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Theorem zm1nn 40348
Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
zm1nn ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem zm1nn
StepHypRef Expression
1 0red 9920 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
2 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
3 zre 11258 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4 nn0re 11178 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5 resubcl 10224 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
63, 4, 5syl2anr 494 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
8 peano2rem 10227 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑁) ∈ ℝ → ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ)
10 lelttr 10007 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
111, 2, 9, 10syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
12 1red 9934 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
1312, 6posdifd 10493 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿𝑁) ↔ 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
144adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
153adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
1612, 14, 15ltaddsubd 10506 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 ↔ 1 < (𝐿𝑁)))
17 elnn0z 11267 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
19 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
2218, 20, 21leadd2d 10501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 0) ≤ (1 + 𝑁)))
23 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
24 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
2523, 24readdcli 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 0) ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 0) ∈ ℝ)
27 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
2827, 19readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
303adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
31 lelttr 10007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + 0) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
3226, 29, 30, 31syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
33 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
36 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
37 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
3836, 37, 3ltaddsub2d 10507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 1)))
3938biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
4140imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → 0 < (𝐿 − 1))
42 elnnz 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 1)))
4335, 41, 42sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
4443ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
4532, 44syld 46 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
4645expd 451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4722, 46sylbid 229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4847impancom 455 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4917, 48sylbi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
5049imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5116, 50sylbird 249 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿𝑁) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5213, 51sylbird 249 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (0 < ((𝐿𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5352adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (0 < ((𝐿𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5411, 53syld 46 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5554ex 449 . . . 4 (𝐽 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
5655com23 84 . . 3 (𝐽 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
57563impib 1254 . 2 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5857com12 32 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255
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