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Theorem stirlinglem10 32107
Description: A bound for any B(N)-B(N + 1) that will allow to find a lower bound for the whole  B sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem10.1  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem10.2  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
stirlinglem10.4  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
stirlinglem10.5  |-  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n    n, K    n, L    k, N, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)    K( k)    L( k)

Proof of Theorem stirlinglem10
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11117 . 2  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10891 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  ZZ )
3 stirlinglem10.1 . . 3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
4 stirlinglem10.2 . . 3  |-  B  =  ( n  e.  NN  |->  ( log `  ( A `
 n ) ) )
5 eqid 2454 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n
) )  /  2
)  x.  ( log `  ( ( n  + 
1 )  /  n
) ) )  - 
1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 1  +  ( 2  x.  n ) )  /  2 )  x.  ( log `  (
( n  +  1 )  /  n ) ) )  -  1 ) )
6 stirlinglem10.4 . . 3  |-  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) )
73, 4, 5, 6stirlinglem9 32106 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  K )  ~~>  ( ( B `  N )  -  ( B `  ( N  +  1
) ) ) )
8 2cnd 10604 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
9 nncn 10539 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
108, 9mulcld 9605 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
11 1cnd 9601 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
1210, 11addcld 9604 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  CC )
1312sqcld 12293 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
14 0red 9586 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
15 1red 9600 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
16 2re 10601 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR )
18 nnre 10538 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1917, 18remulcld 9613 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
2019, 15readdcld 9612 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
21 0lt1 10071 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
23 2rp 11226 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR+
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
25 nnrp 11230 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
2624, 25rpmulcld 11275 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR+ )
2715, 26ltaddrp2d 11289 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
2814, 15, 20, 22, 27lttrd 9732 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )
2928gt0ne0d 10113 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  =/=  0 )
30 2z 10892 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
3212, 29, 31expne0d 12301 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 )
3313, 32reccld 10309 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
3415renegcld 9982 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  RR )
3520resqcld 12321 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR )
3635, 32rereccld 10367 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
37 1re 9584 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
38 lt0neg2 10055 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
4022, 39sylib 196 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  0 )
4120, 29sqgt0d 12323 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
4235, 41recgt0d 10475 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
4334, 14, 36, 40, 42lttrd 9732 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  <  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
44 2nn 10689 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  NN )
46 expgt1 12189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR  /\  2  e.  NN  /\  1  <  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  ->  1  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
4720, 45, 27, 46syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )
4835, 41elrpd 11256 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
4948recgt1d 11273 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <  ( (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  <  1 ) )
5047, 49mpbid 210 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  <  1 )
5136, 15absltd 13346 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  /\  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  <  1 ) ) )
5243, 50, 51mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )  <  1 )
53 1nn0 10807 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
5453a1i 11 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
55 stirlinglem10.5 . . . . . 6  |-  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
) )
5655a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ->  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
k ) ) )
57 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  =  j )  ->  k  =  j )
5857oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  /\  k  =  j )  ->  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k
)  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
59 elnnuz 11118 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  <->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6059biimpri 206 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  NN )
6160adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
j  e.  NN )
6233adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
6361nnnn0d 10848 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
j  e.  NN0 )
6462, 63expcld 12295 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j
)  e.  CC )
6556, 58, 61, 64fvmptd 5936 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( L `  j
)  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ j ) )
6633, 52, 54, 65geolim2 13765 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  L )  ~~>  ( ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) ) )
6733exp1d 12290 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  =  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
6813, 32dividd 10314 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  1 )
6968eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
7069oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
7148rpcnne0d 11268 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 ) )
72 divsubdir 10236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 ) )  ->  ( (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  -  (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
7313, 11, 71, 72syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  -  ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
74 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
75 binom2 12268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
7610, 74, 75sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
7776oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  - 
1 ) )
788, 9sqmuld 12307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( N ^ 2 ) ) )
79 sq2 12249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2 ^ 2 )  =  4 )
8180oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( N ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( N ^ 2 ) ) )
8278, 81eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( N ^ 2 ) ) )
8310mulid1d 9602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  x.  1 )  =  ( 2  x.  N ) )
8483oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
858, 8, 9mulassd 9608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
86 2t2e4 10681 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  2 )  =  4 )
8887oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 4  x.  N ) )
8984, 85, 883eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) )  =  ( 4  x.  N ) )
9082, 89oveq12d 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( N ^
2 ) )  +  ( 4  x.  N
) ) )
91 4cn 10609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  4  e.  CC )
939sqcld 12293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  e.  CC )
9492, 93, 9adddid 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( ( N ^ 2 )  +  N ) )  =  ( ( 4  x.  ( N ^
2 ) )  +  ( 4  x.  N
) ) )
959sqvald 12292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N ^ 2 )  =  ( N  x.  N
) )
969mulid1d 9602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  1 )  =  N )
9796eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( N  x.  1 ) )
9895, 97oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  +  N )  =  ( ( N  x.  N )  +  ( N  x.  1 ) ) )
999, 9, 11adddid 9609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  N )  +  ( N  x.  1 ) ) )
10098, 99eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N ^ 2 )  +  N )  =  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )
101100oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( ( N ^ 2 )  +  N ) )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
10290, 94, 1013eqtr2d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
103 sq1 12247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
104103a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
105102, 104oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  +  1 ) )
106105oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  x.  1 ) ) )  +  ( 1 ^ 2 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  +  1 )  - 
1 ) )
1079, 11addcld 9604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
1089, 107mulcld 9605 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
10992, 108mulcld 9605 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
110109, 11pncand 9923 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
11177, 106, 1103eqtrd 2499 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  -  1 )  =  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
112111oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  -  1 )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
11370, 73, 1123eqtr2d 2501 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
11467, 113oveq12d 6288 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  / 
( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
115 4pos 10627 . . . . . . . . 9  |-  0  <  4
116115a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  4 )
117116gt0ne0d 10113 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  4  =/=  0 )
118 nnne0 10564 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
11918, 15readdcld 9612 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
120 nngt0 10560 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
12118ltp1d 10471 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
12214, 18, 119, 120, 121lttrd 9732 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
123122gt0ne0d 10113 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  =/=  0 )
1249, 107, 118, 123mulne0d 10197 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
12592, 108, 117, 124mulne0d 10197 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =/=  0 )
12611, 13, 109, 13, 32, 32, 125divdivdivd 10363 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
12711, 13mulcomd 9606 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 ) )
128127oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  x.  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
12911mulid1d 9602 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  =  1 )
130129eqcomd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( 1  x.  1 ) )
131130oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  / 
( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13211, 92, 11, 108, 117, 124divmuldivd 10357 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  1 )  / 
( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
133131, 132eqtr4d 2498 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13468, 133oveq12d 6288 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( 1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 1  / 
4 )  x.  (
1  /  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13513, 13, 11, 109, 32, 125divmuldivd 10357 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( 1  /  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  1 )  / 
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  (
4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
13692, 117reccld 10309 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  4 )  e.  CC )
137108, 124reccld 10309 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
138136, 137mulcld 9605 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  4
)  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1
) ) ) )  e.  CC )
139138mulid2d 9603 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
140134, 135, 1393eqtr3d 2503 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  x.  1 )  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 )  x.  ( 4  x.  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
141126, 128, 1403eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  /  ( ( 4  x.  ( N  x.  ( N  + 
1 ) ) )  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
142114, 141eqtrd 2495 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ 1 )  /  ( 1  -  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
14366, 142breqtrd 4463 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  seq 1 (  +  ,  L )  ~~>  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  / 
( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
14459biimpi 194 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
145144adantl 464 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
1466a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  K  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) ) ) )
147 oveq2 6278 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
148147oveq1d 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
149148oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
150147oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )
151149, 150oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  k ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) ) )
152151adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  /\  k  =  n )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  k
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  N
)  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
153 elfznn 11717 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
154153adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN )
155 2cnd 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  CC )
156154nncnd 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  CC )
157155, 156mulcld 9605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
158 1cnd 9601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  CC )
159157, 158addcld 9604 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  CC )
160 0red 9586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
161 1red 9600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
16216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR )
163 nnre 10538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
164162, 163remulcld 9613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
165164, 161readdcld 9612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  RR )
16621a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
16723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
168 nnrp 11230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
169167, 168rpmulcld 11275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
170161, 169ltaddrp2d 11289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
171160, 161, 165, 166, 170lttrd 9732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
172153, 171syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
173172gt0ne0d 10113 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
174173adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =/=  0
)
175159, 174reccld 10309 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
1769adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  CC )
177155, 176mulcld 9605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  CC )
178177, 158addcld 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  CC )
17929adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  =/=  0
)
180178, 179reccld 10309 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  CC )
181 2nn0 10808 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
182181a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  NN0 )
183154nnnn0d 10848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  NN0 )
184182, 183nn0mulcld 10853 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  NN0 )
185180, 184expcld 12295 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  e.  CC )
186175, 185mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  e.  CC )
187146, 152, 154, 186fvmptd 5936 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
188187adantlr 712 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
189171gt0ne0d 10113 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
190165, 189rereccld 10367 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
191153, 190syl 16 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
192191adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
19320, 29rereccld 10367 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
194193adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  e.  RR )
195194, 184reexpcld 12312 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  e.  RR )
196195adantlr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ ( 2  x.  n ) )  e.  RR )
197192, 196remulcld 9613 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) ) )  e.  RR )
198188, 197eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  e.  RR )
199 readdcl 9564 . . . 4  |-  ( ( n  e.  RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( n  +  i )  e.  RR )
200199adantl 464 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  ( n  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )  -> 
( n  +  i )  e.  RR )
201145, 198, 200seqcl 12112 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `
 j )  e.  RR )
20255a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  L  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k ) ) )
203 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k )  =  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n ) )
204203adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  /\  k  =  n )  ->  ( (
1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ k )  =  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )
20533adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
206205, 183expcld 12295 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  CC )
207202, 204, 154, 206fvmptd 5936 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
20836adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
209208, 183reexpcld 12312 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  RR )
210207, 209eqeltrd 2542 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  e.  RR )
211210adantlr 712 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( L `  n )  e.  RR )
212145, 211, 200seqcl 12112 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  L ) `
 j )  e.  RR )
21330a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  2  e.  ZZ )
214 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  ZZ )
215213, 214zmulcld 10971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
216 1exp 12180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
217215, 216syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  1 )
218 1exp 12180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
219214, 218syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
220217, 219eqtr4d 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  (
1 ^ ( 2  x.  n ) )  =  ( 1 ^ n ) )
221220adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1 ^ ( 2  x.  n
) )  =  ( 1 ^ n ) )
222178, 183, 182expmuld 12298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) )
223221, 222oveq12d 6288 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1 ^ ( 2  x.  n ) )  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ (
2  x.  n ) ) )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
224158, 178, 179, 184expdivd 12309 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( 1 ^ (
2  x.  n ) )  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ ( 2  x.  n ) ) ) )
225178sqcld 12293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  e.  CC )
22630a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  ZZ )
227178, 179, 226expne0d 12301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  =/=  0
)
228158, 225, 227, 183expdivd 12309 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  =  ( ( 1 ^ n
)  /  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ^ n ) ) )
229223, 224, 2283eqtr4d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^
( 2  x.  n
) )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
230229oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
231 1rp 11225 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
232231a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  RR+ )
23316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  2  e.  RR )
234154nnred 10546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  RR )
235233, 234remulcld 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
236182nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  2
)
237183nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  n
)
238233, 234, 236, 237mulge0d 10125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  (
2  x.  n ) )
239235, 238ge0p1rpd 11285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  e.  RR+ )
240 1red 9600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  e.  RR )
241232rpge0d 11263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  1
)
242161, 165, 170ltled 9722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
243153, 242syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  1  <_  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
244243adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  1  <_  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )
245232, 239, 240, 241, 244lediv2ad 11281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_  (
1  /  1 ) )
246158div1d 10308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
1 )  =  1 )
247245, 246breqtrd 4463 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_  1
)
248154, 190syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  RR )
24918adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  N  e.  RR )
250233, 249remulcld 9613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
25114, 18, 120ltled 9722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  N )
252251adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  N
)
253233, 249, 236, 252mulge0d 10125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  0  <_  (
2  x.  N ) )
254250, 253ge0p1rpd 11285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  RR+ )
255254, 226rpexpcld 12318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 )  e.  RR+ )
256255rpreccld 11269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR+ )
257214adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  n  e.  ZZ )
258256, 257rpexpcld 12318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^
2 ) ) ^
n )  e.  RR+ )
259248, 240, 258lemul1d 11298 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  <_ 
1  <->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
1  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) ) )
260247, 259mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
1  x.  ( ( 1  /  ( ( ( 2  x.  N
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) ) )
261206mulid2d 9603 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( 1  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  =  ( ( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
262260, 261breqtrd 4463 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n
) )  <_  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
263230, 262eqbrtrd 4459 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ) ^ (
2  x.  n ) ) )  <_  (
( 1  /  (
( ( 2  x.  N )  +  1 ) ^ 2 ) ) ^ n ) )
264263, 187, 2073brtr4d 4469 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  <_  ( L `  n )
)
265264adantlr 712 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( K `  n )  <_  ( L `  n )
)
266145, 198, 211, 265serle 12147 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  K ) `
 j )  <_ 
(  seq 1 (  +  ,  L ) `  j ) )
2671, 2, 7, 143, 201, 212, 266climle 13547 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B `  N
)  -  ( B `
 ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 1  /  4 )  x.  ( 1  /  ( N  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   4c4 10583   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   ...cfz 11675    seqcseq 12092   ^cexp 12151   !cfa 12338   sqrcsqrt 13151   abscabs 13152    ~~> cli 13392   _eceu 13883   logclog 23111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-e 13889  df-sin 13890  df-cos 13891  df-tan 13892  df-pi 13893  df-dvds 14074  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-limc 22439  df-dv 22440  df-ulm 22941  df-log 23113  df-cxp 23114
This theorem is referenced by:  stirlinglem12  32109
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