Theorem dvrec 23524

Description: Derivative of the reciprocal function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dvrec	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem dvrec

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfcn 23478	. . . 4 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ
2		ssid 3587	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ℂ ⊆ ℂ)
4		eldifsn 4260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
5		divcl 10570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
6	5	3expb 1258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
7	4, 6	sylan2b 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℂ)
8		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))
9	7, 8	fmptd 6292	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
10		difssd 3700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
11	3, 9, 10	dvbss 23471	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
12		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}))
13		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
14	13	cnfldtop 22397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
15	13	cnfldhaus 22398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
16		0cn 9911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℂ
17	13	cnfldtopon 22396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
18	17	toponunii 20547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
19	18	sncld 20985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus ∧ 0 ∈ ℂ) → {0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
20	15, 16, 19	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
21	18	cldopn 20645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({0} ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
23		isopn3i 20696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (ℂ ∖ {0}) ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) = (ℂ ∖ {0}))
24	14, 22, 23	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) = (ℂ ∖ {0})
25	12, 24	syl6eleqr 2699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})))
26		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
28	27	sqvald 12867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦↑2) = (𝑦 · 𝑦))
29	28	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) = (𝐴 / (𝑦 · 𝑦)))
30		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		eldifsni 4261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
33	30, 27, 27, 32, 32	divdiv1d 10711	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝐴 / 𝑦) / 𝑦) = (𝐴 / (𝑦 · 𝑦)))
34	29, 33	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) = ((𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
35	34	negeqd 10154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = -((𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
36	30, 27, 32	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
37	36, 27, 32	divnegd 10693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -((𝐴 / 𝑦) / 𝑦) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
38	35, 37	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
39	36	negcld 10258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
40		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
41	40	cdivcncf 22528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
43		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦))
44	42, 12, 43	cnmptlimc 23460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑦) ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦))
45	38, 44	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦))
46		cncff 22504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
48	47	limcdif 23446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦) = (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) limℂ 𝑦))
49		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
51	50	eldifad 3552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ∈ ℂ)
52	26	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑦 ∈ ℂ)
53	51, 52	subcld 10271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ)
54	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
55		eldifsni 4261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 0)
57	54, 51, 56	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ)
58		mulneg12 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
59	53, 57, 58	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
60	52, 51, 57	subdird 10366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 − 𝑧) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) − (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧))))
61	51, 52	negsubdi2d 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -(𝑧 − 𝑦) = (𝑦 − 𝑧))
62	61	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑦 − 𝑧) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
63		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑧))
64		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 / 𝑧) ∈ V
65	63, 8, 64	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
66	50, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
67		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝐴 ∈ ℂ)
68	31	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑦 ≠ 0)
69	67, 52, 68	divcan2d 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) = 𝐴)
70	69	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) / 𝑧) = (𝐴 / 𝑧))
71	52, 54, 51, 56	divassd 10715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑦 · (𝐴 / 𝑦)) / 𝑧) = (𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
72	66, 70, 71	3eqtr2d 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) = (𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
73		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 / 𝑥) = (𝐴 / 𝑦))
74		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐴 / 𝑦) ∈ V
75	73, 8, 74	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝐴 / 𝑦))
76	75	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝐴 / 𝑦))
77	54, 51, 56	divcan2d 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (𝐴 / 𝑦))
78	76, 77	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦) = (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
79	72, 78	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) = ((𝑦 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) − (𝑧 · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧))))
80	60, 62, 79	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝑧 − 𝑦) · ((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)))
81	54, 51, 56	divnegd 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
82	81	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((𝑧 − 𝑦) · -((𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) = ((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
83	59, 80, 82	3eqtr3d 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) = ((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
84	83	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)) = (((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) / (𝑧 − 𝑦)))
85	54	negcld 10258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → -(𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
86	85, 51, 56	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧) ∈ ℂ)
87		eldifsni 4261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) → 𝑧 ≠ 𝑦)
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → 𝑧 ≠ 𝑦)
89	51, 52, 88	subne0d 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (𝑧 − 𝑦) ≠ 0)
90	86, 53, 89	divcan3d 10685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → (((𝑧 − 𝑦) · (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) / (𝑧 − 𝑦)) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
91	84, 90	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) → ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)) = (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
92	91	mpteq2dva 4672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
93		difss 3699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ⊆ (ℂ ∖ {0})
94		resmpt 5369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ⊆ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)))
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧))
96	92, 95	syl6eqr 2662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})))
97	96	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦) = (((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) ↾ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦})) limℂ 𝑦))
98	48, 97	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (-(𝐴 / 𝑦) / 𝑧)) limℂ 𝑦) = ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))
99	45, 98	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))
100	18	restid 15917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
101	14, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
102	101	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
103		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) = (𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦)))
104	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ℂ ⊆ ℂ)
105	9	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
106		difssd 3700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
107	102, 13, 103, 104, 105, 106	eldv 23468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)) ↔ (𝑦 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘(ℂ ∖ {0})) ∧ -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ((𝑧 ∈ ((ℂ ∖ {0}) ∖ {𝑦}) ↦ ((((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑧) − ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))‘𝑦)) / (𝑧 − 𝑦))) limℂ 𝑦))))
108	25, 99, 107	mpbir2and 959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)))
109		vex 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ V
110		negex 10158	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ V
111	109, 110	breldm 5251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)) → 𝑦 ∈ dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
112	108, 111	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
113	112	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))))
114	113	ssrdv 3574	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
115	11, 114	eqssd 3585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (ℂ ∖ {0}))
116	115	feq2d 5944	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ ↔ (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ))
117	1, 116	mpbii 222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
118		ffn 5958	. . 3 ⊢ ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) Fn (ℂ ∖ {0}))
119	117, 118	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) Fn (ℂ ∖ {0}))
120		negex 10158	. . . 4 ⊢ -(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V
121	120	rgenw 2908	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})-(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V
122		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))
123	122	fnmpt 5933	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})-(𝐴 / (𝑥↑2)) ∈ V → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) Fn (ℂ ∖ {0}))
124	121, 123	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))) Fn (ℂ ∖ {0}))
125		ffun 5961	. . . . 5 ⊢ ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))):dom (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))⟶ℂ → Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
126	1, 125	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))))
127		funbrfv 6144	. . . 4 ⊢ (Fun (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) → (𝑦(ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))-(𝐴 / (𝑦↑2)) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2))))
128	126, 108, 127	sylc 63	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
129		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥↑2) = (𝑦↑2))
130	129	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 / (𝑥↑2)) = (𝐴 / (𝑦↑2)))
131	130	negeqd 10154	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -(𝐴 / (𝑥↑2)) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
132	131, 122, 110	fvmpt 6191	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
133	132	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦) = -(𝐴 / (𝑦↑2)))
134	128, 133	eqtr4d 2647	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2)))‘𝑦))
135	119, 124, 134	eqfnfvd 6222	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑥↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  ↑cexp 12722   ↾_t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂ_fldccnfld 19567  Topctop 20517  Clsdccld 20630  intcnt 20631  Hauscha 20922  –cn→ccncf 22487   lim_ℂ climc 23432   D cdv 23433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-t1 20928  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437

This theorem is referenced by:  dvexp3  23545  dvtan  32630  dvrecg  38800