MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posdifd Structured version   Unicode version

Theorem posdifd 10179
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
posdifd  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )

Proof of Theorem posdifd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 posdif 10086 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1842   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522    < clt 9658    - cmin 9841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843  df-neg 9844
This theorem is referenced by:  ltmul1a  10432  cshwcsh2id  12852  sqrlem7  13231  fsumlt  13765  bpoly4  14004  sin01gt0  14134  pythagtriplem10  14553  evth  21751  minveclem4  22139  ismbf3d  22353  itg2seq  22441  dvferm1lem  22677  dvferm2lem  22679  mvth  22685  dvlip  22686  dvgt0  22697  dvlt0  22698  dvge0  22699  dvcvx  22713  ftc1lem4  22732  pilem2  23139  cosordlem  23210  lgamgulmlem2  23685  lgsquadlem1  24010  brbtwn2  24625  axpaschlem  24660  axcontlem8  24691  clwlkisclwwlklem2a4  25201  clwwlkext2edg  25219  minvecolem4  26210  sgnsub  28989  signslema  29025  possumd  29939  itg2addnclem  31439  itg2gt0cn  31443  ftc1cnnclem  31461  areacirclem1  31478  areacirc  31483  irrapxlem3  35121  pell14qrgt0  35156  rmspecnonsq  35204  rmspecfund  35206  rmspecpos  35213  jm3.1lem1  35321  radcnvrat  36043  dvbdfbdioolem1  37093  dvbdfbdioolem2  37094  ioodvbdlimc1lem1  37096  ioodvbdlimc1lem2  37097  ioodvbdlimc2lem  37099  dvnxpaek  37107  wallispilem4  37218  wallispi2lem1  37221  stirlinglem11  37234  fourierdlem4  37261  fourierdlem6  37263  fourierdlem7  37264  fourierdlem19  37276  fourierdlem26  37283  fourierdlem41  37298  fourierdlem42  37299  fourierdlem48  37305  fourierdlem49  37306  fourierdlem51  37308  fourierdlem61  37318  fourierdlem63  37320  fourierdlem64  37321  fourierdlem65  37322  fourierdlem71  37328  fourierdlem79  37336  fourierdlem89  37346  fourierdlem90  37347  fourierdlem91  37348  fouriersw  37382  etransclem15  37400  etransclem24  37409  etransclem25  37410  etransclem35  37420  nnoALTV  37777  zm1nn  37957  nno  38648  fllog2  38699  dignn0flhalflem1  38746
  Copyright terms: Public domain W3C validator