Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  quartlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem quartlem4 24387
 Description: Closure lemmas for quart 24388. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
quart.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
quart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
quart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
quart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
quart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
quart.e (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
quart.p (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart.q (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart.r (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
quart.u (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
quart.v (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
quart.w (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
quart.s (𝜑𝑆 = ((√‘𝑀) / 2))
quart.m (𝜑𝑀 = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
quart.t (𝜑𝑇 = (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
quart.t0 (𝜑𝑇 ≠ 0)
quart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
quart.i (𝜑𝐼 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
quart.j (𝜑𝐽 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
Assertion
Ref Expression
quartlem4 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 ∧ 𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quartlem4
StepHypRef Expression
1 quart.s . . 3 (𝜑𝑆 = ((√‘𝑀) / 2))
2 quart.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 quart.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 quart.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 quart.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
6 quart.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = -(𝐴 / 4))
7 quart.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
8 quart.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
9 quart.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / 16) − ((3 / 256) · (𝐴↑4)))))
10 quart.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = ((𝑃↑2) + (12 · 𝑅)))
11 quart.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (27 · (𝑄↑2))) + (72 · (𝑃 · 𝑅))))
12 quart.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
13 quart.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
14 quart.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 = (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
15 quart.t0 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
162, 3, 4, 5, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15quartlem3 24386 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ))
1716simp2d 1067 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1817sqrtcld 14024 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑀) ∈ ℂ)
19 2cnd 10970 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2017sqsqrtd 14026 . . . . . 6 (𝜑 → ((√‘𝑀)↑2) = 𝑀)
21 quart.m0 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≠ 0)
2220, 21eqnetrd 2849 . . . . 5 (𝜑 → ((√‘𝑀)↑2) ≠ 0)
23 sqne0 12792 . . . . . 6 ((√‘𝑀) ∈ ℂ → (((√‘𝑀)↑2) ≠ 0 ↔ (√‘𝑀) ≠ 0))
2418, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((√‘𝑀)↑2) ≠ 0 ↔ (√‘𝑀) ≠ 0))
2522, 24mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → (√‘𝑀) ≠ 0)
26 2ne0 10990 . . . . 5 2 ≠ 0
2726a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2818, 19, 25, 27divne0d 10696 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝑀) / 2) ≠ 0)
291, 28eqnetrd 2849 . 2 (𝜑𝑆 ≠ 0)
30 quart.i . . 3 (𝜑𝐼 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
3116simp1d 1066 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3231sqcld 12868 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
3332negcld 10258 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
342, 3, 4, 5, 7, 8, 9quart1cl 24381 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
3534simp1d 1066 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3635halfcld 11154 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
3733, 36subcld 10271 . . . . 5 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) ∈ ℂ)
3834simp2d 1067 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
39 4cn 10975 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
4039a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
41 4ne0 10994 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ≠ 0)
4338, 40, 42divcld 10680 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 / 4) ∈ ℂ)
4443, 31, 29divcld 10680 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
4537, 44addcld 9938 . . . 4 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
4645sqrtcld 14024 . . 3 (𝜑 → (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) + ((𝑄 / 4) / 𝑆))) ∈ ℂ)
4730, 46eqeltrd 2688 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
48 quart.j . . 3 (𝜑𝐽 = (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))))
4937, 44subcld 10271 . . . 4 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆)) ∈ ℂ)
5049sqrtcld 14024 . . 3 (𝜑 → (√‘((-(𝑆↑2) − (𝑃 / 2)) − ((𝑄 / 4) / 𝑆))) ∈ ℂ)
5148, 50eqeltrd 2688 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
5229, 47, 513jca 1235 1 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 ∧ 𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  ;cdc 11369  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  ↑𝑐ccxp 24106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108 This theorem is referenced by:  quart  24388
 Copyright terms: Public domain W3C validator