MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcld Structured version   Unicode version

Theorem divcld 10316
Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem divcld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcl 10209 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488    / cdiv 10202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203
This theorem is referenced by:  dmdcan2d  10346  hashf1  12466  abs1m  13124  abslem2  13128  sqreulem  13148  sqreu  13149  o1fsum  13583  divrcnv  13620  divcnv  13621  geolim  13635  geolim2  13636  geo2sum  13638  geo2lim  13640  eftcl  13664  efaddlem  13683  tancl  13718  tanval2  13722  qredeq  14099  pcaddlem  14259  pjthlem1  21584  iblss  21943  itgeqa  21952  iblconst  21956  iblabsr  21968  iblmulc2  21969  itgsplit  21974  dvlem  22032  dvmulbr  22074  dvcobr  22081  dvrec  22090  dvcnvlem  22109  dveflem  22112  dvsincos  22114  dvlip  22126  c1liplem1  22129  lhop1lem  22146  lhop1  22147  lhop2  22148  lhop  22149  ftc1lem4  22172  vieta1lem2  22438  vieta1  22439  elqaalem3  22448  aareccl  22453  aalioulem1  22459  taylfvallem1  22483  tayl0  22488  taylply2  22494  taylply  22495  dvtaylp  22496  taylthlem2  22500  ulmdvlem1  22526  tanregt0  22656  eff1olem  22665  argregt0  22720  argrege0  22721  argimgt0  22722  logcnlem4  22751  advlogexp  22761  logtaylsum  22767  logtayl2  22768  root1eq1  22854  angcld  22862  angrteqvd  22863  cosangneg2d  22864  angrtmuld  22865  ang180lem1  22866  ang180lem2  22867  ang180lem3  22868  ang180lem4  22869  ang180lem5  22870  lawcoslem1  22872  lawcos  22873  isosctrlem2  22878  isosctrlem3  22879  angpieqvdlem  22884  angpieqvdlem2  22885  angpieqvd  22887  dcubic1lem  22899  dcubic2  22900  dcubic1  22901  dcubic  22902  mcubic  22903  cubic2  22904  dquartlem1  22907  dquartlem2  22908  dquart  22909  quart1cl  22910  quart1lem  22911  quart1  22912  quartlem3  22915  quartlem4  22916  quart  22917  tanatan  22975  atantayl  22993  atantayl2  22994  atantayl3  22995  log2cnv  23000  birthdaylem2  23007  efrlim  23024  dfef2  23025  cxploglim2  23033  fsumharmonic  23066  ftalem4  23074  ftalem5  23075  basellem8  23086  logexprlim  23225  bposlem9  23292  2sqlem3  23366  dchrmusum2  23404  dchrvmasum2lem  23406  dchrvmasumiflem1  23411  dchrvmasumiflem2  23412  dchrvmaeq0  23414  dchrisum0re  23423  dchrisum0lem1b  23425  dchrisum0lem1  23426  dchrisum0lem2a  23427  dchrisum0lem2  23428  dchrisum0lem3  23429  dchrisum0  23430  mudivsum  23440  vmalogdivsum2  23448  vmalogdivsum  23449  2vmadivsumlem  23450  selberg2  23461  selberg3lem1  23467  selberg3  23469  selberg4lem1  23470  selbergr  23478  selberg3r  23479  selberg4r  23480  selberg34r  23481  pntrlog2bndlem1  23487  pntrlog2bndlem2  23488  pntrlog2bndlem3  23489  pntrlog2bndlem4  23490  pntrlog2bndlem5  23491  colinearalg  23886  axcontlem8  23947  pjhthlem1  25982  eigvalcl  26553  riesz3i  26654  bcm1n  27265  divnumden2  27273  logbcl  27650  oddpwdc  27930  signsplypnf  28144  signsply0  28145  lgamgulmlem2  28209  lgamgulmlem3  28210  lgamgulmlem4  28211  lgamgulmlem5  28212  lgamgulmlem6  28213  lgamgulm2  28215  lgamcvg2  28234  gamcvg  28235  gamcvg2lem  28238  subfacval2  28268  divcnvlin  28592  fproddiv  28665  iprodgam  28699  bpolycl  29388  bpolysum  29389  bpolydiflem  29390  bpoly4  29395  itg2addnclem  29641  iblmulc2nc  29655  ftc1cnnclem  29663  areacirclem1  29682  areacirclem4  29685  areacirc  29687  cntotbnd  29893  pellexlem2  30368  pellexlem6  30372  jm2.19  30539  jm2.27c  30553  proot1ex  30766  hashnzfzclim  30827  oddfl  31036  clim1fr1  31143  0ellimcdiv  31191  reclimc  31195  coseq0  31199  sinaover2ne0  31204  dvrecg  31240  dvmptdiv  31247  fperdvper  31248  dvdivbd  31253  iblsplit  31284  itgcoscmulx  31287  itgsincmulx  31292  stoweidlem11  31311  stoweidlem26  31326  stoweidlem42  31342  wallispilem4  31368  wallispilem5  31369  wallispi  31370  wallispi2lem1  31371  wallispi2lem2  31372  wallispi2  31373  stirlinglem1  31374  stirlinglem3  31376  stirlinglem4  31377  stirlinglem5  31378  stirlinglem6  31379  stirlinglem7  31380  stirlinglem13  31386  stirlinglem14  31387  stirlinglem15  31388  dirkerper  31396  dirkertrigeqlem2  31399  dirkeritg  31402  dirkercncflem1  31403  dirkercncflem2  31404  fourierdlem26  31433  fourierdlem39  31446  fourierdlem56  31463  fourierdlem58  31465  fourierdlem62  31469  fourierdlem68  31475  fourierdlem72  31479  fourierdlem74  31481  fourierdlem75  31482  fourierdlem76  31483  fourierdlem80  31487  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fouriersw  31532  sigardiv  31545  sharhght  31549  cotcl  32227
  Copyright terms: Public domain W3C validator