MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcld Structured version   Unicode version

Theorem reexpcld 12289
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
reexpcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
reexpcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
reexpcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )

Proof of Theorem reexpcld
StepHypRef Expression
1 reexpcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 reexpcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 reexpcl 12146 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   RRcr 9487   NN0cn0 10791   ^cexp 12129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-seq 12071  df-exp 12130
This theorem is referenced by:  faclbnd  12330  facubnd  12340  explecnv  13632  geomulcvg  13641  cvgrat  13648  efcllem  13668  eftlub  13698  bitsfzolem  13936  bitsfzo  13937  pclem  14214  taylthlem2  22500  radcnvlem1  22539  abelthlem7  22564  advlogexp  22761  leibpi  22998  ftalem1  23071  ftalem2  23072  ftalem5  23075  vma1  23165  logexprlim  23225  bposlem6  23289  rplogsumlem2  23395  rpvmasumlem  23397  dchrisum0flblem1  23418  pntlem3  23519  ostth2lem1  23528  ostth2lem2  23544  ostth2lem3  23545  ostth3  23548  nexple  27642  eulerpartlemgc  27938  signsply0  28145  geomcau  29853  bfplem1  29919  expmordi  30485  jm2.17a  30500  jm2.17b  30501  jm2.17c  30502  jm3.1lem1  30563  jm3.1lem2  30564  stoweidlem1  31301  stoweidlem3  31303  stoweidlem7  31307  stoweidlem12  31312  stoweidlem19  31319  stoweidlem24  31324  stoweidlem25  31325  stoweidlem40  31340  stoweidlem42  31342  stoweidlem45  31345  wallispilem1  31365  stirlinglem10  31383  stirlinglem11  31384  stirlingr  31390
  Copyright terms: Public domain W3C validator