Theorem vfermltlALT 15345

Description: Alternate proof of vfermltl 15344, not using Euler's theorem. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
vfermltlALT	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem vfermltlALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2m1e1 11012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 − 1) = 1)
3	2	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 = (2 − 1))
4	3	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) = (𝑃 − (2 − 1)))
5		prmz 15227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6	5	zcnd 11359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
7		2cnd 10970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 2 ∈ ℂ)
8		1cnd 9935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	subsubd 10299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − (2 − 1)) = ((𝑃 − 2) + 1))
10	4, 9	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) = ((𝑃 − 2) + 1))
11	10	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) = ((𝑃 − 2) + 1))
12	11	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 1)) = (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)))
13		zcn 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	3ad2ant2 1076	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
15		prmm2nn0 15248	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
16	15	3ad2ant1 1075	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
17	14, 16	expp1d 12871	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 2) + 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
18	12, 17	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 1)) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴))
19	18	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) mod 𝑃))
20	15	anim1i 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑃 − 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
21	20	ancomd 466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0))
22		zexpcl 12737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
24	23	zred 11358	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
25	24	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
26		simp2 1055	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
27		prmnn 15226	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 11746	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
29	28	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ+)
30		modmulmod 12597	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) mod 𝑃))
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) · 𝐴) mod 𝑃))
32		zre 11258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
34	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
35	33, 34	reexpcld 12887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
36	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
37	35, 36	modcld 12536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℝ)
38	37	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ ℂ)
39	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	38, 39	mulcomd 9940	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
41	40	3adant3 1074	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
42	41	oveq1d 6564	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) · 𝐴) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
43	19, 31, 42	3eqtr2d 2650	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
44		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
45	44	modprminv 15342	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1))
46	45	simprd 478	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴 · ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
47	43, 46	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ...cfz 12197   mod cmo 12530  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309

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