eqr 2666 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
2221breq1d 4593 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
2318, 22imbi12d 333 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
241, 23mpbiri 247 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
25243ad2antl2 1217 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
2625adantld 482 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
2726ex 449 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
28 neanior 2874 . . . . . 6 ((𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
29 lcmcl 15152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
3029nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
31 dvds0 14835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
3332a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
35 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 0 → (𝑀𝐾𝑀 ∥ 0))
36 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 = 0 → (𝑁𝐾𝑁 ∥ 0))
3735, 36anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 = 0 → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) ↔ (𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0)))
38 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
3937, 38imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 = 0 → (((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → (((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
4134, 40mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4241adantrl 748 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4342adantllr 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4443adantlrr 753 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
4544anassrs 678 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
46 nnabscl 13913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
47 nnabscl 13913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
48 nnabscl 13913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (abs‘𝐾) ∈ ℕ)
49 lcmgcdlem 15157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = (abs‘((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁))) ∧ (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾))))
5049simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5148, 50sylani 684 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5246, 47, 51syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
5352expdimp 452 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
54 dvdsabsb 14839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾𝑀 ∥ (abs‘𝐾)))
55 zabscl 13901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℤ)
56 absdvdsb 14838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
5755, 56sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
5854, 57bitrd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
5958adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
60 dvdsabsb 14839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾𝑁 ∥ (abs‘𝐾)))
61 absdvdsb 14838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6255, 61sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6360, 62bitrd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6463adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6559, 64anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))))
6665bicomd 212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ (𝑀𝐾𝑁𝐾)))
67 lcmabs 15156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
6867breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
70 dvdsabsb 14839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
7130, 70sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
7269, 71bitr4d 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
7366, 72imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7473adantrr 749 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7574adantllr 751 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7675adantlrr 753 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
7753, 76mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
7877anassrs 678 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≠ 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
7945, 78pm2.61dane 2869 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
8079ex 449 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
8180an4s 865 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
8228, 81sylan2br 492 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
8382impancom 455 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
84833impa 1251 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
85843comr 1265 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
8616, 27, 85ecase3d 981 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐾𝑁𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   · cmul 9820  ℕcn 10897  ℤcz 11254  abscabs 13822   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054   lcm clcm 15139 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-lcm 15141 This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  15164  lcmftp  15187  lcmfunsnlem1  15188  lcmfunsnlem2lem1  15189  nzin  37539
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