Theorem numclwwlk5 26639

Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk5	⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶,𝑛,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝑃   𝑣,𝐸   𝑣,𝐾,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑣,𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk5

Dummy variables 𝑚 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1057	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)
2		simpr3 1062	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 2 ∥ (𝐾 − 1))
3		simpr1 1060	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
4		numclwwlk.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
5		numclwwlk.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
6	4, 5	numclwwlk5lem 26638	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1))
9		eleq1 2676	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
10		breq1 4586	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
11	9, 10	3anbi23d 1394	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))))
12	11	anbi2d 736	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ↔ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)))))
13		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑋𝐹𝑃) = (𝑋𝐹2))
14	13	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (#‘(𝑋𝐹𝑃)) = (#‘(𝑋𝐹2)))
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → 𝑃 = 2)
16	14, 15	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2))
17	16	eqeq1d 2612	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1))
18	8, 12, 17	3imtr4d 282	. 2 ⊢ (𝑃 = 2 → (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1))
19		3simpa 1051	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸))
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸))
22		simprl3 1101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑉 ∈ Fin)
23		simprr1 1102	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		eldifsn 4260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
25		oddprmge3 15250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
26	24, 25	sylbir 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
27	26	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3)))
28	27	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3)))
29	28	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3)))
30	29	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
31		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢‘0) = (𝑤‘0))
32	31	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑣))
33		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑛 − 2)))
34	33, 31	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0) ↔ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0)))
35	32, 34	anbi12d 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0)) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))))
36	35	cbvrabv 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))}
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2)) → {𝑢 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
38	37	mpt2eq3ia 6618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑢 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0))}) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
39		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ( lastS ‘𝑢) = ( lastS ‘𝑤))
40	39	neeq1d 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣 ↔ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣))
41	32, 40	anbi12d 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)))
42	41	cbvrabv 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣)} = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)}
43	42	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → {𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣)} = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
44	43	mpt2eq3ia 6618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣)}) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
45		eqeq2 2621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ((𝑢‘0) = 𝑧 ↔ (𝑢‘0) = 𝑣))
46	45	anbi1d 737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → (((𝑢‘0) = 𝑧 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0)) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))))
47	46	rabbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → {𝑢 ∈ (𝐶‘𝑚) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑧 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑢 ∈ (𝐶‘𝑚) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))})
48		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
49		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 2) = (𝑛 − 2))
50	49	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑢‘(𝑚 − 2)) = (𝑢‘(𝑛 − 2)))
51	50	neeq1d 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0) ↔ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0)))
52	51	anbi2d 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0)) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0))))
53	48, 52	rabeqbidv 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → {𝑢 ∈ (𝐶‘𝑚) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑢 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0))})
54	33, 31	neeq12d 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0) ↔ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
55	32, 54	anbi12d 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0)) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
56	55	cbvrabv 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}
57	53, 56	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → {𝑢 ∈ (𝐶‘𝑚) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
58	47, 57	cbvmpt2v 6633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑉, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑢 ∈ (𝐶‘𝑚) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑧 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))}) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
59	4, 5, 38, 44, 58	numclwwlk3 26636	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
60	21, 22, 23, 30, 59	syl13anc 1320	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (#‘(𝑋𝐹𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
61	60	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
62		rusgraprop 26456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾))
63		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℤ)
64	63	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝐾 ∈ ℤ)
66	65	zred 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝐾 ∈ ℝ)
67		peano2rem 10227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
69	68	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
70	69	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
71		rusisusgra 26458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝑉 USGrph 𝐸)
72		usgrav 25867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
73	72	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → 𝐸 ∈ V)
74	71, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝐸 ∈ V)
75	74	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ Fin))
76	75	ancomd 466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V))
77	76	3adant2 1073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V))
78		prmm2nn0 15248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
79	78	anim2i 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
80	79	3adant3 1074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
81	4, 5	numclwwlkffin 26609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)) → (𝑋𝐹(𝑃 − 2)) ∈ Fin)
82	77, 80, 81	syl2an 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑋𝐹(𝑃 − 2)) ∈ Fin)
83		hashcl 13009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋𝐹(𝑃 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℕ0)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℕ0)
85	84	nn0red 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℝ)
86	70, 85	remulcld 9949	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ)
87	66	3ad2ant1 1075	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℝ)
88	78	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
89		reexpcl 12739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
90	87, 88, 89	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
91		prmnn 15226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
92	91	nnrpd 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
93	92	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
94	93	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
95	86, 90, 94	3jca 1235	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
96	95	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
97		modaddabs 12570	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
98	97	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
99	96, 98	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
100	91	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
101	100	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
102		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
103	65, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
104	103	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
106	84	nn0zd 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℤ)
107	101, 105, 106	3jca 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℤ))
108		simpr3 1062	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
109		mulmoddvds 14889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0))
110	107, 108, 109	sylc 63	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0)
111	65	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℤ)
112		simp2 1055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℙ)
113	111, 112	anim12ci 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
114		powm2modprm 15346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))
115	113, 108, 114	sylc 63	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
116	110, 115	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1))
117	116	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
118		0p1e1 11009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
119	118	oveq1i 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
120	91	nnred 10912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
121		prmgt1 15247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
122		1mod 12564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
123	120, 121, 122	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
124	119, 123	syl5eq 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
125	124	3ad2ant2 1076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
126	125	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
127	117, 126	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
128	127	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
129	61, 99, 128	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1)
130	129	ex 449	. 2 ⊢ (𝑃 ≠ 2 → (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1))
131	18, 130	pm2.61ine 2865	1 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708   mod cmo 12530  ↑cexp 12722  #chash 12979   lastS clsw 13147   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223   USGrph cusg 25859   WWalksN cwwlkn 26206   ClWWalksN cclwwlkn 26277   VDeg cvdg 26420   RegUSGrph crusgra 26450   FriendGrph cfrgra 26515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-s2 13444  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-wlk 26036  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280  df-vdgr 26421  df-rgra 26451  df-rusgra 26452  df-frgra 26516

This theorem is referenced by:  numclwwlk6  26640