MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqcl 12683
Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqcl.2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seqcl (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem seqcl
StepHypRef Expression
1 seqcl.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz1 12219 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
4 seqcl.2 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
54ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
76eleq1d 2672 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
87rspcv 3278 . . 3 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
93, 5, 8sylc 63 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
10 seqcl.3 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
11 eluzel2 11568 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 fzp1ss 12262 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1514sselda 3568 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
1615, 4syldan 486 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
179, 10, 1, 16seqcl2 12681 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wss 3540  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664
This theorem is referenced by:  sermono  12695  seqsplit  12696  seqcaopr2  12699  seqf1olem2a  12701  seqf1olem2  12703  seqid3  12707  seqhomo  12710  seqz  12711  seqdistr  12714  serge0  12717  serle  12718  seqof  12720  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  fsumcl2lem  14309  prodfn0  14465  prodfrec  14466  prodfdiv  14467  fprodcl2lem  14519  eulerthlem2  15325  gsumwsubmcl  17198  mulgnnsubcl  17376  gsumzcl2  18134  gsumzaddlem  18144  gsummptfzcl  18191  lgscllem  24829  lgsval4a  24844  lgsneg  24846  lgsdir  24857  lgsdilem2  24858  lgsdi  24859  lgsne0  24860  gsumncl  29941  faclim  30885  knoppcnlem8  31660  mblfinlem2  32617  fmul01  38647  fmulcl  38648  fmuldfeq  38650  fmul01lt1lem1  38651  fmul01lt1lem2  38652  stoweidlem3  38896  stoweidlem42  38935  stoweidlem48  38941  wallispilem4  38961  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  wallispi2  38966  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  sge0isum  39320
  Copyright terms: Public domain W3C validator