MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcl Structured version   Unicode version

Theorem reexpcl 11866
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
reexpcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )

Proof of Theorem reexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9327 . 2  |-  RR  C_  CC
2 remulcl 9355 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
3 1re 9373 . 2  |-  1  e.  RR
41, 2, 3expcllem 11860 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   RRcr 9269   NN0cn0 10567   ^cexp 11849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-seq 11791  df-exp 11850
This theorem is referenced by:  expgt1  11886  leexp2r  11905  leexp1a  11906  resqcl  11917  bernneq  11974  bernneq3  11976  expnbnd  11977  expnlbnd  11978  expmulnbnd  11980  digit2  11981  digit1  11982  reexpcld  12009  faclbnd  12050  faclbnd2  12051  faclbnd3  12052  faclbnd4lem1  12053  faclbnd5  12058  faclbnd6  12059  geomulcvg  13319  reeftcl  13343  ege2le3  13358  eftlub  13376  eflegeo  13388  resin4p  13405  recos4p  13406  ef01bndlem  13451  sin01bnd  13452  cos01bnd  13453  sin01gt0  13457  rpnnen2lem2  13481  rpnnen2lem4  13483  rpnnen2lem11  13490  prmreclem6  13965  mbfi1fseqlem6  21040  aaliou3lem8  21696  radcnvlem1  21763  abelthlem5  21785  abelthlem7  21788  tangtx  21852  advlogexp  21985  logtayllem  21989  leibpilem2  22221  leibpi  22222  leibpisum  22223  basellem3  22305  chtublem  22435  logexprlim  22449  dchrisum0flblem1  22642  pntlem3  22743  ostth2lem1  22752  ostth2lem3  22769  ostth3  22772  subfacval2  26923  mblfinlem1  28272  mblfinlem2  28273  nn0prpw  28362  bfplem1  28565  rpexpmord  29134  powm2modprm  30094  numclwwlk5  30551
  Copyright terms: Public domain W3C validator