Theorem posdifd 10128

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
posdifd	|- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		posdif 10034	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1762   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   < clt 9617   - cmin 9794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9796  df-neg 9797

This theorem is referenced by:  ltmul1a  10380  cshwcsh2id  12746  sqrlem7  13032  fsumlt  13563  sin01gt0  13775  pythagtriplem10  14192  evth  21187  minveclem4  21575  ismbf3d  21789  itg2seq  21877  dvferm1lem  22113  dvferm2lem  22115  mvth  22121  dvlip  22122  dvgt0  22133  dvlt0  22134  dvge0  22135  dvcvx  22149  ftc1lem4  22168  pilem2  22574  cosordlem  22644  lgsquadlem1  23350  brbtwn2  23877  axpaschlem  23912  axcontlem8  23943  clwlkisclwwlklem2a4  24446  clwwlkext2edg  24464  minvecolem4  25322  sgnsub  27973  signslema  28009  lgamgulmlem2  28062  possumd  28442  bpoly4  29248  itg2addnclem  29494  itg2gt0cn  29498  ftc1cnnclem  29516  areacirclem1  29535  areacirc  29540  irrapxlem3  30215  pell14qrgt0  30250  rmspecnonsq  30298  rmspecfund  30300  rmspecpos  30307  jm3.1lem1  30416  dvbdfbdioolem1  31077  dvbdfbdioolem2  31078  ioodvbdlimc1lem1  31080  ioodvbdlimc1lem2  31081  ioodvbdlimc2lem  31083  wallispilem4  31187  wallispi2lem1  31190  stirlinglem11  31203  fourierdlem4  31230  fourierdlem6  31232  fourierdlem7  31233  fourierdlem19  31245  fourierdlem26  31252  fourierdlem41  31267  fourierdlem42  31268  fourierdlem45  31271  fourierdlem48  31274  fourierdlem49  31275  fourierdlem51  31277  fourierdlem61  31287  fourierdlem63  31289  fourierdlem65  31291  fourierdlem71  31297  fourierdlem79  31305  fourierdlem89  31315  fourierdlem90  31316  fourierdlem91  31317  fouriersw  31351  zm1nn  31613