MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcld Structured version   Unicode version

Theorem divcld 10219
Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem divcld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcl 10112 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
51, 2, 3, 4syl3anc 1219 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758    =/= wne 2648  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394    / cdiv 10105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106
This theorem is referenced by:  dmdcan2d  10249  hashf1  12329  abs1m  12942  abslem2  12946  sqreulem  12966  sqreu  12967  o1fsum  13395  divrcnv  13434  divcnv  13435  geolim  13449  geolim2  13450  geo2sum  13452  geo2lim  13454  eftcl  13478  efaddlem  13497  tancl  13532  tanval2  13536  qredeq  13911  pcaddlem  14069  pjthlem1  21057  iblss  21416  itgeqa  21425  iblconst  21429  iblabsr  21441  iblmulc2  21442  itgsplit  21447  dvlem  21505  dvmulbr  21547  dvcobr  21554  dvrec  21563  dvcnvlem  21582  dveflem  21585  dvsincos  21587  dvlip  21599  c1liplem1  21602  lhop1lem  21619  lhop1  21620  lhop2  21621  lhop  21622  ftc1lem4  21645  vieta1lem2  21911  vieta1  21912  elqaalem3  21921  aareccl  21926  aalioulem1  21932  taylfvallem1  21956  tayl0  21961  taylply2  21967  taylply  21968  dvtaylp  21969  taylthlem2  21973  ulmdvlem1  21999  tanregt0  22129  eff1olem  22138  argregt0  22193  argrege0  22194  argimgt0  22195  logcnlem4  22224  advlogexp  22234  logtaylsum  22240  logtayl2  22241  root1eq1  22327  angcld  22335  angrteqvd  22336  cosangneg2d  22337  angrtmuld  22338  ang180lem1  22339  ang180lem2  22340  ang180lem3  22341  ang180lem4  22342  ang180lem5  22343  lawcoslem1  22345  lawcos  22346  isosctrlem2  22351  isosctrlem3  22352  angpieqvdlem  22357  angpieqvdlem2  22358  angpieqvd  22360  dcubic1lem  22372  dcubic2  22373  dcubic1  22374  dcubic  22375  mcubic  22376  cubic2  22377  dquartlem1  22380  dquartlem2  22381  dquart  22382  quart1cl  22383  quart1lem  22384  quart1  22385  quartlem3  22388  quartlem4  22389  quart  22390  tanatan  22448  atantayl  22466  atantayl2  22467  atantayl3  22468  log2cnv  22473  birthdaylem2  22480  efrlim  22497  dfef2  22498  cxploglim2  22506  fsumharmonic  22539  ftalem4  22547  ftalem5  22548  basellem8  22559  logexprlim  22698  bposlem9  22765  2sqlem3  22839  dchrmusum2  22877  dchrvmasum2lem  22879  dchrvmasumiflem1  22884  dchrvmasumiflem2  22885  dchrvmaeq0  22887  dchrisum0re  22896  dchrisum0lem1b  22898  dchrisum0lem1  22899  dchrisum0lem2a  22900  dchrisum0lem2  22901  dchrisum0lem3  22902  dchrisum0  22903  mudivsum  22913  vmalogdivsum2  22921  vmalogdivsum  22922  2vmadivsumlem  22923  selberg2  22934  selberg3lem1  22940  selberg3  22942  selberg4lem1  22943  selbergr  22951  selberg3r  22952  selberg4r  22953  selberg34r  22954  pntrlog2bndlem1  22960  pntrlog2bndlem2  22961  pntrlog2bndlem3  22962  pntrlog2bndlem4  22963  pntrlog2bndlem5  22964  colinearalg  23309  axcontlem8  23370  pjhthlem1  24947  eigvalcl  25518  riesz3i  25619  bcm1n  26225  divnumden2  26233  logbcl  26602  oddpwdc  26882  signsplypnf  27096  signsply0  27097  lgamgulmlem2  27161  lgamgulmlem3  27162  lgamgulmlem4  27163  lgamgulmlem5  27164  lgamgulmlem6  27165  lgamgulm2  27167  lgamcvg2  27186  gamcvg  27187  gamcvg2lem  27190  subfacval2  27220  divcnvlin  27544  fproddiv  27617  iprodgam  27651  bpolycl  28340  bpolysum  28341  bpolydiflem  28342  bpoly4  28347  itg2addnclem  28592  iblmulc2nc  28606  ftc1cnnclem  28614  areacirclem1  28633  areacirclem4  28636  areacirc  28638  cntotbnd  28844  pellexlem2  29320  pellexlem6  29324  jm2.19  29491  jm2.27c  29505  proot1ex  29718  clim1fr1  29923  stoweidlem11  29955  stoweidlem26  29970  stoweidlem42  29986  wallispilem4  30012  wallispilem5  30013  wallispi  30014  wallispi2lem1  30015  wallispi2lem2  30016  wallispi2  30017  stirlinglem1  30018  stirlinglem3  30020  stirlinglem4  30021  stirlinglem5  30022  stirlinglem6  30023  stirlinglem7  30024  stirlinglem13  30030  stirlinglem14  30031  stirlinglem15  30032  sigardiv  30046  sharhght  30050  cotcl  31416
  Copyright terms: Public domain W3C validator