Theorem posdifd 10221

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
posdifd	|- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Proof of Theorem posdifd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnegd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		posdif 10128	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 673	1 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   e. wcel 1904   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   < clt 9693   - cmin 9880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-ltxr 9698  df-sub 9882  df-neg 9883

This theorem is referenced by:  possumd  10259  ltmul1a  10476  cshwcsh2id  12984  sqrlem7  13389  fsumlt  13937  bpoly4  14189  sin01gt0  14321  pythagtriplem10  14849  evth  22065  minveclem4  22452  minveclem4OLD  22464  ismbf3d  22689  itg2seq  22779  dvferm1lem  23015  dvferm2lem  23017  mvth  23023  dvlip  23024  dvgt0  23035  dvlt0  23036  dvge0  23037  dvcvx  23051  ftc1lem4  23070  pilem2  23486  pilem2OLD  23487  cosordlem  23559  lgamgulmlem2  24034  lgsquadlem1  24361  brbtwn2  25014  axpaschlem  25049  axcontlem8  25080  clwlkisclwwlklem2a4  25591  clwwlkext2edg  25609  minvecolem4  26603  minvecolem4OLD  26613  sgnsub  29488  signslema  29523  poimirlem7  32011  itg2addnclem  32057  itg2gt0cn  32061  ftc1cnnclem  32079  areacirclem1  32096  areacirc  32101  irrapxlem3  35739  pell14qrgt0  35776  rmspecnonsq  35826  rmspecfund  35828  rmspecpos  35835  jm3.1lem1  35943  radcnvrat  36733  supxrgere  37643  supxrgelem  37647  dvbdfbdioolem1  37897  dvbdfbdioolem2  37898  ioodvbdlimc1lem1  37900  ioodvbdlimc1lem2  37901  ioodvbdlimc1lem1OLD  37902  ioodvbdlimc1lem2OLD  37903  ioodvbdlimc2lem  37905  ioodvbdlimc2lemOLD  37906  dvnxpaek  37914  wallispilem4  38042  wallispi2lem1  38045  stirlinglem11  38058  fourierdlem4  38085  fourierdlem6  38087  fourierdlem7  38088  fourierdlem19  38100  fourierdlem26  38107  fourierdlem41  38123  fourierdlem42  38124  fourierdlem42OLD  38125  fourierdlem48  38130  fourierdlem49  38131  fourierdlem51  38133  fourierdlem61  38143  fourierdlem63  38145  fourierdlem64  38146  fourierdlem65  38147  fourierdlem71  38153  fourierdlem79  38161  fourierdlem89  38171  fourierdlem90  38172  fourierdlem91  38173  fouriersw  38207  etransclem15  38226  etransclem24  38235  etransclem25  38236  etransclem35  38246  hoidmvlelem2  38536  hoiqssbllem2  38563  nnoALTV  38969  zm1nn  39194  crctcsh1wlkn0  39999  nno  40836  fllog2  40887  dignn0flhalflem1  40934