Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climlec3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climlec3 30872
 Description: Comparison of a constant to the limit of a sequence. (Contributed by Scott Fenton, 5-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
climlec3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climlec3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climlec3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
climlec3.4 (𝜑𝐹𝐴)
climlec3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climlec3.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
climlec3 (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climlec3
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climlec3.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climlec3.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climlec3.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43renegcld 10336 . . 3 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
5 climlec3.4 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐴)
6 0cnd 9912 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
7 fvex 6113 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ∈ V
81, 7eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
98mptex 6390 . . . . . 6 (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ∈ V
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ∈ V)
11 climlec3.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1211recnd 9947 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1411renegcld 10336 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → -(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
15 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
1615negeqd 10154 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → -(𝐹𝑚) = -(𝐹𝑘))
17 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) = (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))
1816, 17fvmptg 6189 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍 ∧ -(𝐹𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
1913, 14, 18syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘) = -(𝐹𝑘))
20 df-neg 10148 . . . . . 6 -(𝐹𝑘) = (0 − (𝐹𝑘))
2119, 20syl6eq 2660 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘) = (0 − (𝐹𝑘)))
221, 2, 5, 6, 10, 12, 21climsubc2 14217 . . . 4 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ⇝ (0 − 𝐴))
23 df-neg 10148 . . . 4 -𝐴 = (0 − 𝐴)
2422, 23syl6breqr 4625 . . 3 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚)) ⇝ -𝐴)
2519, 14eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘) ∈ ℝ)
26 climlec3.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ 𝐵)
273adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2811, 27lenegd 10485 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -(𝐹𝑘)))
2926, 28mpbid 221 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → -𝐵 ≤ -(𝐹𝑘))
3029, 19breqtrrd 4611 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → -𝐵 ≤ ((𝑚𝑍 ↦ -(𝐹𝑚))‘𝑘))
311, 2, 4, 24, 25, 30climlec2 14237 . 2 (𝜑 → -𝐵 ≤ -𝐴)
321, 2, 5, 11climrecl 14162 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3332, 3lenegd 10485 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
3431, 33mpbird 246 1 (𝜑𝐴𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator