Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem10 Unicode version

Theorem stirlinglem10 27699
Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole  B sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem10.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem10.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem10.4  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
stirlinglem10.5  |-  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, K    n, L    k, N, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)    K( k)    L( k)

Proof of Theorem stirlinglem10
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1nn0 10193 . . . 4  |-  1  e.  NN0
32a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
43nn0zd 10329 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
5 stirlinglem10.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
6 stirlinglem10.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
7 eqid 2404 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
8 stirlinglem10.4 . . 3  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
95, 6, 7, 8stirlinglem9 27698 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) ) )
10 2cn 10026 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
12 nncn 9964 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1311, 12mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
14 ax-1cn 9004 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1613, 15addcld 9063 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
1716sqcld 11476 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
18 0re 9047 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
20 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
22 2re 10025 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
24 nnre 9963 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2523, 24remulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
2625, 21readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
27 0lt1 9506 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
29 2rp 10573 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
31 nnrp 10577 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
3230, 31rpmulcld 10620 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
3321, 32ltaddrp2d 10634 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3419, 21, 26, 28, 33lttrd 9187 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
3534gt0ne0d 9547 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
36 2z 10268 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
3736a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
3816, 35, 37expne0d 11484 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 )
3917, 38reccld 9739 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4021renegcld 9420 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  RR )
4126resqcld 11504 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
4241, 38rereccld 9797 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
43 lt0neg2 9491 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
4420, 43ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
4528, 44sylib 189 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  0 )
4626, 35sqgt0d 11506 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
4741, 46recgt0d 9901 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
4840, 19, 42, 45, 47lttrd 9187 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
49 2nn 10089 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
5049a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN )
51 expgt1 11373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  NN  /\  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  ->  1  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
5226, 50, 33, 51syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
5341, 46elrpd 10602 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
5453recgt1d 10618 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  <  1 ) )
5552, 54mpbid 202 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  <  1 )
5642, 21absltd 12187 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  /\  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  <  1 ) ) )
5748, 55, 56mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )  <  1 )
58 stirlinglem10.5 . . . . . 6  |-  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
) )
5958a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ->  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
k ) ) )
60 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  =  j )  ->  k  =  j )
6160oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  =  j )  ->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
)  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
62 elnnuz 10478 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6362biimpri 198 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  NN )
6463adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
j  e.  NN )
6539adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
6664nnnn0d 10230 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
j  e.  NN0 )
6765, 66expcld 11478 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j
)  e.  CC )
6859, 61, 64, 67fvmptd 5769 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( L `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
6939, 57, 3, 68geolim2 12603 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  L )  ~~>  ( ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) ) )
7039exp1d 11473 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  =  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
7117, 38dividd 9744 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  1 )
7271eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
7372oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
7453rpcnne0d 10613 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 ) )
75 divsubdir 9666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
7617, 15, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
77 binom2 11451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
7813, 14, 77sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
7978oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  - 
1 ) )
8011, 12sqmuld 11490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( N ^ 2 ) ) )
81 sq2 11432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ 2 )  =  4 )
8382oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( N ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( N ^ 2 ) ) )
8480, 83eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( N ^ 2 ) ) )
8513mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  x.  1 )  =  ( 2  x.  N ) )
8685oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
8711, 11, 12mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
88 2t2e4 10083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  2 )  =  4 )
9089oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 4  x.  N ) )
9186, 87, 903eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) )  =  ( 4  x.  N ) )
9284, 91oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( N ^
2 ) )  +  ( 4  x.  N
) ) )
93 4cn 10030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
9512sqcld 11476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
9694, 95, 12adddid 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( ( N ^ 2 )  +  N ) )  =  ( ( 4  x.  ( N ^
2 ) )  +  ( 4  x.  N
) ) )
9712sqvald 11475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
9812mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
9998eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( N  x.  1 ) )
10097, 99oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  +  N )  =  ( ( N  x.  N )  +  ( N  x.  1 ) ) )
10112, 12, 15adddid 9068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  N )  +  ( N  x.  1 ) ) )
102100, 101eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  +  N )  =  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )
103102oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( ( N ^ 2 )  +  N ) )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10492, 96, 1033eqtr2d 2442 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
105 sq1 11431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
106105a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
107104, 106oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  +  1 ) )
108107oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  +  1 )  - 
1 ) )
10912, 15addcld 9063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
11012, 109mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
11194, 110mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
112111, 15pncand 9368 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
11379, 108, 1123eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
114113oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
11573, 76, 1143eqtr2d 2442 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
11670, 115oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  / 
( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
117 4pos 10042 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
118117a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
119118gt0ne0d 9547 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
120 nnne0 9988 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
12124, 21readdcld 9071 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
122 nngt0 9985 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
12324ltp1d 9897 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
12419, 24, 121, 122, 123lttrd 9187 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
125124gt0ne0d 9547 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
12612, 109, 120, 125mulne0d 9630 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
12794, 110, 119, 126mulne0d 9630 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =/=  0 )
12815, 17, 111, 17, 38, 38, 127divdivdivd 9793 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
12915, 17mulcomd 9065 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )
130129oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13115mulid1d 9061 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  =  1 )
132131eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( 1  x.  1 ) )
133132oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  / 
( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13415, 94, 15, 110, 119, 126divmuldivd 9787 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  / 
( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
135133, 134eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13671, 135oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( 1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13717, 17, 15, 111, 38, 127divmuldivd 9787 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( 1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13894, 119reccld 9739 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
139110, 126reccld 9739 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
140138, 139mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  e.  CC )
141140mulid2d 9062 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
142136, 137, 1413eqtr3d 2444 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  1 )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
143128, 130, 1423eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
144116, 143eqtrd 2436 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
14569, 144breqtrd 4196 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  1 (  +  ,  L )  ~~>  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
14662biimpi 187 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
147146adantl 453 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
1488a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) ) )
149 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
150149oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
151150oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
152149oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )
153151, 152oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )
154153adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  /\  k  =  n )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
155 elfznn 11036 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
156155adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN )
15710a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  CC )
158156nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  CC )
159157, 158mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
16014a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  CC )
161159, 160addcld 9063 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  CC )
16218a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
16320a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
16422a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
165 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
166164, 165remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
167166, 163readdcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
16827a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
16929a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
170 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
171169, 170rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
172163, 171ltaddrp2d 10634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
173162, 163, 167, 168, 172lttrd 9187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
174155, 173syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
175174gt0ne0d 9547 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
176175adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =/=  0
)
177161, 176reccld 9739 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
17812adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  CC )
179157, 178mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
180179, 160addcld 9063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
18135adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0
)
182180, 181reccld 9739 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
183 2nn0 10194 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
184183a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  NN0 )
185156nnnn0d 10230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN0 )
186184, 185nn0mulcld 10235 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN0 )
187182, 186expcld 11478 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  e.  CC )
188177, 187mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  e.  CC )
189148, 154, 156, 188fvmptd 5769 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
190189adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
191173gt0ne0d 9547 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
192167, 191rereccld 9797 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
193155, 192syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
194193adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
19526, 35rereccld 9797 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
196195adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
197196, 186reexpcld 11495 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  e.  RR )
198197adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
199194, 198remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )  e.  RR )
200190, 199eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  e.  RR )
201 readdcl 9029 . . . 4  |-  ( ( n  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( n  +  i )  e.  RR )
202201adantl 453 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )  -> 
( n  +  i )  e.  RR )
203147, 200, 202seqcl 11298 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `
 j )  e.  RR )
20458a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) ) )
205 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k )  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n ) )
206205adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  /\  k  =  n )  ->  ( (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )
20739adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
208207, 185expcld 11478 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  CC )
209204, 206, 156, 208fvmptd 5769 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
21042adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
211210, 185reexpcld 11495 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  RR )
212209, 211eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  e.  RR )
213212adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  e.  RR )
214147, 213, 202seqcl 11298 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  L ) `
 j )  e.  RR )
21536a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  2  e.  ZZ )
216 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  ZZ )
217215, 216zmulcld 10337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
218 1exp 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
219217, 218syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
220 1exp 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
221216, 220syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
222219, 221eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  ( 1 ^ n ) )
223222adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1 ^ ( 2  x.  n
) )  =  ( 1 ^ n ) )
224180, 185, 184expmuld 11481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) )
225223, 224oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1 ^ ( 2  x.  n ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ (
2  x.  n ) ) )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
226160, 180, 181, 186expdivd 11492 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( 1 ^ (
2  x.  n ) )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
227180sqcld 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  e.  CC )
22836a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  ZZ )
229180, 181, 228expne0d 11484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  =/=  0
)
230160, 227, 229, 185expdivd 11492 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
231225, 226, 2303eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
232231oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
233 1rp 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
234233a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  RR+ )
23522a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  RR )
236156nnred 9971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  RR )
237235, 236remulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
238184nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  2
)
239185nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  n
)
240235, 236, 238, 239mulge0d 9559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  (
2  x.  n ) )
241237, 240ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR+ )
24220a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  RR )
243234rpge0d 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  1
)
244163, 167, 172ltled 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
245155, 244syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  1  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
246245adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  <_  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )
247234, 241, 242, 243, 246lediv2ad 10626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_  (
1  /  1 ) )
248160div1d 9738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
1 )  =  1 )
249247, 248breqtrd 4196 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_  1
)
250156, 192syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
25124adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  RR )
252235, 251remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
25319, 24, 122ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
254253adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  N
)
255235, 251, 238, 254mulge0d 9559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  (
2  x.  N ) )
256252, 255ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR+ )
257256, 228rpexpcld 11501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  e.  RR+ )
258257rpreccld 10614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR+ )
259216adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  ZZ )
260258, 259rpexpcld 11501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  RR+ )
261250, 242, 260lemul1d 10643 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_ 
1  <->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
1  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) ) )
262249, 261mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
1  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
263208mulid2d 9062 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
264262, 263breqtrd 4196 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
265232, 264eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  <_  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
266265, 189, 2093brtr4d 4202 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  <_  ( L `  n )
)
267266adantlr 696 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  <_  ( L `  n )
)
268147, 200, 213, 267serle 11333 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `
 j )  <_ 
(  seq  1 (  +  ,  L ) `
 j ) )
2691, 4, 9, 145, 203, 214, 268climle 12388 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337   !cfa 11521   sqrcsqr 11993   abscabs 11994    ~~> cli 12233   _eceu 12620   logclog 20405
This theorem is referenced by:  stirlinglem12  27701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-e 12626  df-sin 12627  df-cos 12628  df-tan 12629  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ulm 20246  df-log 20407  df-cxp 20408
  Copyright terms: Public domain W3C validator