MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4pos Structured version   Unicode version

Theorem 4pos 10416
Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
4pos  |-  0  <  4

Proof of Theorem 4pos
StepHypRef Expression
1 3re 10394 . . 3  |-  3  e.  RR
2 1re 9384 . . 3  |-  1  e.  RR
3 3pos 10414 . . 3  |-  0  <  3
4 0lt1 9861 . . 3  |-  0  <  1
51, 2, 3, 4addgt0ii 9881 . 2  |-  0  <  ( 3  +  1 )
6 df-4 10381 . 2  |-  4  =  ( 3  +  1 )
75, 6breqtrri 4316 1  |-  0  <  4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4291  (class class class)co 6090   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284    < clt 9417   3c3 10371   4c4 10372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381
This theorem is referenced by:  4ne0  10417  5pos  10418  iexpcyc  11969  discr  12000  faclbnd2  12066  sqr2gt1lt2  12763  pcoass  20595  csbren  20897  minveclem2  20912  dveflem  21450  sincos4thpi  21974  log2cnv  22338  chtublem  22549  bposlem6  22627  2sqlem11  22713  chebbnd1lem3  22719  chebbnd1  22720  pntibndlem1  22837  pntlemb  22845  pntlemg  22846  pntlemr  22850  pntlemf  22853  usgraex0elv  23313  4cycl4v4e  23551  4cycl4dv  23552  minvecolem2  24275  minvecolem3  24276  normlem6  24516  sqsscirc1  26337  stoweid  29856  stirlinglem10  29876  stirlinglem12  29878
  Copyright terms: Public domain W3C validator