MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4pos Structured version   Unicode version

Theorem 4pos 10705
Description: The number 4 is positive. (Contributed by NM, 27-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
4pos  |-  0  <  4

Proof of Theorem 4pos
StepHypRef Expression
1 3re 10683 . . 3  |-  3  e.  RR
2 1re 9641 . . 3  |-  1  e.  RR
3 3pos 10703 . . 3  |-  0  <  3
4 0lt1 10135 . . 3  |-  0  <  1
51, 2, 3, 4addgt0ii 10155 . 2  |-  0  <  ( 3  +  1 )
6 df-4 10670 . 2  |-  4  =  ( 3  +  1 )
75, 6breqtrri 4451 1  |-  0  <  4
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674   3c3 10660   4c4 10661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670
This theorem is referenced by:  4ne0  10706  5pos  10707  iexpcyc  12376  discr  12406  faclbnd2  12473  sqrt2gt1lt2  13317  pcoass  21948  csbren  22246  minveclem2  22261  dveflem  22808  sincos4thpi  23333  log2cnv  23735  chtublem  24002  bposlem6  24080  2sqlem11  24166  chebbnd1lem3  24172  chebbnd1  24173  pntibndlem1  24290  pntlemb  24298  pntlemg  24299  pntlemr  24303  pntlemf  24306  usgraex0elv  24969  4cycl4v4e  25239  4cycl4dv  25240  minvecolem2  26362  minvecolem3  26363  normlem6  26603  sqsscirc1  28553  limclner  37304  stoweid  37494  stirlinglem10  37514  stirlinglem12  37516  bgoldbtbndlem3  38292
  Copyright terms: Public domain W3C validator