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Theorem numclwwlk5 26639
 Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk5 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶,𝑛,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝑃   𝑣,𝐸   𝑣,𝐾,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk5
Dummy variables 𝑚 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1057 . . . . 5 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)
2 simpr3 1062 . . . . 5 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 2 ∥ (𝐾 − 1))
3 simpr1 1060 . . . . 5 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑋𝑉)
4 numclwwlk.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
5 numclwwlk.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
64, 5numclwwlk5lem 26638 . . . . 5 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1) ∧ 𝑋𝑉) → ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1)
71, 2, 3, 6syl3anc 1318 . . . 4 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1)
87a1i 11 . . 3 (𝑃 = 2 → (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1))
9 eleq1 2676 . . . . 5 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
10 breq1 4586 . . . . 5 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
119, 103anbi23d 1394 . . . 4 (𝑃 = 2 → ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))))
1211anbi2d 736 . . 3 (𝑃 = 2 → (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ↔ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)))))
13 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑃 = 2 → (𝑋𝐹𝑃) = (𝑋𝐹2))
1413fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑃 = 2 → (#‘(𝑋𝐹𝑃)) = (#‘(𝑋𝐹2)))
15 id 22 . . . . 5 (𝑃 = 2 → 𝑃 = 2)
1614, 15oveq12d 6567 . . . 4 (𝑃 = 2 → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2))
1716eqeq1d 2612 . . 3 (𝑃 = 2 → (((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1))
188, 12, 173imtr4d 282 . 2 (𝑃 = 2 → (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1))
19 3simpa 1051 . . . . . . . 8 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸))
2019adantr 480 . . . . . . 7 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸))
2120adantl 481 . . . . . 6 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸))
22 simprl3 1101 . . . . . 6 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑉 ∈ Fin)
23 simprr1 1102 . . . . . 6 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑋𝑉)
24 eldifsn 4260 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
25 oddprmge3 15250 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
2624, 25sylbir 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
2726ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ‘3)))
28273ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ‘3)))
2928adantl 481 . . . . . . 7 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ‘3)))
3029impcom 445 . . . . . 6 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
31 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢‘0) = (𝑤‘0))
3231eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑣))
33 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑛 − 2)))
3433, 31eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0) ↔ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0)))
3532, 34anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑤 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0)) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))))
3635cbvrabv 3172 . . . . . . . . 9 {𝑢 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))}
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑢 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
3837mpt2eq3ia 6618 . . . . . . 7 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑢 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0))}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
39 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑤 → ( lastS ‘𝑢) = ( lastS ‘𝑤))
4039neeq1d 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → (( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣 ↔ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣))
4132, 40anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑤 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)))
4241cbvrabv 3172 . . . . . . . . 9 {𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣)} = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)}
4342a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0) → {𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣)} = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
4443mpt2eq3ia 6618 . . . . . . 7 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣)}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
45 eqeq2 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑣 → ((𝑢‘0) = 𝑧 ↔ (𝑢‘0) = 𝑣))
4645anbi1d 737 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑣 → (((𝑢‘0) = 𝑧 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0)) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))))
4746rabbidv 3164 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑣 → {𝑢 ∈ (𝐶𝑚) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑧 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑢 ∈ (𝐶𝑚) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))})
48 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐶𝑚) = (𝐶𝑛))
49 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 2) = (𝑛 − 2))
5049fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑢‘(𝑚 − 2)) = (𝑢‘(𝑛 − 2)))
5150neeq1d 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0) ↔ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0)))
5251anbi2d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0)) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0))))
5348, 52rabeqbidv 3168 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → {𝑢 ∈ (𝐶𝑚) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑢 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0))})
5433, 31neeq12d 2843 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0) ↔ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
5532, 54anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑤 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0)) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
5655cbvrabv 3172 . . . . . . . . 9 {𝑢 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}
5753, 56syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → {𝑢 ∈ (𝐶𝑚) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
5847, 57cbvmpt2v 6633 . . . . . . 7 (𝑧𝑉, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑢 ∈ (𝐶𝑚) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑧 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
594, 5, 38, 44, 58numclwwlk3 26636 . . . . . 6 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑃 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
6021, 22, 23, 30, 59syl13anc 1320 . . . . 5 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (#‘(𝑋𝐹𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
6160oveq1d 6564 . . . 4 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
62 rusgraprop 26456 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾))
63 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
64633ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝐾 ∈ ℤ)
6665zred 11358 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝐾 ∈ ℝ)
67 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
69683ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
7069adantr 480 . . . . . . . 8 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
71 rusisusgra 26458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 USGrph 𝐸)
72 usgrav 25867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
7372simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 USGrph 𝐸𝐸 ∈ V)
7471, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝐸 ∈ V)
7574anim1i 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin))
7675ancomd 466 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V))
77763adant2 1073 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V))
78 prmm2nn0 15248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
7978anim2i 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
80793adant3 1074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
814, 5numclwwlkffin 26609 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑋𝑉 ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)) → (𝑋𝐹(𝑃 − 2)) ∈ Fin)
8277, 80, 81syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑋𝐹(𝑃 − 2)) ∈ Fin)
83 hashcl 13009 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐹(𝑃 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℕ0)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℕ0)
8584nn0red 11229 . . . . . . . 8 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℝ)
8670, 85remulcld 9949 . . . . . . 7 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ)
87663ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℝ)
88783ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
89 reexpcl 12739 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
9087, 88, 89syl2an 493 . . . . . . 7 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
91 prmnn 15226 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
9291nnrpd 11746 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
93923ad2ant2 1076 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
9493adantl 481 . . . . . . 7 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
9586, 90, 943jca 1235 . . . . . 6 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
9695adantl 481 . . . . 5 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
97 modaddabs 12570 . . . . . 6 ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
9897eqcomd 2616 . . . . 5 ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
9996, 98syl 17 . . . 4 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
100913ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
101100adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
102 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
10365, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
1041033ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
105104adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
10684nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℤ)
107101, 105, 1063jca 1235 . . . . . . . . 9 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℤ))
108 simpr3 1062 . . . . . . . . 9 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
109 mulmoddvds 14889 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0))
110107, 108, 109sylc 63 . . . . . . . 8 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0)
111653ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℤ)
112 simp2 1055 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
113111, 112anim12ci 589 . . . . . . . . 9 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
114 powm2modprm 15346 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))
115113, 108, 114sylc 63 . . . . . . . 8 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
116110, 115oveq12d 6567 . . . . . . 7 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1))
117116oveq1d 6564 . . . . . 6 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
118 0p1e1 11009 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
119118oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
12091nnred 10912 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
121 prmgt1 15247 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
122 1mod 12564 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
123120, 121, 122syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
124119, 123syl5eq 2656 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
1251243ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
126125adantl 481 . . . . . 6 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
127117, 126eqtrd 2644 . . . . 5 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
128127adantl 481 . . . 4 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
12961, 99, 1283eqtrd 2648 . . 3 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1)
130129ex 449 . 2 (𝑃 ≠ 2 → (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1))
13118, 130pm2.61ine 2865 1 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708   mod cmo 12530  ↑cexp 12722  #chash 12979   lastS clsw 13147   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223   USGrph cusg 25859   WWalksN cwwlkn 26206   ClWWalksN cclwwlkn 26277   VDeg cvdg 26420   RegUSGrph crusgra 26450   FriendGrph cfrgra 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-s2 13444  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-wlk 26036  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280  df-vdgr 26421  df-rgra 26451  df-rusgra 26452  df-frgra 26516 This theorem is referenced by:  numclwwlk6  26640
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