MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1mod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1mod 12564
Description: Special case: 1 modulo a real number greater than 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
1mod ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1mod
StepHypRef Expression
1 0lt1 10429 . . . . . 6 0 < 1
2 0re 9919 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 9918 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
4 lttr 9993 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
52, 3, 4mp3an12 1406 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
61, 5mpani 708 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
76imdistani 722 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
8 elrp 11710 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ+ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
97, 8sylibr 223 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
109, 3jctil 558 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
11 simpr 476 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
12 0le1 10430 . . 3 0 ≤ 1
1311, 12jctil 558 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 ≤ 1 ∧ 1 < 𝑁))
14 modid 12557 . 2 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 𝑁)) → (1 mod 𝑁) = 1)
1510, 13, 14syl2anc 691 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  cle 9954  +crp 11708   mod cmo 12530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531
This theorem is referenced by:  mulp1mod1  12573  mod2eq1n2dvds  14909  modprm1div  15340  vfermltl  15344  pockthlem  15447  pockthi  15449  sylow3lem6  17870  wilthlem1  24594  lgslem4  24825  lgsne0  24860  gausslemma2dlem0i  24889  gausslemma2dlem7  24898  gausslemma2d  24899  numclwwlk5  26639  numclwwlk7  26641  m1mod0mod1  39949  fmtnoprmfac1lem  40014  fmtnoprmfac2lem1  40016  sfprmdvdsmersenne  40058  modexp2m1d  40067  av-numclwwlk5  41542  av-numclwwlk7  41545  digexp  42199
  Copyright terms: Public domain W3C validator