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Theorem stirlinglem10 37762
Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole  B sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem10.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem10.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem10.4  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
stirlinglem10.5  |-  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, K    n, L    k, N, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)    K( k)    L( k)

Proof of Theorem stirlinglem10
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10968 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
3 stirlinglem10.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4 stirlinglem10.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
5 eqid 2422 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
6 stirlinglem10.4 . . 3  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
73, 4, 5, 6stirlinglem9 37761 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) ) )
8 2cnd 10682 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
9 nncn 10617 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
108, 9mulcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
11 1cnd 9659 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1210, 11addcld 9662 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
1312sqcld 12413 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
14 0red 9644 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
15 1red 9658 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
16 2re 10679 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
18 nnre 10616 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1917, 18remulcld 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
2019, 15readdcld 9670 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
21 0lt1 10136 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
23 2rp 11307 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
25 nnrp 11311 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
2624, 25rpmulcld 11357 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
2715, 26ltaddrp2d 11372 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
2814, 15, 20, 22, 27lttrd 9796 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
2928gt0ne0d 10178 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
30 2z 10969 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
3212, 29, 31expne0d 12421 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 )
3313, 32reccld 10376 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
3415renegcld 10046 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  RR )
3520resqcld 12441 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
3635, 32rereccld 10434 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
37 1re 9642 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
38 lt0neg2 10121 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
4022, 39sylib 199 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  0 )
4120, 29sqgt0d 12443 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
4235, 41recgt0d 10541 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
4334, 14, 36, 40, 42lttrd 9796 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
44 2nn 10767 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN )
46 expgt1 12309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  NN  /\  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  ->  1  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
4720, 45, 27, 46syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
4835, 41elrpd 11338 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
4948recgt1d 11355 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  <  1 ) )
5047, 49mpbid 213 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  <  1 )
5136, 15absltd 13477 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  /\  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  <  1 ) ) )
5243, 50, 51mpbir2and 930 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )  <  1 )
53 1nn0 10885 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
5453a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
55 stirlinglem10.5 . . . . . 6  |-  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
) )
5655a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ->  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
k ) ) )
57 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  =  j )  ->  k  =  j )
5857oveq2d 6317 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  =  j )  ->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
)  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
59 elnnuz 11195 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6059biimpri 209 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  NN )
6160adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
j  e.  NN )
6233adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
6361nnnn0d 10925 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
j  e.  NN0 )
6462, 63expcld 12415 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j
)  e.  CC )
6556, 58, 61, 64fvmptd 5966 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( L `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
6633, 52, 54, 65geolim2 13912 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  L )  ~~>  ( ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) ) )
6733exp1d 12410 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  =  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
6813, 32dividd 10381 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  1 )
6968eqcomd 2430 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
7069oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
7148rpcnne0d 11350 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 ) )
72 divsubdir 10303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
7313, 11, 71, 72syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
74 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
75 binom2 12388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
7610, 74, 75sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
7776oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  - 
1 ) )
788, 9sqmuld 12427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( N ^ 2 ) ) )
79 sq2 12370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ 2 )  =  4 )
8180oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( N ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( N ^ 2 ) ) )
8278, 81eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( N ^ 2 ) ) )
8310mulid1d 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  x.  1 )  =  ( 2  x.  N ) )
8483oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
858, 8, 9mulassd 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
86 2t2e4 10759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  2 )  =  4 )
8887oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 4  x.  N ) )
8984, 85, 883eqtr2d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) )  =  ( 4  x.  N ) )
9082, 89oveq12d 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( N ^
2 ) )  +  ( 4  x.  N
) ) )
91 4cn 10687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
939sqcld 12413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
9492, 93, 9adddid 9667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( ( N ^ 2 )  +  N ) )  =  ( ( 4  x.  ( N ^
2 ) )  +  ( 4  x.  N
) ) )
959sqvald 12412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
969mulid1d 9660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
9796eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( N  x.  1 ) )
9895, 97oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  +  N )  =  ( ( N  x.  N )  +  ( N  x.  1 ) ) )
999, 9, 11adddid 9667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  N )  +  ( N  x.  1 ) ) )
10098, 99eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  +  N )  =  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )
101100oveq2d 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( ( N ^ 2 )  +  N ) )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10290, 94, 1013eqtr2d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
103 sq1 12368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
105102, 104oveq12d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  +  1 ) )
106105oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  +  1 )  - 
1 ) )
1079, 11addcld 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
1089, 107mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
10992, 108mulcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
110109, 11pncand 9987 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
11177, 106, 1103eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
112111oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
11370, 73, 1123eqtr2d 2469 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
11467, 113oveq12d 6319 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  / 
( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
115 4pos 10705 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
116115a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
117116gt0ne0d 10178 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
118 nnne0 10642 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
11918, 15readdcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
120 nngt0 10638 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
12118ltp1d 10537 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
12214, 18, 119, 120, 121lttrd 9796 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
123122gt0ne0d 10178 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
1249, 107, 118, 123mulne0d 10264 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
12592, 108, 117, 124mulne0d 10264 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =/=  0 )
12611, 13, 109, 13, 32, 32, 125divdivdivd 10430 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
12711, 13mulcomd 9664 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )
128127oveq1d 6316 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
12911mulid1d 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  =  1 )
130129eqcomd 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( 1  x.  1 ) )
131130oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  / 
( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13211, 92, 11, 108, 117, 124divmuldivd 10424 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  / 
( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
133131, 132eqtr4d 2466 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13468, 133oveq12d 6319 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( 1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13513, 13, 11, 109, 32, 125divmuldivd 10424 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( 1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13692, 117reccld 10376 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
137108, 124reccld 10376 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
138136, 137mulcld 9663 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  e.  CC )
139138mulid2d 9661 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
140134, 135, 1393eqtr3d 2471 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  1 )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
141126, 128, 1403eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
142114, 141eqtrd 2463 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
14366, 142breqtrd 4445 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  L )  ~~>  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
14459biimpi 197 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
145144adantl 467 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
1466a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) ) )
147 oveq2 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
148147oveq1d 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
149148oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
150147oveq2d 6317 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )
151149, 150oveq12d 6319 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )
152151adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  /\  k  =  n )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
153 elfznn 11828 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
154153adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN )
155 2cnd 10682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  CC )
156154nncnd 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  CC )
157155, 156mulcld 9663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
158 1cnd 9659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  CC )
159157, 158addcld 9662 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  CC )
160 0red 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
161 1red 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
16216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
163 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
164162, 163remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
165164, 161readdcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
16621a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
16723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
168 nnrp 11311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
169167, 168rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
170161, 169ltaddrp2d 11372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
171160, 161, 165, 166, 170lttrd 9796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
172153, 171syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
173172gt0ne0d 10178 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
174173adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =/=  0
)
175159, 174reccld 10376 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
1769adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  CC )
177155, 176mulcld 9663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
178177, 158addcld 9662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
17929adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0
)
180178, 179reccld 10376 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
181 2nn0 10886 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
182181a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  NN0 )
183154nnnn0d 10925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN0 )
184182, 183nn0mulcld 10930 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN0 )
185180, 184expcld 12415 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  e.  CC )
186175, 185mulcld 9663 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  e.  CC )
187146, 152, 154, 186fvmptd 5966 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
188187adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
189171gt0ne0d 10178 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
190165, 189rereccld 10434 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
191153, 190syl 17 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
192191adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
19320, 29rereccld 10434 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
194193adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
195194, 184reexpcld 12432 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  e.  RR )
196195adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
197192, 196remulcld 9671 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )  e.  RR )
198188, 197eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  e.  RR )
199 readdcl 9622 . . . 4  |-  ( ( n  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( n  +  i )  e.  RR )
200199adantl 467 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )  -> 
( n  +  i )  e.  RR )
201145, 198, 200seqcl 12232 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `
 j )  e.  RR )
20255a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) ) )
203 oveq2 6309 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k )  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n ) )
204203adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  /\  k  =  n )  ->  ( (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )
20533adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
206205, 183expcld 12415 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  CC )
207202, 204, 154, 206fvmptd 5966 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
20836adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
209208, 183reexpcld 12432 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  RR )
210207, 209eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  e.  RR )
211210adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  e.  RR )
212145, 211, 200seqcl 12232 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  L ) `
 j )  e.  RR )
21330a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  2  e.  ZZ )
214 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  ZZ )
215213, 214zmulcld 11046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
216 1exp 12300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
217215, 216syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
218 1exp 12300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
219214, 218syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
220217, 219eqtr4d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  ( 1 ^ n ) )
221220adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1 ^ ( 2  x.  n
) )  =  ( 1 ^ n ) )
222178, 183, 182expmuld 12418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) )
223221, 222oveq12d 6319 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1 ^ ( 2  x.  n ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ (
2  x.  n ) ) )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
224158, 178, 179, 184expdivd 12429 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( 1 ^ (
2  x.  n ) )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
225178sqcld 12413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  e.  CC )
22630a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  ZZ )
227178, 179, 226expne0d 12421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  =/=  0
)
228158, 225, 227, 183expdivd 12429 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
229223, 224, 2283eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
230229oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
231 1rp 11306 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
232231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  RR+ )
23316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  RR )
234154nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  RR )
235233, 234remulcld 9671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
236182nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  2
)
237183nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  n
)
238233, 234, 236, 237mulge0d 10190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  (
2  x.  n ) )
239235, 238ge0p1rpd 11368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR+ )
240 1red 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  RR )
241232rpge0d 11345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  1
)
242161, 165, 170ltled 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
243153, 242syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  1  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
244243adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  <_  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )
245232, 239, 240, 241, 244lediv2ad 11363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_  (
1  /  1 ) )
246158div1d 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
1 )  =  1 )
247245, 246breqtrd 4445 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_  1
)
248154, 190syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
24918adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  RR )
250233, 249remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
25114, 18, 120ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
252251adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  N
)
253233, 249, 236, 252mulge0d 10190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  (
2  x.  N ) )
254250, 253ge0p1rpd 11368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR+ )
255254, 226rpexpcld 12438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  e.  RR+ )
256255rpreccld 11351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR+ )
257214adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  ZZ )
258256, 257rpexpcld 12438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  RR+ )
259248, 240, 258lemul1d 11381 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_ 
1  <->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
1  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) ) )
260247, 259mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
1  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
261206mulid2d 9661 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
262260, 261breqtrd 4445 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
263230, 262eqbrtrd 4441 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  <_  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
264263, 187, 2073brtr4d 4451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  <_  ( L `  n )
)
265264adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  <_  ( L `  n )
)
266145, 198, 211, 265serle 12267 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `
 j )  <_ 
(  seq 1 (  +  ,  L ) `  j ) )
2671, 2, 7, 143, 201, 212, 266climle 13688 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   4c4 10661   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784    seqcseq 12212   ^cexp 12271   !cfa 12458   sqrcsqrt 13282   abscabs 13283    ~~> cli 13533   _eceu 14100   logclog 23488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13116  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-limsup 13511  df-clim 13537  df-rlim 13538  df-sum 13738  df-ef 14106  df-e 14107  df-sin 14108  df-cos 14109  df-tan 14110  df-pi 14111  df-dvds 14291  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-hom 15199  df-cco 15200  df-rest 15306  df-topn 15307  df-0g 15325  df-gsum 15326  df-topgen 15327  df-pt 15328  df-prds 15331  df-xrs 15385  df-qtop 15391  df-imas 15392  df-xps 15395  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-mulg 16661  df-cntz 16956  df-cmn 17417  df-psmet 18947  df-xmet 18948  df-met 18949  df-bl 18950  df-mopn 18951  df-fbas 18952  df-fg 18953  df-cnfld 18956  df-top 19905  df-bases 19906  df-topon 19907  df-topsp 19908  df-cld 20018  df-ntr 20019  df-cls 20020  df-nei 20098  df-lp 20136  df-perf 20137  df-cn 20227  df-cnp 20228  df-haus 20315  df-cmp 20386  df-tx 20561  df-hmeo 20754  df-fil 20845  df-fm 20937  df-flim 20938  df-flf 20939  df-xms 21319  df-ms 21320  df-tms 21321  df-cncf 21894  df-limc 22805  df-dv 22806  df-ulm 23316  df-log 23490  df-cxp 23491
This theorem is referenced by:  stirlinglem12  37764
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