Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmaeq0 24993
 Description: The set 𝑊 is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasumif.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrvmasumif.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasumif.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrvmasumif.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
dchrvmaeq0.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑆 = 0))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝐶,𝑚,𝑦   𝑦,𝐹   𝑚,𝑎,𝑦   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑆,𝑚,𝑦   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝐿,𝑎,𝑚,𝑦   𝑋,𝑎,𝑚,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑆(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4 (𝜑𝑋𝐷)
2 dchrisum.n1 . . . 4 (𝜑𝑋1 )
3 eldifsn 4260 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑋𝐷𝑋1 ))
41, 2, 3sylanbrc 695 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
5 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
65oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
76sumeq2sdv 14282 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
87eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
108, 9elrab2 3333 . . . 4 (𝑋𝑊 ↔ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
1110baib 942 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → (𝑋𝑊 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
124, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑊 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0))
13 nnuz 11599 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
14 1zzd 11285 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
15 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑚 → (𝐿𝑎) = (𝐿𝑚))
1615fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
17 id 22 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
1816, 17oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
19 dchrvmasumif.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
20 ovex 6577 . . . . . 6 ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ V
2118, 19, 20fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
2221adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
23 rpvmasum.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
24 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
25 rpvmasum.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
26 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
271adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
28 nnz 11276 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
2928adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
3023, 24, 25, 26, 27, 29dchrzrhcl 24770 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
31 nncn 10905 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3231adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
33 nnne0 10930 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
3433adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
3530, 32, 34divcld 10680 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
36 dchrvmasumif.s . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
3713, 14, 22, 35, 36isumclim 14330 . . 3 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 𝑆)
3837eqeq1d 2612 . 2 (𝜑 → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ 𝑆 = 0))
3912, 38bitrd 267 1 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑆 = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤcz 11254  [,)cico 12048  ⌊cfl 12453  seqcseq 12663  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264  Basecbs 15695  0gc0g 15923  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nℤczn 19670  DChrcdchr 24757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-dchr 24758 This theorem is referenced by:  rpvmasum2  25001  dchrisum0re  25002  dchrisum0lem2  25007  dchrisumn0  25010
 Copyright terms: Public domain W3C validator