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Theorem riesz3i 28305
 Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Existence part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ConFn
Assertion
Ref Expression
riesz3i 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz3i
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 27244 . . 3 0 ∈ ℋ
2 nlelch.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 28284 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ℂ
4 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (⊥‘(⊥‘(null‘𝑇))) = (⊥‘0))
5 nlelch.2 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ConFn
62, 5nlelchi 28304 . . . . . . . . . 10 (null‘𝑇) ∈ C
76ococi 27648 . . . . . . . . 9 (⊥‘(⊥‘(null‘𝑇))) = (null‘𝑇)
8 choc0 27569 . . . . . . . . 9 (⊥‘0) = ℋ
94, 7, 83eqtr3g 2667 . . . . . . . 8 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (null‘𝑇) = ℋ)
109eleq2d 2673 . . . . . . 7 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (𝑣 ∈ (null‘𝑇) ↔ 𝑣 ∈ ℋ))
1110biimpar 501 . . . . . 6 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ (null‘𝑇))
12 elnlfn2 28172 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑣 ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇𝑣) = 0)
133, 11, 12sylancr 694 . . . . 5 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = 0)
14 hi02 27338 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑣 ·ih 0) = 0)
1514adantl 481 . . . . 5 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 0) = 0)
1613, 15eqtr4d 2647 . . . 4 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0))
1716ralrimiva 2949 . . 3 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0))
18 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑤 = 0 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 0))
1918eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑤 = 0 → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)))
2019ralbidv 2969 . . . 4 (𝑤 = 0 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)))
2120rspcev 3282 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
221, 17, 21sylancr 694 . 2 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
236choccli 27550 . . . 4 (⊥‘(null‘𝑇)) ∈ C
2423chne0i 27696 . . 3 ((⊥‘(null‘𝑇)) ≠ 0 ↔ ∃𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))𝑢 ≠ 0)
2523cheli 27473 . . . . 5 (𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) → 𝑢 ∈ ℋ)
263ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
28 hicl 27321 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
2928anidms 675 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
31 his6 27340 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℋ → ((𝑢 ·ih 𝑢) = 0 ↔ 𝑢 = 0))
3231necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → ((𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0 ↔ 𝑢 ≠ 0))
3332biimpar 501 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)
3427, 30, 33divcld 10680 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
3534cjcld 13784 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) ∈ ℂ)
36 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → 𝑢 ∈ ℋ)
37 hvmulcl 27254 . . . . . . . . 9 (((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
3835, 36, 37syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
3938adantll 746 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
40 hvmulcl 27254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ)
4126, 40sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ)
423ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
43 hvmulcl 27254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
4442, 43sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
4544ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
46 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
47 his2sub 27333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)))
4841, 45, 46, 47syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)))
4926adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
50 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ ℋ)
51 ax-his3 27325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
5249, 50, 46, 51syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
5342adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
54 ax-his3 27325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
5553, 46, 46, 54syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
5652, 55oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
5748, 56eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢))
5857adantll 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢))
59 hvsubcl 27258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ)
6041, 45, 59syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ)
612lnfnsubi 28289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))))
6241, 45, 61syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))))
632lnfnmuli 28287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6426, 63sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
652lnfnmuli 28287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)))
66 mulcom 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6726, 66sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6865, 67eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6942, 68sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
7069ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
7164, 70oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))) = (((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) − ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣))))
72 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) ∈ ℂ)
7326, 42, 72syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) ∈ ℂ)
7473subidd 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) − ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣))) = 0)
7562, 71, 743eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0)
76 elnlfn 28171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ↔ ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0)))
773, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ↔ ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0))
7860, 75, 77sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇))
796chssii 27472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (null‘𝑇) ⊆ ℋ
80 ocorth 27534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((null‘𝑇) ⊆ ℋ → (((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0))
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8278, 81sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8382ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ (𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ)) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8483anassrs 678 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8558, 84eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0)
86 hicl 27321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
8786ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
8849, 87mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
89 mulcl 9899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9042, 29, 89syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9188, 90subeq0ad 10281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0 ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
9291adantll 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0 ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
9385, 92mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
9493adantlr 747 . . . . . . . . . 10 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
9588adantlr 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9642adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
9730, 33jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0))
9897adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0))
99 divmul3 10569 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
10095, 96, 98, 99syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
101100adantlll 750 . . . . . . . . . 10 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
10294, 101mpbird 246 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣))
10327adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
10487adantlr 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
105 div23 10583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
106103, 104, 98, 105syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
10734adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
108 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ ℋ)
109 simpll 786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
110 his52 27328 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
111107, 108, 109, 110syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
112106, 111eqtr4d 2647 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
113112adantlll 750 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
114102, 113eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
115114ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
116 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
117116eqeq2d 2620 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))))
118117ralbidv 2969 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))))
119118rspcev 3282 . . . . . . 7 ((((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12039, 115, 119syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
121120ex 449 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
12225, 121mpdan 699 . . . 4 (𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) → (𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
123122rexlimiv 3009 . . 3 (∃𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12424, 123sylbi 206 . 2 ((⊥‘(null‘𝑇)) ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12522, 124pm2.61ine 2865 1 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  ∗ccj 13684   ℋchil 27160   ·ℎ csm 27162   ·ih csp 27163  0ℎc0v 27165   −ℎ cmv 27166  ⊥cort 27171  0ℋc0h 27176  nullcnl 27193  ConFnccnfn 27194  LinFnclf 27195 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-nlfn 28089  df-cnfn 28090  df-lnfn 28091 This theorem is referenced by:  riesz4i  28306  riesz1  28308
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