MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reexpcld Structured version   Unicode version

Theorem reexpcld 12030
Description: Closure of exponentiation of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
reexpcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
reexpcld.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
reexpcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )

Proof of Theorem reexpcld
StepHypRef Expression
1 reexpcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 reexpcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 reexpcl 11887 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6096   RRcr 9286   NN0cn0 10584   ^cexp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-seq 11812  df-exp 11871
This theorem is referenced by:  faclbnd  12071  facubnd  12081  explecnv  13332  geomulcvg  13341  cvgrat  13348  efcllem  13368  eftlub  13398  bitsfzolem  13635  bitsfzo  13636  pclem  13910  taylthlem2  21844  radcnvlem1  21883  abelthlem7  21908  advlogexp  22105  leibpi  22342  ftalem1  22415  ftalem2  22416  ftalem5  22419  vma1  22509  logexprlim  22569  bposlem6  22633  rplogsumlem2  22739  rpvmasumlem  22741  dchrisum0flblem1  22762  pntlem3  22863  ostth2lem1  22872  ostth2lem2  22888  ostth2lem3  22889  ostth3  22892  nexple  26453  eulerpartlemgc  26750  signsply0  26957  geomcau  28660  bfplem1  28726  expmordi  29293  jm2.17a  29308  jm2.17b  29309  jm2.17c  29310  jm3.1lem1  29371  jm3.1lem2  29372  stoweidlem1  29801  stoweidlem3  29803  stoweidlem7  29807  stoweidlem12  29812  stoweidlem19  29819  stoweidlem24  29824  stoweidlem25  29825  stoweidlem40  29840  stoweidlem42  29842  stoweidlem45  29845  wallispilem1  29865  stirlinglem10  29883  stirlinglem11  29884  stirlingr  29890
  Copyright terms: Public domain W3C validator