MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcl Structured version   Unicode version

Theorem reexpcl 11998
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
reexpcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )

Proof of Theorem reexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9449 . 2  |-  RR  C_  CC
2 remulcl 9477 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
3 1re 9495 . 2  |-  1  e.  RR
41, 2, 3expcllem 11992 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758  (class class class)co 6199   RRcr 9391   NN0cn0 10689   ^cexp 11981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-seq 11923  df-exp 11982
This theorem is referenced by:  expgt1  12018  leexp2r  12037  leexp1a  12038  resqcl  12049  bernneq  12106  bernneq3  12108  expnbnd  12109  expnlbnd  12110  expmulnbnd  12112  digit2  12113  digit1  12114  reexpcld  12141  faclbnd  12182  faclbnd2  12183  faclbnd3  12184  faclbnd4lem1  12185  faclbnd5  12190  faclbnd6  12191  geomulcvg  13453  reeftcl  13477  ege2le3  13492  eftlub  13510  eflegeo  13522  resin4p  13539  recos4p  13540  ef01bndlem  13585  sin01bnd  13586  cos01bnd  13587  sin01gt0  13591  rpnnen2lem2  13615  rpnnen2lem4  13617  rpnnen2lem11  13624  prmreclem6  14099  mbfi1fseqlem6  21330  aaliou3lem8  21943  radcnvlem1  22010  abelthlem5  22032  abelthlem7  22035  tangtx  22099  advlogexp  22232  logtayllem  22236  leibpilem2  22468  leibpi  22469  leibpisum  22470  basellem3  22552  chtublem  22682  logexprlim  22696  dchrisum0flblem1  22889  pntlem3  22990  ostth2lem1  22999  ostth2lem3  23016  ostth3  23019  subfacval2  27218  mblfinlem1  28575  mblfinlem2  28576  nn0prpw  28665  bfplem1  28868  rpexpmord  29436  powm2modprm  30395  numclwwlk5  30852
  Copyright terms: Public domain W3C validator