Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem34 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem34 39161
 Description: The 𝑁-th derivative of 𝐹 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem34.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
etransclem34.a (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
etransclem34.p (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
etransclem34.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
etransclem34.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
etransclem34.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
etransclem34.h 𝐻 = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
etransclem34.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑛})
Assertion
Ref Expression
etransclem34 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑐,𝑘,𝑥   𝐹,𝑐   𝐻,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥   𝑀,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛   𝑁,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛   𝑃,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥   𝑋,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛   𝜑,𝑐,𝑘,𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛)   𝑃(𝑛,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem etransclem34
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem34.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 etransclem34.a . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
3 etransclem34.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
4 etransclem34.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
5 etransclem34.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥↑(𝑃 − 1)) · ∏𝑘 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑘)↑𝑃)))
6 etransclem34.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
7 etransclem34.h . . 3 𝐻 = (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
8 etransclem34.c . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑛})
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8etransclem30 39157 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) = (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥))))
101, 2dvdmsscn 38826 . . 3 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
118, 6etransclem16 39143 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
1210adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
136faccld 12933 . . . . . . . 8 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1413nncnd 10913 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
16 fzfid 12634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (0...𝑀) ∈ Fin)
17 fzssnn0 38474 . . . . . . . . . 10 (0...𝑁) ⊆ ℕ0
18 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀))
19 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝐶𝑁))
208, 6etransclem12 39139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁})
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁})
2219, 21eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) ∣ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑘) = 𝑁})
2318, 22sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)))
24 elmapi 7765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → 𝑐:(0...𝑀)⟶(0...𝑁))
2625fnvinran 38196 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ (0...𝑁))
2717, 26sseldi 3566 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑐𝑘) ∈ ℕ0)
2827faccld 12933 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑘)) ∈ ℕ)
2928nncnd 10913 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
3016, 29fprodcl 14521 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)) ∈ ℂ)
3128nnne0d 10942 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (!‘(𝑐𝑘)) ≠ 0)
3216, 29, 31fprodn0 14548 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)) ≠ 0)
3315, 30, 32divcld 10680 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) ∈ ℂ)
34 ssid 3587 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
3612, 33, 35constcncfg 38756 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝑥𝑋 ↦ ((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘)))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
371ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
382ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
393ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ)
40 etransclem5 39132 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑥𝑋 ↦ ((𝑥𝑘)↑if(𝑘 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃)))) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
417, 40eqtri 2632 . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ (𝑦𝑋 ↦ ((𝑦𝑗)↑if(𝑗 = 0, (𝑃 − 1), 𝑃))))
42 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...𝑀))
4337, 38, 39, 41, 42, 27etransclem20 39147 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)):𝑋⟶ℂ)
44433adant2 1073 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑥𝑋𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)):𝑋⟶ℂ)
45 simp2 1055 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑥𝑋𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑥𝑋)
4644, 45ffvelrnd 6268 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑥𝑋𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
4743feqmptd 6159 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥)))
4837, 38, 39, 41, 42, 27etransclem22 39149 . . . . . 6 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
4947, 48eqeltrrd 2689 . . . . 5 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5012, 16, 46, 49fprodcncf 38787 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝑥𝑋 ↦ ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5136, 50mulcncf 23023 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐶𝑁)) → (𝑥𝑋 ↦ (((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
5210, 11, 51fsumcncf 38763 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ Σ𝑐 ∈ (𝐶𝑁)(((!‘𝑁) / ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(!‘(𝑐𝑘))) · ∏𝑘 ∈ (0...𝑀)(((𝑆 D𝑛 (𝐻𝑘))‘(𝑐𝑘))‘𝑥))) ∈ (𝑋cn→ℂ))
539, 52eqeltrd 2688 1 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ∈ (𝑋cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  !cfa 12922  Σcsu 14264  ∏cprod 14474   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  –cn→ccncf 22487   D𝑛 cdvn 23434 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-prod 14475  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-dvn 23438 This theorem is referenced by:  etransclem40  39167
 Copyright terms: Public domain W3C validator