Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1lo12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1lo12 14117
 Description: A lower bounded real function is eventually bounded iff it is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1lo1.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
o1lo12.2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
o1lo12.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝐵)
Assertion
Ref Expression
o1lo12 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem o1lo12
StepHypRef Expression
1 o1dm 14109 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ))
3 lo1dm 14098 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
43a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ))
5 o1lo1.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
65ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
7 dmmptg 5549 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
98sseq1d 3595 . . 3 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
10 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
115renegcld 10336 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
1211adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
13 o1lo12.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1514renegcld 10336 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → -𝑀 ∈ ℝ)
16 o1lo12.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀𝐵)
1713adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℝ)
1817, 5lenegd 10485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑀𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝑀))
1916, 18mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ≤ -𝑀)
2019ad2ant2r 779 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → -𝐵 ≤ -𝑀)
2110, 12, 14, 15, 20ello1d 14102 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))
225o1lo1 14116 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
2322rbaibd 947 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))
2421, 23syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))
2524ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
269, 25sylbid 229 . 2 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
272, 4, 26pm5.21ndd 368 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ℝcr 9814   ≤ cle 9954  -cneg 10146  𝑂(1)co1 14065  ≤𝑂(1)clo1 14066 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-o1 14069  df-lo1 14070 This theorem is referenced by:  dirith2  25017  vmalogdivsum2  25027  pntrlog2bndlem4  25069
 Copyright terms: Public domain W3C validator