MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcld Structured version   Unicode version

Theorem reexpcld 12309
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
reexpcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
reexpcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
reexpcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )

Proof of Theorem reexpcld
StepHypRef Expression
1 reexpcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 reexpcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 reexpcl 12165 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   RRcr 9494   NN0cn0 10802   ^cexp 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-seq 12090  df-exp 12149
This theorem is referenced by:  faclbnd  12350  facubnd  12360  explecnv  13658  geomulcvg  13667  cvgrat  13674  efcllem  13795  eftlub  13826  bitsfzolem  14066  bitsfzo  14067  pclem  14344  taylthlem2  22747  radcnvlem1  22786  abelthlem7  22811  advlogexp  23014  leibpi  23251  ftalem1  23324  ftalem2  23325  ftalem5  23328  vma1  23418  logexprlim  23478  bposlem6  23542  rplogsumlem2  23648  rpvmasumlem  23650  dchrisum0flblem1  23671  pntlem3  23772  ostth2lem1  23781  ostth2lem2  23797  ostth2lem3  23798  ostth3  23801  nexple  27983  eulerpartlemgc  28279  signsply0  28486  geomcau  30228  bfplem1  30294  expmordi  30859  jm2.17a  30874  jm2.17b  30875  jm2.17c  30876  jm3.1lem1  30935  jm3.1lem2  30936  stoweidlem1  31737  stoweidlem3  31739  stoweidlem7  31743  stoweidlem12  31748  stoweidlem19  31755  stoweidlem24  31760  stoweidlem25  31761  stoweidlem40  31776  stoweidlem42  31778  stoweidlem45  31781  wallispilem1  31801  stirlinglem10  31819  stirlinglem11  31820  stirlingr  31826  etransclem23  31994  etransclem48  32019
  Copyright terms: Public domain W3C validator