Theorem clim1fr1 38668

Description: A class of sequences of fractions that converge to 1. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim1fr1.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
clim1fr1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
clim1fr1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
clim1fr1.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
clim1fr1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑛   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem clim1fr1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11599	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11285	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		nnex 10903	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
4	3	mptex 6390	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ∈ V)
6		1cnd 9935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1))
8		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → 1 = 1)
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
10		1cnd 9935	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
11	7, 8, 9, 10	fvmptd 6197	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) = 1)
13	1, 2, 5, 6, 12	climconst 14122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) ⇝ 1)
14		clim1fr1.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)))
15	3	mptex 6390	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))) ∈ V
16	14, 15	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
18		clim1fr1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
20		clim1fr1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		nncn 10905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
24		clim1fr1.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
26		nnne0 10930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
28	19, 21, 23, 25, 27	divdiv1d 10711	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
29	28	mpteq2dva 4672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
30	18, 20, 24	divcld 10680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31		divcnv 14424	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐵 / 𝐴) / 𝑛)) ⇝ 0)
33	29, 32	eqbrtrrd 4607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) ⇝ 0)
34		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)
35		1cnd 9935	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
36	34, 35	fmpti 6291	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ
37	36	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ 1):ℕ⟶ℂ)
38	37	ffvelrnda 6267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) ∈ ℂ)
39	21, 23	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ∈ ℂ)
40	21, 23, 25, 27	mulne0d 10558	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑛) ≠ 0)
41	19, 39, 40	divcld 10680	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) ∈ ℂ)
42		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))
43	41, 42	fmptd 6292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))):ℕ⟶ℂ)
44	43	ffvelrnda 6267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
45	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛))))
46		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
47	46	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) = ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵))
48	47, 46	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
49	48	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (((𝐴 · 𝑛) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑛)) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
50		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
51	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
52	50	nncnd 10913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
53	51, 52	mulcld 9939	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℂ)
54	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
55	53, 54	addcld 9938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) ∈ ℂ)
56	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
57	50	nnne0d 10942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
58	51, 52, 56, 57	mulne0d 10558	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
59	55, 53, 58	divcld 10680	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
60	45, 49, 50, 59	fvmptd 6197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)))
61	53, 54, 53, 58	divdird 10718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
62	53, 58	dividd 10678	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) = 1)
63	62	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) / (𝐴 · 𝑘)) + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
64	61, 63	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 · 𝑘) + 𝐵) / (𝐴 · 𝑘)) = (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))))
65	12	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘))
66		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛))))
67		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑛 = 𝑘)
68	67	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐴 · 𝑛) = (𝐴 · 𝑘))
69	68	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
70	54, 53, 58	divcld 10680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) ∈ ℂ)
71	66, 69, 50, 70	fvmptd 6197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘) = (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)))
72	71	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 / (𝐴 · 𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘))
73	65, 72	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 + (𝐵 / (𝐴 · 𝑘))) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
74	60, 64, 73	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ 1)‘𝑘) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐵 / (𝐴 · 𝑛)))‘𝑘)))
75	1, 2, 13, 17, 33, 38, 44, 74	climadd 14210	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (1 + 0))
76		1p0e1 11010	. 2 ⊢ (1 + 0) = 1
77	75, 76	syl6breq 4624	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℕcn 10897   ⇝ cli 14063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068

This theorem is referenced by:  wallispilem5  38962