Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioolem 39566
 Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioolem.K 𝑘𝜑
iunhoiioolem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioolem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
iunhoiioolem.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioolem.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
iunhoiioolem.f (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
iunhoiioolem.c 𝐶 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
iunhoiioolem (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem iunhoiioolem
StepHypRef Expression
1 iunhoiioolem.K . . . . . 6 𝑘𝜑
2 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
3 iunhoiioolem.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
4 ixpf 7816 . . . . . . . . . . 11 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) → 𝐹:𝑋 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
6 ioossre 12106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
76rgenw 2908 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9 iunss 4497 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
108, 9sylibr 223 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
115, 10fssd 5970 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6267 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
13 iunhoiioolem.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 10337 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
1513rexrd 9968 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16 iunhoiioolem.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
173adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
18 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
19 fvixp2 38384 . . . . . . . . . 10 ((𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
2017, 18, 19syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
21 ioogtlb 38564 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < (𝐹𝑘))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 < (𝐹𝑘))
2313, 12posdifd 10493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴 < (𝐹𝑘) ↔ 0 < ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2422, 23mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 < ((𝐹𝑘) − 𝐴))
2514, 24elrpd 11745 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ+)
261, 2, 25rnmptssd 38380 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ+)
27 iunhoiioolem.c . . . . . 6 𝐶 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
28 ltso 9997 . . . . . . . 8 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ)
30 iunhoiioolem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
312rnmptfi 38346 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
33 iunhoiioolem.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
341, 25, 2, 33rnmptn0 38408 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅)
351, 2, 14rnmptssd 38380 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
36 fiinfcl 8290 . . . . . . 7 (( < Or ℝ ∧ (ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3729, 32, 34, 35, 36syl13anc 1320 . . . . . 6 (𝜑 → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3827, 37syl5eqel 2692 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3926, 38sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
40 rpgtrecnn 38538 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
4139, 40syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
423elexd 3187 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
4342ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
445ffnd 5959 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
4544ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 Fn 𝑋)
46 nfv 1830 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
471, 46nfan 1816 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
48 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑘(1 / 𝑛)
49 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑘 <
50 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
5150nfrn 5289 . . . . . . . . . . . 12 𝑘ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
52 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑘
5351, 52, 49nfinf 8271 . . . . . . . . . . 11 𝑘inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
5427, 53nfcxfr 2749 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐶
5548, 49, 54nfbr 4629 . . . . . . . . 9 𝑘(1 / 𝑛) < 𝐶
5647, 55nfan 1816 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶)
5713adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 nnrecre 10934 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5958ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
6057, 59readdcld 9948 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
6160rexrd 9968 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6261adantlr 747 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6316adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6463adantlr 747 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65 ressxr 9962 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
6711, 66fssd 5970 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6867ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6968ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7060adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7112ad4ant14 1285 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7259adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7335, 38sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7473ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
7514ad4ant14 1285 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
76 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < 𝐶)
7735ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
7832ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑋𝑘𝑋)
80 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑋 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V)
822elrnmpt1 5295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
8379, 81, 82syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
85 infrefilb 38541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8677, 78, 84, 85syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8727, 86syl5eqbr 4618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8887adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8972, 74, 75, 76, 88ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < ((𝐹𝑘) − 𝐴))
9057adantlr 747 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
9190, 72, 71ltaddsub2d 10507 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ↔ (1 / 𝑛) < ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
9289, 91mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹𝑘))
9370, 71, 92ltled 10064 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ≤ (𝐹𝑘))
94 iooltub 38582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9515, 16, 20, 94syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9695ad4ant14 1285 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9762, 64, 69, 93, 96elicod 12095 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
9897ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝑘𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
9956, 98ralrimi 2940 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
10043, 45, 993jca 1235 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
101 elixp2 7798 . . . . . 6 (𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
102100, 101sylibr 223 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
103102ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝐶𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
104103reximdva 3000 . . 3 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
10541, 104mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
106 eliun 4460 . 2 (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
107105, 106sylibr 223 1 (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Or wor 4958  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Xcixp 7794  Fincfn 7841  infcinf 8230  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,)cico 12048 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fl 12455 This theorem is referenced by:  iunhoiioo  39567
 Copyright terms: Public domain W3C validator