Theorem 4pos 10993

Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
4pos	⊢ 0 < 4

Proof of Theorem 4pos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 10971	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2		1re 9918	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		3pos 10991	. . 3 ⊢ 0 < 3
4		0lt1 10429	. . 3 ⊢ 0 < 1
5	1, 2, 3, 4	addgt0ii 10449	. 2 ⊢ 0 < (3 + 1)
6		df-4 10958	. 2 ⊢ 4 = (3 + 1)
7	5, 6	breqtrri 4610	1 ⊢ 0 < 4

Syntax hints:   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  3c3 10948  4c4 10949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958

This theorem is referenced by:  4ne0  10994  5pos  10995  div4p1lem1div2  11164  fldiv4p1lem1div2  12498  iexpcyc  12831  discr  12863  faclbnd2  12940  sqrt2gt1lt2  13863  flodddiv4  14975  pcoass  22632  csbren  22990  minveclem2  23005  dveflem  23546  sincos4thpi  24069  log2cnv  24471  chtublem  24736  bposlem6  24814  gausslemma2dlem0d  24884  2sqlem11  24954  chebbnd1lem3  24960  chebbnd1  24961  pntibndlem1  25078  pntlemb  25086  pntlemg  25087  pntlemr  25091  pntlemf  25094  usgraex0elv  25924  4cycl4v4e  26194  4cycl4dv  26195  minvecolem2  27115  minvecolem3  27116  normlem6  27356  sqsscirc1  29282  limclner  38718  stoweid  38956  stirlinglem10  38976  stirlinglem12  38978  bgoldbtbndlem3  40223  upgr4cycl4dv4e  41352