Theorem posdifd 10027

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
posdifd	|- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		posdif 9933	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 661	1 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1758   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383   < clt 9519   - cmin 9696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-ltxr 9524  df-sub 9698  df-neg 9699

This theorem is referenced by:  ltmul1a  10279  sqrlem7  12840  fsumlt  13365  sin01gt0  13576  pythagtriplem10  13989  evth  20647  minveclem4  21035  ismbf3d  21248  itg2seq  21336  dvferm1lem  21572  dvferm2lem  21574  mvth  21580  dvlip  21581  dvgt0  21592  dvlt0  21593  dvge0  21594  dvcvx  21608  ftc1lem4  21627  pilem2  22033  cosordlem  22103  lgsquadlem1  22809  brbtwn2  23286  axpaschlem  23321  axcontlem8  23352  minvecolem4  24416  sgnsub  27061  signslema  27097  lgamgulmlem2  27150  possumd  27530  bpoly4  28336  itg2addnclem  28581  itg2gt0cn  28585  ftc1cnnclem  28603  areacirclem1  28622  areacirc  28627  irrapxlem3  29303  pell14qrgt0  29338  rmspecnonsq  29386  rmspecfund  29388  rmspecpos  29395  jm3.1lem1  29504  wallispilem4  30001  wallispi2lem1  30004  stirlinglem11  30017  elfzom1elp1fzo  30356  clwlkisclwwlklem2a4  30584  clwwlkext2edg  30602  zm1nn  30606  erclwwlktr0  30617