MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem reexpcl 12296
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
reexpcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )

Proof of Theorem reexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9601 . 2  |-  RR  C_  CC
2 remulcl 9629 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
3 1re 9647 . 2  |-  1  e.  RR
41, 2, 3expcllem 12290 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1889  (class class class)co 6295   RRcr 9543   NN0cn0 10876   ^cexp 12279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-seq 12221  df-exp 12280
This theorem is referenced by:  expgt1  12317  leexp2r  12337  leexp1a  12338  resqcl  12349  bernneq  12405  bernneq3  12407  expnbnd  12408  expnlbnd  12409  expmulnbnd  12411  digit2  12412  digit1  12413  reexpcld  12440  faclbnd  12482  faclbnd2  12483  faclbnd3  12484  faclbnd4lem1  12485  faclbnd5  12490  faclbnd6  12491  geomulcvg  13944  reeftcl  14141  ege2le3  14156  eftlub  14175  eflegeo  14187  resin4p  14204  recos4p  14205  ef01bndlem  14250  sin01bnd  14251  cos01bnd  14252  sin01gt0  14256  rpnnen2lem2  14280  rpnnen2lem4  14282  rpnnen2lem11  14289  powm2modprm  14766  prmreclem6  14877  mbfi1fseqlem6  22690  aaliou3lem8  23313  radcnvlem1  23380  abelthlem5  23402  abelthlem7  23405  tangtx  23472  advlogexp  23612  logtayllem  23616  leibpilem2  23879  leibpi  23880  leibpisum  23881  basellem3  24021  chtublem  24151  logexprlim  24165  dchrisum0flblem1  24358  pntlem3  24459  ostth2lem1  24468  ostth2lem3  24485  ostth3  24488  numclwwlk5  25852  subfacval2  29922  nn0prpw  30991  mblfinlem1  31989  mblfinlem2  31990  bfplem1  32166  rpexpmord  35808  tgoldbach  38921  dignn0fr  40516  digexp  40522  dig2bits  40529
  Copyright terms: Public domain W3C validator