Theorem 0elunit 12161

Description: Zero is an element of the closed unit. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
0elunit	⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Proof of Theorem 0elunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9919	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		0le0 10987	. 2 ⊢ 0 ≤ 0
3		0le1 10430	. 2 ⊢ 0 ≤ 1
4		1re 9918	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	1, 4	elicc2i 12110	. 2 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 1))
6	1, 2, 3, 5	mpbir3an 1237	1 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-icc 12053

This theorem is referenced by:  xrhmeo  22553  htpycom  22583  htpyid  22584  htpyco1  22585  htpyco2  22586  htpycc  22587  phtpy01  22592  phtpycom  22595  phtpyid  22596  phtpyco2  22597  phtpycc  22598  reparphti  22605  pcocn  22625  pcohtpylem  22627  pcoptcl  22629  pcopt  22630  pcopt2  22631  pcoass  22632  pcorevcl  22633  pcorevlem  22634  pi1xfrf  22661  pi1xfr  22663  pi1xfrcnvlem  22664  pi1xfrcnv  22665  pi1cof  22667  pi1coghm  22669  dvlipcn  23561  lgamgulmlem2  24556  ttgcontlem1  25565  brbtwn2  25585  axsegconlem1  25597  axpaschlem  25620  axcontlem7  25650  axcontlem8  25651  xrge0iifcnv  29307  xrge0iifiso  29309  xrge0iifhom  29311  cnpcon  30466  pconcon  30467  txpcon  30468  ptpcon  30469  indispcon  30470  conpcon  30471  sconpi1  30475  txsconlem  30476  txscon  30477  cvxpcon  30478  cvxscon  30479  cvmliftlem14  30533  cvmlift2lem2  30540  cvmlift2lem3  30541  cvmlift2lem8  30546  cvmlift2lem12  30550  cvmlift2lem13  30551  cvmliftphtlem  30553  cvmliftpht  30554  cvmlift3lem1  30555  cvmlift3lem2  30556  cvmlift3lem4  30558  cvmlift3lem5  30559  cvmlift3lem6  30560  cvmlift3lem9  30563