MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcl Structured version   Unicode version

Theorem reexpcl 12186
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
reexpcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )

Proof of Theorem reexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9566 . 2  |-  RR  C_  CC
2 remulcl 9594 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
3 1re 9612 . 2  |-  1  e.  RR
41, 2, 3expcllem 12180 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1819  (class class class)co 6296   RRcr 9508   NN0cn0 10816   ^cexp 12169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-seq 12111  df-exp 12170
This theorem is referenced by:  expgt1  12207  leexp2r  12226  leexp1a  12227  resqcl  12238  bernneq  12295  bernneq3  12297  expnbnd  12298  expnlbnd  12299  expmulnbnd  12301  digit2  12302  digit1  12303  reexpcld  12330  faclbnd  12371  faclbnd2  12372  faclbnd3  12373  faclbnd4lem1  12374  faclbnd5  12379  faclbnd6  12380  geomulcvg  13697  reeftcl  13822  ege2le3  13837  eftlub  13856  eflegeo  13868  resin4p  13885  recos4p  13886  ef01bndlem  13931  sin01bnd  13932  cos01bnd  13933  sin01gt0  13937  rpnnen2lem2  13961  rpnnen2lem4  13963  rpnnen2lem11  13970  powm2modprm  14340  prmreclem6  14451  mbfi1fseqlem6  22253  aaliou3lem8  22867  radcnvlem1  22934  abelthlem5  22956  abelthlem7  22959  tangtx  23024  advlogexp  23162  logtayllem  23166  leibpilem2  23398  leibpi  23399  leibpisum  23400  basellem3  23482  chtublem  23612  logexprlim  23626  dchrisum0flblem1  23819  pntlem3  23920  ostth2lem1  23929  ostth2lem3  23946  ostth3  23949  numclwwlk5  25239  subfacval2  28828  mblfinlem1  30256  mblfinlem2  30257  nn0prpw  30346  bfplem1  30523  rpexpmord  31088
  Copyright terms: Public domain W3C validator