MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcld Unicode version

Theorem divcld 9746
Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divcld.3  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
divcld  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem divcld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divcld.3 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
4 divcl 9640 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721    =/= wne 2567  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    / cdiv 9633
This theorem is referenced by:  dmdcan2d  9776  hashf1  11661  abs1m  12094  abslem2  12098  sqreulem  12118  sqreu  12119  o1fsum  12547  divrcnv  12587  divcnv  12588  geolim  12602  geolim2  12603  geo2sum  12605  geo2lim  12607  eftcl  12631  efaddlem  12650  tancl  12685  tanval2  12689  qredeq  13061  pcaddlem  13212  pjthlem1  19291  iblss  19649  itgeqa  19658  iblconst  19662  iblabsr  19674  iblmulc2  19675  itgsplit  19680  dvlem  19736  dvmulbr  19778  dvcobr  19785  dvrec  19794  dvcnvlem  19813  dveflem  19816  dvsincos  19818  dvlip  19830  c1liplem1  19833  lhop1lem  19850  lhop1  19851  lhop2  19852  lhop  19853  ftc1lem4  19876  vieta1lem2  20181  vieta1  20182  elqaalem3  20191  aareccl  20196  aalioulem1  20202  taylfvallem1  20226  tayl0  20231  taylply2  20237  taylply  20238  dvtaylp  20239  taylthlem2  20243  ulmdvlem1  20269  tanregt0  20394  eff1olem  20403  argregt0  20458  argrege0  20459  argimgt0  20460  logcnlem4  20489  advlogexp  20499  logtaylsum  20505  logtayl2  20506  root1eq1  20592  angcld  20600  angrteqvd  20601  cosangneg2d  20602  angrtmuld  20603  ang180lem1  20604  ang180lem2  20605  ang180lem3  20606  ang180lem4  20607  ang180lem5  20608  lawcoslem1  20610  lawcos  20611  isosctrlem2  20616  isosctrlem3  20617  angpieqvdlem  20622  angpieqvdlem2  20623  angpieqvd  20625  dcubic1lem  20636  dcubic2  20637  dcubic1  20638  dcubic  20639  mcubic  20640  cubic2  20641  dquartlem1  20644  dquartlem2  20645  dquart  20646  quart1cl  20647  quart1lem  20648  quart1  20649  quartlem3  20652  quartlem4  20653  quart  20654  tanatan  20712  atantayl  20730  atantayl2  20731  atantayl3  20732  log2cnv  20737  birthdaylem2  20744  efrlim  20761  dfef2  20762  cxploglim2  20770  fsumharmonic  20803  ftalem4  20811  ftalem5  20812  basellem8  20823  logexprlim  20962  bposlem9  21029  2sqlem3  21103  dchrmusum2  21141  dchrvmasum2lem  21143  dchrvmasumiflem1  21148  dchrvmasumiflem2  21149  dchrvmaeq0  21151  dchrisum0re  21160  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  dchrisum0lem3  21166  dchrisum0  21167  mudivsum  21177  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  selberg2  21198  selberg3lem1  21204  selberg3  21206  selberg4lem1  21207  selbergr  21215  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntrlog2bndlem1  21224  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem3  21226  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pjhthlem1  22846  eigvalcl  23417  riesz3i  23518  bcm1n  24104  divnumden2  24114  logbcl  24350  lgamgulmlem2  24767  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem4  24769  lgamgulmlem5  24770  lgamgulmlem6  24771  lgamgulm2  24773  lgamcvg2  24792  gamcvg  24793  gamcvg2lem  24796  subfacval2  24826  divcnvlin  25165  fproddiv  25238  iprodgam  25272  colinearalg  25753  axcontlem8  25814  bpolycl  26002  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  bpoly4  26009  itg2addnclem  26155  iblmulc2nc  26169  ftc1cnnclem  26177  areacirclem2  26181  areacirclem5  26185  areacirc  26187  cntotbnd  26395  pellexlem2  26783  pellexlem6  26787  jm2.19  26954  jm2.27c  26968  proot1ex  27388  clim1fr1  27594  stoweidlem11  27627  stoweidlem26  27642  stoweidlem42  27658  wallispilem4  27684  wallispilem5  27685  wallispi  27686  wallispi2lem1  27687  wallispi2lem2  27688  wallispi2  27689  stirlinglem1  27690  stirlinglem3  27692  stirlinglem4  27693  stirlinglem5  27694  stirlinglem6  27695  stirlinglem7  27696  stirlinglem13  27702  stirlinglem14  27703  stirlinglem15  27704  sigardiv  27718  sharhght  27722  cotcl  28209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634
  Copyright terms: Public domain W3C validator