av-numclwwlk5 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem av-numclwwlk5 41542

Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
av-numclwwlk4.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
av-numclwwlk4.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})

**Assertion**
Ref	Expression
av-numclwwlk5	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝑉 𝑤,𝐹 𝑤,𝐾 𝑃,𝑛,𝑣,𝑤 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑣,𝑛) 𝐾(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem av-numclwwlk5 Dummy variables 𝑚 𝑢 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1057	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2		simpr1 1060	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		av-numclwwlk4.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	finrusgrfusgr 40765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
5	4	3adant2 1073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
7		simpr1 1060	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
8		ne0i 3880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ≠ ∅)
10	3	frusgrnn0 40771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
12	11	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
13	12	3ad2ant1 1075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
14	13	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
15	1, 2, 14	3jca 1235	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀))
16		simpr3 1062	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 2 ∥ (𝐾 − 1))
17		av-numclwwlk4.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
18	3, 17	av-numclwwlk5lem 41541	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ ℕ₀) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1))
19	15, 16, 18	sylc 63	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1))
21		eleq1 2676	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
22		breq1 4586	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
23	21, 22	3anbi23d 1394	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))))
24	23	anbi2d 736	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ↔ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)))))
25		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑋𝐹𝑃) = (𝑋𝐹2))
26	25	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → (#‘(𝑋𝐹𝑃)) = (#‘(𝑋𝐹2)))
27		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 2 → 𝑃 = 2)
28	26, 27	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2))
29	28	eqeq1d 2612	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((#‘(𝑋𝐹2)) mod 2) = 1))
30	20, 24, 29	3imtr4d 282	. 2 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1))
31		3simpa 1051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
32	31	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
33	32	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ))
34		simprl3 1101	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑉 ∈ Fin)
35		simprr1 1102	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
36		eldifsn 4260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
37		oddprmge3 15250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
38	36, 37	sylbir 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
39	38	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
40	39	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
41	40	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3)))
42	41	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))
43		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢‘0) = (𝑤‘0))
44	43	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢‘0) = 𝑣 ↔ (𝑤‘0) = 𝑣))
45		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ( lastS ‘𝑢) = ( lastS ‘𝑤))
46	45	neeq1d 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣 ↔ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣))
47	44, 46	anbi12d 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)))
48	47	cbvrabv 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣)} = {𝑤 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)}
49	48	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → {𝑢 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣)} = {𝑤 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
50	49	mpt2eq3ia 6618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑢 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑣)}) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
51		eqeq2 2621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → ((𝑢‘0) = 𝑧 ↔ (𝑢‘0) = 𝑣))
52	51	anbi1d 737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → (((𝑢‘0) = 𝑧 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0)) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))))
53	52	rabbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → {𝑢 ∈ (𝑚 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑧 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑢 ∈ (𝑚 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))})
54		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 ClWWalkSN 𝐺) = (𝑛 ClWWalkSN 𝐺))
55		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 − 2) = (𝑛 − 2))
56	55	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑢‘(𝑚 − 2)) = (𝑢‘(𝑛 − 2)))
57	56	neeq1d 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0) ↔ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0)))
58	57	anbi2d 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0)) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0))))
59	54, 58	rabeqbidv 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → {𝑢 ∈ (𝑚 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑢 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0))})
60		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑛 − 2)))
61	60, 43	neeq12d 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0) ↔ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0)))
62	44, 61	anbi12d 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0)) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
63	62	cbvrabv 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}
64	59, 63	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → {𝑢 ∈ (𝑚 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
65	53, 64	cbvmpt2v 6633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑉, 𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑢 ∈ (𝑚 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑧 ∧ (𝑢‘(𝑚 − 2)) ≠ (𝑢‘0))}) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
66	60, 43	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → ((𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0) ↔ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0)))
67	44, 66	anbi12d 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0)) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))))
68	67	cbvrabv 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑢 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))}
69	68	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2)) → {𝑢 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0))} = {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
70	69	mpt2eq3ia 6618	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑢 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑢‘0) = 𝑣 ∧ (𝑢‘(𝑛 − 2)) = (𝑢‘0))}) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
71	3, 50, 17, 65, 70	av-numclwwlk3 41539	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
72	33, 34, 35, 42, 71	syl13anc 1320	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (#‘(𝑋𝐹𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
73	72	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
74	12	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ₀))
75	74	impcom 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
76	75	nn0zd 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
77		peano2zm 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
78		zre 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
79	76, 77, 78	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
80		simpl3 1059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
81		simpr1 1060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
82		prmm2nn0 15248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
83	82	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀)
85	80, 81, 84	3jca 1235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀))
86	17, 3	av-numclwwlkffin0 41513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ₀) → (𝑋𝐹(𝑃 − 2)) ∈ Fin)
87		hashcl 13009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋𝐹(𝑃 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℕ₀)
88	85, 86, 87	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℕ₀)
89	88	nn0red 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℝ)
90	79, 89	remulcld 9949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ)
91	75	nn0red 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
92	91, 84	reexpcld 12887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
93		prmnn 15226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
94	93	nnrpd 11746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
95	94	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
96	95	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ⁺)
97	90, 92, 96	3jca 1235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺))
98	97	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺))
99		modaddabs 12570	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
100	99	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ⁺) → ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
101	98, 100	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
102	93	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
103	102	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
104		nn0z 11277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → 𝐾 ∈ ℤ)
105	75, 104, 77	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
106	88	nn0zd 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℤ)
107	103, 105, 106	3jca 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℤ))
108		simpr3 1062	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
109		mulmoddvds 14889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0))
110	107, 108, 109	sylc 63	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0)
111		simpr2 1061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
112	111, 76	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
113		powm2modprm 15346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))
114	112, 108, 113	sylc 63	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
115	110, 114	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1))
116	115	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
117		0p1e1 11009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
118	117	oveq1i 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
119	93	nnred 10912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
120		prmgt1 15247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
121		1mod 12564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
122	119, 120, 121	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
123	118, 122	syl5eq 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
124	123	3ad2ant2 1076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
125	124	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
126	116, 125	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
127	126	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
128	73, 101, 127	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1)
129	128	ex 449	. 2 ⊢ (𝑃 ≠ 2 → (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1))
130	30, 129	pm2.61ine 2865	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑋𝐹𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 {crab 2900 ∖ cdif 3537 ∅c0 3874 {csn 4125 class class class wbr 4583 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ↦ cmpt2 6551 Fincfn 7841 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 < clt 9953 − cmin 10145 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ℝ⁺crp 11708 mod cmo 12530 ↑cexp 12722 #chash 12979 lastS clsw 13147 ∥ cdvds 14821 ℙcprime 15223 Vtxcvtx 25673 FinUSGraph cfusgr 40535 RegUSGraph crusgr 40756 WWalkSN cwwlksn 41029 ClWWalkSN cclwwlksn 41184 FriendGraph cfrgr 41428

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-disj 4554 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-xnn0 11241 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-xadd 11823 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155 df-concat 13156 df-s1 13157 df-substr 13158 df-s2 13444 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-clim 14067 df-sum 14265 df-dvds 14822 df-gcd 15055 df-prm 15224 df-phi 15309 df-vtx 25675 df-iedg 25676 df-uhgr 25724 df-ushgr 25725 df-upgr 25749 df-umgr 25750 df-edga 25793 df-uspgr 40380 df-usgr 40381 df-fusgr 40536 df-nbgr 40554 df-vtxdg 40682 df-rgr 40757 df-rusgr 40758 df-wwlks 41033 df-wwlksn 41034 df-clwwlks 41185 df-clwwlksn 41186 df-frgr 41429

This theorem is referenced by: av-numclwwlk6 41544

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